DISTRIBUSI BERNOULLI
disusun untuk memenuhi salah satu tugas kelompok mata kuliah Statistik Matematika
Dosen Pengampu:
Susanti, M. Pd
Oleh:
Kelompok 1
Faras Arinal 200205020 M. Riski Maulana 200205043
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI AR-RANIRY BANDA ACEH 2022
ii
Daftar Isi
DISTRIBUSI BERNOULLI ... 3
1. Definisi dan Bentuk Umum Bernoulli ... 3
a. Definisi Distribusi Bernoulli ... 3
b. Bentuk Umum Distribusi Bernoulli ... 3
2. Pembuktian Distribusi Bernoulli ... 4
a. Distribusi Bernaulli memenuhi syarat sebagai fungsi padat peluang. 4 b. Jika 𝒙 peubah acak distribusi bernoulli dengan parameter 𝒑 ... 4
3. Ciri-ciri Percobaan Distribusi Bernoulli ... 6
4. Contoh Soal ... 6
Daftar Pustaka ... 11
3
DISTRIBUSI BERNOULLI
1. Definisi dan Bentuk Umum Bernoulli a. Definisi Distribusi Bernoulli
Bernoulli ditemukan oleh Jacob Bernoulli, seorang matemaikawan dari Swiss.
Distribusi Bernoulli adalah distribusi yang bersumber dari Percobaan Bernoulli.
Peubah acak bernoulli hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1 dalam satu kali percobaan. Nilai 0 dan 1 ini biasanya dikaitkan dengan “gagal” dan “sukses”. Dan peluang sukses dinyatakan dengan p dan gagal dengan 1 - p1
Contoh sederhana adalah pelemparan sebuah mata uang logam, di mana terdapat 2 kemungkinan hasil yang akan diperoleh dari satu kali pelemparan, yaitu Angka dan Gambar.
Misalkan munculnya Angka dianggap kejadian yang "sukses" adalah P dan munculnya Gambar dianggap kejadian yang "Gagal" adalah 1−p. Selanjutnya, variabel random X terkait percobaan tersebut diberi nilai 1 dengan peluang p jika
"Sukses" terjadi dan diberi nilai 0 jika "Gagal" terjadi dengan peluang 1−p.
Dengan demikian, variabel random X dikatakan berdistribusi Bernoulli.
Contoh lainnya adalah pada saat seseorang mengikuti Ujian masuk ke perguruan tinggi maka akan dua kemungkinan yaitu berhasil atau gagal.
b. Bentuk Umum Distribusi Bernoulli Bentuk Umum Distribusi Bernoulli :
Peubah acak X mempunyai distribusi Bernoulli, dan dikatakan sebagai peubah acak Bernoulli, jika dan hanya jika distribusi peluangnya berbentuk :
𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙
• Jika 𝑥 = 0 maka 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑝0(1 − 𝑝)1−0= 1 − 𝑝
1 Drs. Yerizon dan M. Si, Dra. Minora Longgom Nasution, “Pengantar Stokhastik”. (Universitas Negeri Padang, 2003), hlm 10.
𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒙 = {𝟎, 𝟏}
4
• Jika 𝑥 = 0 maka 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝1(1 − 𝑝)1−1 = 𝑝
Peubah Acak X yang berdistrusi Bernoulli dikatakan juga peubah acak Bernoulli. Penulisan Notasi dari peubah acak yang berdistribusi Bernoulli adalah 𝑋~B (x;1, p), artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal dinytatakan dengan x, banyak eksperimen yang dilakukan satu kali dan peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p2
Keterangan Nilai : Rata-rata ( μ ) = p Varians (σ² ) = p (1 – p)
2. Pembuktian Distribusi Bernoulli
a. Distribusi Bernaulli memenuhi syarat sebagai fungsi padat peluang.
Fungsi padat peluang distribusi bernoulli sebagai berikut :
Dimana 𝑋 yang merupakan variabel random, 𝑝 merupakan parameter dimana 0≤𝑝≤1. Variabel random 𝑋 yang berdistribusi bernoulli dapat ditulis X∼B(x;1,p).
b. Jika 𝒙 peubah acak distribusi bernoulli dengan parameter 𝒑, maka:
(i) Akan dibuktikan bahwa E(X) = 𝑝 Bukti:
Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka : 𝑬(𝑿) = 𝝁 = ∑ 𝒙 ∙ 𝒑(𝒙)
𝟏 𝒙=𝟎
2Herrhyanto, Nar. Pengantar Statistika Matematis / Nar Herrhyanto, Tuti Gantini. (Bandung: Yrama Widya, 2009), hlm. 293.
𝒑(𝒙) = {𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙 𝒙 = 𝟎, 𝟏 𝟎 𝒍𝒂𝒊𝒏𝒏𝒚𝒂
𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒙 = {𝟎, 𝟏}
5
𝑬(𝑿) = 𝝁 = ∑ 𝒙 ∙ 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙
𝟏 𝒙=𝟎
𝑬(𝑿) = (𝟎 𝒑𝟎(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝟎) + (𝟏𝒑𝟏(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝟏) 𝑬(𝑿) = 𝟎 + 𝒑
(𝑿) = 𝝁 = 𝒑 (Terbukti)
(ii) Akan dibuktikan 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) Bukti:
Berdasarkan definisi variasi diskrit, maka:
𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = ∑𝟏𝒙=𝟎(𝒙 − 𝝁)𝟐∙ 𝒑(𝒙)
𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 𝝈𝟐= ∑𝟏𝒙=𝟎(𝒙 − 𝒑)𝟐∙ 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙 𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 𝝈𝟐= (𝒙 − 𝒑)𝟐 ∙ 𝒑𝟎(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝟎+ (𝒙
− 𝒑)𝟐 ∙ 𝒑𝟏(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝟏 𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 𝝈𝟐= 𝒑𝟐− 𝒑𝟑+ 𝒑 − 𝟐𝒑𝟐+ 𝒑𝟑 𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 𝝈𝟐= 𝒑 − 𝒑𝟐 (Terbukti)
(iii). Akan dibuktikan 𝑀𝑥(𝑡) = 𝑝𝑒𝑡+ (1 − 𝑝) 𝑴𝒙(𝒕) = 𝑬[𝒆𝒕𝒙]
= ∑ 𝒆𝒕𝒙∙ 𝒑(𝒙)
𝟏 𝒙=𝟎
= 𝑬[𝒆𝒕𝒙] ∙ (𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙)
= 𝟏(𝟏(𝟏 − 𝒑)) + 𝒆𝒕(𝒑(𝟏 − 𝒑)𝟎)
= (𝟏 − 𝒑) + 𝒆𝒕∙ 𝒑
𝑴𝒙(𝒕) = (𝟏 − 𝒑) + 𝒑 ∙ 𝒆𝒕
𝑴𝒙(𝒕) = 𝒑𝒆𝒕+ (𝟏 − 𝒑) (Terbukti)3
3Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.
6 3. Ciri-ciri Percobaan Distribusi Bernoulli
Ciri-ciri suatu percobaan yang berdistribusi bernoulli, jika memenuhi sifat- sifat sebagai berikut :
• Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa sukses (peristiwa yang diperhatikan), dan peristiwa gagal (peristiwa yang tidak
diperhatikan).
• Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja.
• Probabilitas sukses, disimbolkan dengan 𝑝, dan probabilitas gagal disimbolkan dengan 𝑞, 𝑞=1−𝑝
• Percobaan dilakukan n kali (n dengan kondisi yang sama )
• Tiap percobaan hanya mempunyai dua hasil yaitu “sukses” dan “gagal”
• Peluang sukses tiap percobaan sama, yakni P(sukse)= dan P(gagal) = 1-
• Percobaan yang satu dengan yang lain saling bebas 4
4. Contoh Soal
Contoh aplikasi suatu percobaan yang berdistribusi Bernaulli dan penyelesaiannya:
1) Sebuah dadu diundi, jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses,
a. Tentukan fungsi peluang Jawab:
P = P (sukses) = P (muncuk angka 2 atau 4)
{ 1
3 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 1 1
3 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0 0 , 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
P (k) = 𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆) = 1
6+ 1
6= 1
3
4H. Maman Suherman, “Drs.,M.Si, Pengantar Statistika Matematika”, (Bandung, Jurnal FPMIPA UPI, 2007), hlm. 45.
7
Dalam hal ini seusai dengan distribusi bernoulli, yaitu : P (X) = 𝑝𝑥 (1 − 𝑝)1−𝑥 =, untuk x = 0,1
Karena 𝑝 = 1
3 atau 0,33 sehingga 𝑓(𝑥, 𝑝) = (0,33)𝑥(0,33)𝑥−1, untuk 𝑥 = 0,1
Setelah diundi ternyata mata dadu yang muncul adalah 2, berarti 𝑥 = 1 atau berhasil.
Jadi,
𝑓(𝑥, 𝑝) = (0,33)1(0,33)1−1 𝑓(𝑥, 𝑝) = 0,33
b. Menentukan nilai 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) Penyelesaian :
Diketahui : 𝑝 = 1
3 Jawab :
Berdasarkan teorema diperoleh 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑝 = 1
3
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1
3 (1 −1 3) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1
3− 2 3= 2
9
2) Diawal tahun ajaran baru, siswa SMP kelas III biasanya bisa melanjutkan sekolah ke sekolah favorit, begitu juga dengan Anne. Dia berharap bisa masuk sekolah favorit yang diiinginkannya, tapi untuk bisa masuk ke sekolah tersebut, ia harus mengikuti terlebih dahulu. Berdasarkan
prestasinya selama 3 tahun di SMP, kemungkinan ia diterima sebesar 70%.
Maka tentukan fungsi probabilitasnya!
Jawab :
8
Jika variabel 𝑋 menyatakan Anneh diterima, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut :
𝑋 = {1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐴𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑖𝑡𝑛𝑦𝑎 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐴𝑛𝑛𝑒 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑖𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑃 (1) = 𝑝 (𝑋 = 1) = 0,7
𝑃 (1) = 𝑝 (𝑋 = 0) = 1 − 0,7 = 0,3
𝑃 (𝑋 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1) = 𝑝 (𝑋 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1) = 0
Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi bernaulli dengan satu prameter P = 0,7. Dinotasikan
𝑃 (𝑋 ; 0,7) = {
0,7 , 𝑋 = 1 0,3 , 𝑋 = 0 0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑋 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 Atau :
𝑃(𝑋 ∶ 0,7) = 0,7𝑥(0,3)1−𝑥; 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1
3) Sebuah dadu dilantunkan 1 kali. Jika diasumsikan sukses ketika muncul mata dadu genap. Tentukan peluang sukses dari hasil lantunan sebuah dadu.
Jawab :
Hasil lantunan sebuah dadu 𝑇 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Misal A adalah kejadian munculnya mata dadu genap. 𝐴 = {2, 4, 6}, maka:
𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 3
6
𝑃(𝑋 = 1) = (3
6)1(1 −3 6)
1−1
= (3 6)
4) Sebuah mata uang dilempar satu kali, dicatat bahwa hasilnya kejadian muncul muka “K” dari belakang “L”.
a. Berapa peluang yang muncul muka?
b. Tentukan nilai 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑥) nya!
Penyelesaian :
9 a. Peluang munculnya muka
Ruang sampe dari masalah diatas adalah 𝑆 = {𝐾, 𝐿} dan dimisalkan kejadian muncul muka adalah 𝐴 = {𝐾}, dan dibelakang adalah 𝐶 = {𝐿}. Sehingga peluang muncul ,uka adalah :
𝑃(𝐾) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)= 1
2
Dalam hal ini sesuai dengan distribusi bernoulli, yaitu : 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = {0,1}
Karena 𝑝 =1
2 atau 0,5 sehingga 𝑓(𝑥, 𝑝) = (0,5)𝑥(0,5)𝑥−1, untuk 𝑥 = 0,1. Setelah dilakukan pelemparan ternyata mata uang yang muncul adalah muka, berarti 𝑥 = 1 atau berhasil.
Jadi,
𝑓(𝑥, 𝑝) = (0,5)𝑥(0,5)𝑥−1 𝑓(𝑥, 𝑝) = 0,5
b. Nilai 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑥) Diketahui :
𝑃 = 0,5 Jawab :
Berdasarkan teorema 1. Diperoleh : Rata-rata (𝜇) = 𝑝 = 0,5
Varians (𝜎2) = 0,5 𝑥 0,5 = 0,25
5) Misalkan 𝑌 ~ 𝐵 = (𝑦; 11
4) Tentukan fungsi distribusinya!
Penyelesaian :
Fungsi peluang dari 𝑌 adalah : 𝑃(𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = (1
4)𝑦(3
4)1−𝑦 ; 𝑦 = 0,1 Jadi :
10 𝑃(0) = 3
4 𝑃(1) = 1 4
Distribusi peluang 𝑌 adalah :
y 0 1
𝑃(𝑦) 3
4
1 4
Fungsi distribusi dari 𝑌 adalah :
𝑃(𝑦) = {
𝑦, 𝑦 < 0 3
4, 𝑦 ≥ 0 < 1 1, 𝑦 ≥ 1
11
Daftar Pustaka
Drs. Yerizon dan M. Si, Dra. Minora Longgom Nasution, “Pengantar Stokhastik”.
(Universitas Negeri Padang, 2003), hlm 10.
Herrhyanto, Nar. Pengantar Statistika Matematis / Nar Herrhyanto, Tuti Gantini.
(Bandung: Yrama Widya, 2009), hlm. 293.
Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.
H. Maman Suherman, “Drs.,M.Si, Pengantar Statistika Matematika”, (Bandung, Jurnal FPMIPA UPI, 2007), hlm. 45.
