PPT Statistik Terurut

1

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Statistik Terurut

Statistik Terurut

Dr. Utriweni Mukhaiyar

MA3181 Teori Peluang

2

Beberapa definisi

• Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian.

• Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.

• Misalkanlah 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 merupakan n peubah acak bebas yang masing-masing berdistribusi peluang 𝑓(𝑥). 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛

didefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya sebagai,

𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) = 𝑓 𝑥₁ 𝑓(𝑥₂) … 𝑓(𝑥_𝑛)

• Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu sampel acak disebut statistik.

3

Rataan dan Variansi Sampel

• Bila X₁, X₂, ..., X_n merupakan suatu sampel acak ukuran n, maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik,

𝑋 =ത 1

𝑛 ෍

𝑖=1 𝑛

𝑋_𝑖

• dan variansi sampel oleh statistik, 𝑆² = 1

𝑛 − 1 ෍

𝑖=1 𝑛

𝑋_𝑖 − ത𝑋 ² = 1

𝑛 − 1 ෍

𝑖=1 𝑛

𝑋_𝑖² − σ_𝑖=1^𝑛 𝑋_𝑖 ² 𝑛

• Simpangan baku sampel dinyatakan dengan S didefinisikan sebagai akar positif variansi sampel.

4

Distribusi sampel

• Distribusi peluang suatu statistik disebut distribusi sampel.

• Simpangan baku distribusi sampel suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.

5

Distribusi sampel dari rataan,

• Misalkan sampel acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan rataan  dan variansi ². tiap pengamatan X_i, i = 1, 2, ..., n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya.

• E ത𝑋 = 𝐸 ¹

𝑛 σ_𝑖=1^𝑛 𝑋_𝑖 = ¹

𝑛 𝐸 σ_𝑖=1^𝑛 𝑋_𝑖 = ¹

𝑛 σ_𝑖=1^𝑛 𝐸 𝑋_𝑖 = ¹

𝑛 𝑛𝜇 = 𝜇

• Var( ത𝑋) = Var ¹

𝑛 σ_𝑖=1^𝑛 𝑋_𝑖 = ¹

𝑛² σ_𝑖=1^𝑛 𝑉𝑎𝑟(𝑋_𝑖) = ¹

𝑛² 𝑛𝜎² = ^𝜎2

𝑛

X

6

Teorema Limit Pusat

• Bila 𝑋ത rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan rataan  dan variansi ² yang berhingga, maka bentuk limit dari

distribusi,

𝑍 = 𝑋 − 𝜇ത

bila 𝑛 → ∞, ialah distribusi normal baku 𝜎/ 𝑛 N(0,1).

7

Distribusi sampel dari selisih dua rataan,

• Bila sampel bebas ukuran n₁ dan n₂ diambil secara acak dari dua populasi, diskrit maupun kontinu, masing-masing dengan rataan ₁ dan ₂ dan

variansi ₁² dan ₂², maka distribusi sampel dari selisih rataan, (_𝑋ത_{1 − 𝑋}ത_2), berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi berturut-turut adalah, (𝜇₁ − 𝜇₂) dan ^𝜎12

𝑛₁ + ^𝜎22

𝑛₂ . Sehingga,

Z = 𝑋ത₁ − ത𝑋₂ − (𝜇₁ − 𝜇₂) 𝜎₁²

𝑛₁ + ^𝜎2

2

𝑛₂

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

1 2

X − X

8

Distribusi sampel dari ^{𝑛−1 𝑆} 

^{2 2}

• Bila 𝑆² variansi sampel acak ukuran 𝑛 diambil dari populasi normal dengan variansi ², maka statistik

𝑛 − 1 𝑆²

²

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈 = 𝑛 − 1 .

9

STATISTIK TERURUT

• Misal sampel acak 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 Berukuran n yang mempunyai fungsi peluang f(x) untuk .

Jika Y₁ adalah nilai terkecil dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛),

Y₂ adalah nilai terkecil kedua dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛),…, Y_k adalah nilai terkecil ke-k dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛),…, Y_n adalah nilai terbesar dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛)

Maka akan berlaku hubungan sebagai berikut:

𝑌₁ < 𝑌₂ <. . . < 𝑌_𝑘 <. . . < 𝑌_𝑛

• Dalam hal ini, Y_i, i = 1, 2, …, n dinamakan statistik terurut ke-i dari sampel acak 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛.

10

Fungsi peluang gabugan

• Fungsi peluang gabungan dari 𝑌₁, 𝑌₂, . . . , 𝑌_𝑛:

𝑔(𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) = ቊ𝑛! 𝑓 𝑦₁ 𝑓 𝑦₂ … 𝑓 𝑦_𝑛 , 𝑎 < 𝑦₁ < ⋯ < 𝑦_𝑛 < 𝑏

0 , lainnya

• Contoh: Misal 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 sampel acak dari distribusi 𝑁(𝜇, 𝜎²). Tentukan fungsi peluang gabungan dari 𝑌₁, 𝑌₂, . . . , 𝑌_𝑛 dengan 𝑌₁ <

𝑌₂ <. . . < 𝑌_𝑛.

11

Contoh (Solusi):

• Diketahui : 𝑓(𝑥) = ¹

𝜎 2𝜋 𝑒⁻

𝑥−𝜇 2

2𝜎2 , − ∞ < 𝑥 < ∞

( )

2 2

1

2 2

2 2 1

1 2 1 2

( )

( )

2 2

( )

1 2

1

( , ,..., ) ! ( ) ( )... ( )

1 1

! 2 2

! 1 , ...

2

n

n i i

n n

y y

y n n

g y y y n f y f y f y

n e e

n e y y





 





   

 

=

− −

− −

− −

=

=

=  −      

12

Distribusi dari Y

₁

• Misal 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika Y₁ adalah nilai terkecil dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛), maka fungsi peluang dari

𝑌₁ = min(𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛) adalah:



1



¹ 1 1

1 1

1

1 ( ) ( )

( )

0 yang lain

n F y

n

f y a y b g y

y

 −

−

 

=  



13

Contoh

• Misal 𝑌₁ < 𝑌₂ < 𝑌₃ < 𝑌₄ < 𝑌₅ merupakan statistik terurut dari

sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang:

𝑓 𝑥 = ቊ𝑒^−𝑥 , 𝑥 > 0 0, 𝑥 lainnya Tentukan 𝑃(𝑌₁ < 2)!

14

Contoh (Solusi)

5 5

5

5

5 0

5 5

( ) ( ) 1

( ) '( )

y y

x y

y

F y f x dx e dx e

f y F y e

−

−

−

−

= = = −

= =

 

 

^{4 5 4 5}

5

(

5

) 5 (

5

) (

5

) 5(1

^y

)

^y

g y = F y f y = − e

⁻

e

⁻

5 4 5

5 5

( 2)

2

5(1

^y

)

^y

0,52

P Y  = 

^

− e

⁻

e

⁻

dy =

15

Distribusi dari Y

_n

• Misal 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika Y_n adalah nilai terbesar dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛), maka fungsi peluang dari

𝑌_𝑛 = max(𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛) adalah:



^{( )}



^{1 ( )}

( )

0 yang lain

n

n n n

n n

n

n F y f y a y b

g y

y

 −  

= 



16

Contoh

• Misal 𝑌₁ < 𝑌₂ < 𝑌₃ < 𝑌₄ < 𝑌₅ merupakan statistik terurut dari

sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang:

𝑓 𝑥 = ቊ𝑒^−𝑥 , 𝑥 > 0 0, 𝑥 lainnya Tentukan 𝑃(𝑌₅ > 2)!

17

Contoh (Solusi)

• …

• 𝑃(𝑌₅ > 2) = ׬₂^∞ 5 1 − 𝑒^{−𝑦5 4}𝑒^−𝑦5𝑑𝑦₅ = 0,52

18

Distribusi dari Y _k

• Misal 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika Y_k adalah nilai terkecil ke-k dari (𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛), maka fungsi peluang dari

𝑔_𝑘 𝑦_𝑘 adalah:

  

¹



! ( ) 1 ( ) ( )

( 1)!( )!

( )

0 yang lain

k n k

k k k k

k k

k

n F y F y f y a y b

k n k

g y

y

− −

 −  

 − −

= 

19

Contoh

• Misal 𝑌₁ < 𝑌₂ < 𝑌₃ < 𝑌₄ < 𝑌₅ merupakan statistik terurut dari

sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang:

𝑓 𝑥 = ቊ𝑒^−𝑥 , 𝑥 > 0 0, 𝑥 lainnya Tentukan 𝑃(𝑌₄ ≥ 1)!

20

Contoh (Solusi)

• 𝐹 𝑦₄ = ׬₀^𝑦4 𝑒^−𝑥𝑑𝑥 = 1 − 𝑒^−𝑦4

• 𝑓 𝑦₄ = 𝐹^′ 𝑦₄ = 𝑒^−𝑦4

• 𝑔₄(𝑦₄) = 20 𝐹(𝑦₄) ³ 1 − 𝐹(𝑦₄) 𝑓(𝑦₄)

= 20(^{1−𝑒−𝑦4)3}𝑒^−𝑦4

• 𝑃(𝑌 ≥ 1) = ׬^∞ 20 1 − 𝑒^{−𝑦4 3}𝑒^−𝑦4𝑑𝑦 = 0,13

21

Referensi

 Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, 2005.

 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

 Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6^th ed., Pearson:

New Jersey, 2005.

 Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7^th Ed., USA: Thomson, 2008.

 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

 Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John

Wiley&Sons,Inc., 2000.