Rataan Varians dan Momen Satu Peubah Aca

Pertemuan 8

Rataan, Varians, dan Momen

Satu Peubah Acak

RATAAN

Definisi 1 : RATAAN DISKRIT

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah p(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :

E

(

X

)=

∑

x

x . p

(

x

)

Contoh 1.

Jika Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu.

Solusi :

Misalnya peubah acak X menunjukkan munculnya angka pada mata dadu. Jadi, nilai-nilai yang mungkin adalah {x : x = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dengan masing-masing nilai mempunyai peluang yang sama yaitu 1/6

Jadi, E(X) =

∑

x

x . P

(

x

)=

∑

x=1 6

x .

1

6

=

(

1

6

)

(

1

+

2

+

3

+

4

+

5

+

6

)=

3,5

Definisi 2 : RATAAN KONTINU

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah f(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :

E

(

X

)=

∫

−∞ ∞

x . f

(

x

)

dx

Contoh 2.

Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk : f(x) = 20x3 _{(1 – x); 0 < x < 1}

= 0 ; x lainnya Hitunglah E(X)

Solusi :

E(X) =

∫

−∞ ∞

=

x . f

(

x

)

dx

+

¿

∫

1

∞

x . f

(

x

)

dx

x . f

(

x

)

dx

+

¿

∫

0 1

¿

∫

−∞

0

¿

=

x

.20

x

3

(

1

−

x

)

dx

+

¿

∫

1

∞

x

.0

dx

x

.0

dx

+

¿

∫

0 1

¿

∫

−∞

0

¿

=

20

∫

0 1

(

x

4

−

x

5

)

dx

=

2

3

Rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu biasanya

dinotasikan dengan μ , sehingga apabila peubah acaknya X, maka

μ

=

E

(

X

)

. Nilai rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu tidak selalu ada, artinya nilai rataan tersebut bisa mempunyai nilai atau juga tidak mempunyai nilai. Nilai rataan dari sebuah peubah acak itu ada, jika hasil penjumlahannya atau pengintegralannya ada. Begitu sebaliknya.

Contoh 3.

Misalkan peubah acak X mempunyai nilai-nilai 0!, 1!, 2!, … dengan peluangnya sebagai berikut.

p

(

x

)=

P

(

X

=

x !

)=

e

−1

x !

; x

=

0,1, 2,

…

Tentukan nilai rataan dari X, E(X).

Solusi :

E(X) =

∑

x

x !. p

(

x

)

=

∑

x=0

∞

=

∑

x=0

∞

e

−1

=

e

−1

∑

x=0

∞

1

=

e

−1

₍

₁

+

1

+

1

+

…

)

= ∞

Jadi nilai E(X) tidak ada. Contoh 4.

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :

g

(

x

)=

1

x

2

;

1

<

x

<

∞

= 0 ; x lainnya

Tentukan nilai ratan dari X, E(X).

Solusi :

Berdasarkan definisi rataan kontinu, maka :

E(X) =

∫

−∞ ∞

x . g

(

x

)

dx

=

∫

−∞

1

x . g

(

x

)

dx

+

∫

1

∞

x . g

(

x

)

dx

=

∫

−∞

1

x

.0

dx

+

∫

1

∞

x

(

1

x

2

)

dx

=

0

+

∫

1

∞

1

x

dx

=

lim

b → ∞

∫

₁ b

1

x

dx

=

lim

b → ∞

(

ln

x

|

x=1 b

)

= 1 lnb−ln¿

¿ ¿

lim b → ∞¿ =

ln

∞

−

ln1

= ∞

VARIANS

Definisi 3 :

Misalkan X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai :

X

−

μ

¿

2

X

−

E

(

X

)

¿

2

atauVar

(

X

)=

E

¿

Var

(

X

)=

E

¿

Varians dari peubah acak X sering dinotasikan dengan σx

2 _{. Akar pangkat}

dua yang positif dari varians disebut simpangan baku dari peubah acak X dan

dinotasikan dengan

σ

_x . Penghitungan varians dari peubah acak diskrit dapat dilihat pada definisi berikut.

Definisi 4 :

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka varians dari X didefinisikan sebagai :

(

x

−

μ

Var

(

X

)=

∑

x

¿

2

. p

(

x

)

¿

Contoh 5.

Misalkan distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut :

x 1 2 3

p(x)

1

2

1

3

1

6

Hitung Var(X). Solusi :

Berdasarkan definisi varians diskrit, maka :

Var(X) =

∑

x

(

x

−

μ

)

2

. p

(

x

)

Dengan

μ

=

E

(

X

)=

∑

x

x . p

(

x

)

=

∑

x=1 3

x . p

(

x

)

= (1) . p(1) + (2) . p(2) + (3) . p(3)

=

(

1

)

(

1

2

)

+(

2

)

(

1

3

)

+(

3

)

(

1

6

)

= E(X) =

5

Jadi, Var(X) =

∑

x=1 3

(

x

−

5

3

)

2

. p

(

x

)

=

(

1

−

5

3

)

2

. p

(

1

)+

(

2

−

5

3

)

2

. p

(

2

)+

(

3

−

5

3

)

2

. p

(

3

)

=

(

4

9

)(

1

2

)

+

(

1

9

)(

1

3

)

+

(

16

9

)(

1

6

)

=

5

9

Definisi 7: VARIANS KONTINU

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka varians dari X didefenisikan sebagai berikut.

Var

(

X

)=

∫

−∞ ∞

(

x

−

μ

)

2

. f

(

x

)

dx

Dalil 2 :

Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var(c) = 0

Bukti : berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka Var(c) = E[c – E(c)]2 _{= E(c – c)}2 _{= E(0) = 0}

Dalil 3 :

Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka Var(X + c) = Var(X)

Bukti : berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka : Var(X + c) = E[(X + c) – E(X + c)]2

= E[X + c – E(X) – E(c)]2

= E[X + c – E(X) – c]2

= E[X – E(X)]2

= Var(X) Dalil 4 :

Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka : Var(aX + b) = a2 _{. Var(X)}

Bukti : berdasarkan definisi dari perumusan varians di atas, maka : Var(aX + b) = E[(aX + b) – E(aX + b)]2

= E[aX + b – E(aX) – E(b)]2

= E[aX – a.E(X)]2

= a2 _{. E[X – E(X)]}2

= a2 _Var(X)

Contoh 6.

Misalnya Sarah mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika peubah acak X menyatakan kuadrat dari munculnya angka pada mata dadu, maka hitunglah (a)

Var(2X); (b) Var(

1

2

X – 1)

Solusi :

Distribusi peluang dari X berbentuk :

X 1 4 9 16 25 36

Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka :

i. E(X) =

∑

Berdasarkan definisi nilai ekspektasi diskrit, maka :

Momen

Definisi 5 : MOMEN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasike-kan dengan

μ ' k

¿

didefinisikan sebagai :

μ

'

K

=

E

(

X

k

)

, k

=

1,2, 3,

…

Definisi 6 : MOMEN DISKRIT

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan dengan μ ' k¿ didefinisikan sebagai :

μ

k'

=

∑

x

x

k

_{. p}

(

x

)

Contoh 7.

Berikut diberikan distribusi peluang dari peubah acak X

x 1 2 3 4

p(x)

1

4

1

8

1

8

1

2

Hitung nilai

μ

₃ Solusi.

Berdasarkan definisi momen diskrit, maka :

μ

3

'

=

E

(

X

3

)=

_∑

x

x

3

. p

(

x

)

=

∑

x=1 4

x

3

. p

(

x

)

=

(

1

)

3

(

1

4

)

+(

2

)

3

(

1

8

)

+(

3

)

3

(

1

8

)

+

(

4

)

3

(

1

2

)

=

293

8

Definisi 7 : MOMEN KONTINU

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan dengan μ ' k¿ didefinisikan sebagai :

μ

_k'

=

∫

−∞ ∞

x

k

. f

(

x

)

dx

Definisi 8 : MOMEN SEKITAR RATAAN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen sekitar

rataan ke-k (dinotasikan dengan μ_k¿ didefinisikan sebagai :

μ

_k❑

Definisi 9 : MOMEN SEKITAR RATAAN DISKRIT

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x,

maka momen sekitar rataan ke-k (dinotasikan dengan

μ

_k ) didefinisikan sebagai :

μ

_k

=

∑

x

(

x

−

μ

)

k . p

(

x

)

Definisi 10 : MOMEN SEKITAR RATAAN KONTINU

Jika X adalah peubah acak kontinu dan p(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di

x, maka momen sekitar rataan ke-k (dinotasikan dengan μ_k ) didefinisikan sebagai :

μ

_k

=

∫

−∞ ∞

(

x

−

μ

)

k

. f

(

x

)

dx

Definisi 11 : FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit

momen dari X (dinotasikan dengan

M

_x

(

t

)

) didefinisikan sebagai :

M

x

(

t

)=

E

(

e

tX

)

untuk

−

h

<

t

<

h dan h

>

0

Definisi 12 : FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DISKRIT

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

M

x

(

t

)=

∑

x

e

tx

. p

(

x

)

Definisi 13 : FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN KONTINU

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

M

_x

(

t

)=

∫

−∞ ∞

e

tx

. f

(

x

)

dx

Berikut merupakan dua cara pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa menghasilkan momen-momen.

1. Jika dari definisi 14, etX _{diuraikan dengan menggunakan deret MacLaurin,}

maka akan diperoleh :

Mx

(

t

)

=E(etX)

¿

E

(

1

+

tX

+

(

tX

)

2

2

!

+

(

tX

)

3

3

!

+

…

+

(

tX

)

r

r !

+

…

)

¿

(

1

+

t . E

(

X

)+

t

2

2

!

. E

(

X

2

₎

+

t

3

3

!

. E

(

X

3

₎₊

_…

+

t

r

r !

. E

(

X

r

Jika Mx(t) diturunkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka

akan diperoleh :

M

X

(

t

)=

E

(

X

)+

2

₂

t

_!

. E

(

X

2

₎₊

3

t

2

3

!

. E

(

X

3

₎₊

…

+

r .t

r−1

r !

. E

(

X

r

₎

+

…

M

_X

(

0

)+

E

(

X

)=

μ '

₁

M

X

(

t

)=

E

(

X

2

₎

+

6

t

3

!

. E

(

X

3

₎₊

…

+

r

(

r

−

1

)(

r

−

2

)

t

r−2

r !

. E

(

X

r

₎₊

…

M

X'

(

0

)=

E

(

X

2

)=

μ '

2

Demikian seterusnya, sehingga apabila MX(t) diturunkan terhadap t

sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

M

x '

(

0

)=

E

(

X

r

)

=

μ

r

'

2. Dalam hal ini, perumusan pada definisi 6.14 akan diturunkan terhadap t

Mx

(

t

)

=E(etX)

M

X

'

(

t

)=

E

(

X . e

tX

)

M

X'

(

0

)=

E

(

X . e

0

)

=

E

(

X

)=

μ

1'

M

X

(t)=E( {X} ^ {2} . {e} ^ {tX}

M_X(0)=E( {X} ^ {2} . {e} ^ {0} )=E( {X} ^ {2} )= {μ} rsub {2}

Demikian seterusnya, sehingga apabila MX(t) diturunkan terhadap t

sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

M

X r

₍

0

)=

E

(

X

r

)

=

μ

r

'

Dalil 5 :

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan MX(t) adalah fungsi

pembangkit momennya, maka :

MX r

(t)t=0

¿

=μr'

Contoh 8.

Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk :

p(x) =

1

4

.

(

2

x

)

; x

=

0, 1, 2

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X

Solusi.

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka

a.

M

x

(

t

)=

∑

x

e

tX

. p

(

x

)

¿

∑

x=0 2

e

tX

_.

1

4

.

(

2

x

)

¿

1

4

[

1

+

e

t

.

(

2

1

)

+

e

2t

.

(

2

2

)

]

¿

(

1

4

)

(

1

+

2.

e

t

+

e

2t

₎

_;t

_∈

_R

b. μ2'=M' 'X

(

t

)

t=0

¿

¿

1

4

(

2

. e

t

+

4

.e

2t

)

¿

¿

(

1

4

(

2

+

4

)

)

= 1,5 Dalil 6 :

Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka McX(t) = Mx(ct)

Bukti.

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen, maka : McX(t) = E(et.cX) = E(ect.X) = MX(ct)

Dalil 7 :

Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka MX + c(t) = ect .

MX(t)

Bukti.

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen, maka : MX + c (t) = E(et(X + c))

= E(etX _{. e}ct₎

= ect _{. E(e}tX₎

= ect _{. M} X(t)

Dalil 8 :

M

_(X+a)(t) b

=

e

at b

_{. M}

X

(

t

b

)

Bukti.

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen, maka :

M

_(X+a)(t) b

=

E

(

et

t|Xa|

b

)

=

_E

(

_et

tXb

_{. e}

at

b

)

= _eatb _{. E}

(

_e tX

b

)

=

e

at b

_{. M}

X

(

t

b

)

Latihan

1. Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk :

p

(

x

)=

x

15

;x

=

1,2, 3, 4, 5

Hitunglah E[(X2 _{+ 2)}2_{], E[6X}2 _{– 1], Var(X),}

_μ

3

'

_{, dan μ}

3

2. Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk :

p

(

x

)

=2

(

1 3

)

x

; x=1, 2,3,…

Hitunglah E(3X + 2), E(2X – 1)2_{, Var(X),}

_μ

3

'

, dan μ

3

3. Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :

a.

f

(

x

)=

(

1

8

)

(

x

+

1

)

;

2

<

x

<

4

= 0 ; x lainnya b. g

(

x

)

=x ; 0 < x < 1

= 2 – x ; 1 < x < 2 = 0 ; x lainnya

Hitung E(3X – 4), E(X2 _{+ 2X – 2), Var(X),}

_μ

3

'

_{, dan μ}

3