1. Omów alfabet w logice rachunku predykatów.
Alfabet języka formalnego rachunku predykatów jest zbiorem składającym się z:
a) symboli zmiennych, np. , b) symboli stałych, np. , ℎ ; c) symboli funkcji, np. , ; d) symboli predykatów;
e) spójników logicznych: ~,∧,∨ oraz znaku ←;
f) znaków kwantyfikatorów:∀ i ∃;
g) znaków interpunkcyjnych: ” , ” , ”(” , ”)”.
Predykaty i funkcje mogą mieć różną arność (liczbę argumentów). Predykat o zerowej arności nie zależy od żadnych argumentów, co oznacza, że jest równoznaczny ze zmienną zadaniową z rachunku zdań.
Interpretacja języka predykatów
Niech = { , , … , , , , … , , / , / , … , / , / , / , … , / } będzie językiem formalnym, gdzie są symbolami stałych, są symbolami zmiennych, są symbolami funkcji z odpowiadającymi im marnościami , a są symbolami predykatów z odpowiadającymi im arnościami .
2. Omów alfabet w logice rachunku zdań.
Alfabet języka formalnego rachunku zdań jest zbiorem składającym się z:
a) wartości (oznaczanej także lub 1) oraz wartości (oznaczanej także lub 0);
b) zmiennych zdaniowych (oznaczanych zwykle , , , …);
c) spójników logicznych: ~,∧,∨, ←;
d) znaków interpunkcyjnych: ‘’,’’,’’(‘’,’’)’’.
Najbardziej wiążącym spójnikiem logicznym jest ~, którym oznaczyć będziemy negację, następnie ∧, którym oznaczać będziemy koniunkcję, a następnie ∨, którym będziemy oznaczać alternatywę.
Spójnik ← (oznaczający implikację) będzie wykorzystywany przy notacji klauzulowej.
W myśl gramatyki języka formalnego rachunku zdań ciągami o poprawnej składni są:
a) , b) , , , …
c) Jeśli oraz są poprawne, to indukcyjnie poprawne są także:
1) ~ , ~ , 2) ∧ ,
3) ∨ .
Poprawne ciągi znaków tego alfabetu będziemy nazywać formułami logicznymi (lub po prostu formułami).
3. Co to znaczy, że jest spełnione.
Jeśli formułę możemy otrzymać ze zbioru faktów ∆ przy pomocy reguł wnioskowania =
{ , , … } powiemy, że jest wnioskowalna i zapisujemy to: ∆→ ϕ (na wykładzie notacja z falowaną strzałką).
4. Wyjaśnij definicję reguły wnioskowania która jest poprawna (podaj treść).
Ogólnie mówiąc, przez regułę wnioskowania rozumie się instrukcję stwierdzającą z jakiego rodzaju zdań jako przesłanek, jakie zdanie można otrzymać jako wniosek. Przy tym instrukcja ta podaje na ogół tylko strukturę owych zdań, nie wnikając w ich treść. Reguły wnioskowania zwykle notuje się w postaci ułamkowej: ,…,
5. Czym różni się rezolucja od modus tollens?
Modus Tollens (MT): Jeśli implikacja jest prawdziwa oraz jej następnik jest fałszywy, to poprzednik także jest fałszywy.
Reguła: Jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe.
Fakt: jest fałszywe.
Wniosek: jest fałszywe.
Rezolucja jest regułą wnioskowania polegającą na generowaniu nowych klauzul na podstawie klauzul już istniejących.
6. Jaka jest różnica w pojęciach J ← pewna reguła wnioskowania
Jeśli formułę ϕ możemy otrzymać ze zbioru faktów ∆ przy pomocy reguł wnioskowania = { , , … } powiemy, że jest wnioskowalna. Niech dane będą zbiory formuł logicznych Δ i ϕ. Powiemy, że ϕ jest logiczną konsekwencją zbioru Δ jeśli każdy model dla ∆ jest jednocześnie modelem dla ϕ.
7. Omów poprawne formuły w rachunku zdań
Poprawne ciągi znaków tego alfabetu będziemy nazywać formułami logicznymi (lub po prostu formułami). Formułami są wszystkie zdania rachunku zdań. Każda zmienna zdaniowa również jest formułą (zwaną formułą atomową). Formułami są również negacje formuł atomowych. Negacje, koniunkcje, alternatywy oraz implikacje formuł logicznych również są formułami. Żadne inne wyrażenie nie jest formułą.
8. Jaka jest podstawowa różnica między dowodzeniem w łańcuchu dowodowym wprost (I = rezolucja) a metodą refutacji?
Rezolucja jest metodą wnioskowania poprawną polegającą na dowodzeniu wprost, w której wykorzystujemy obecny zbiór klauzul do tworzenia nowych i na podstawie tego dowodzimy poprawność zapytania. Refutacja jest metodą dowodzenia nie wprost polegającą na udowodnieniu prawdy poprzez udowodnienie nieprawdziwości zaprzeczonego zapytania. Do zbioru klauzul
dodajemy zaprzeczoną klauzulę zapytania i dzięki refutacji dochodzimy do rezolwenty w postaci liścia sukcesu.
9. Logiczna konsekwencja
Niech dane będą zbiory formuł logicznych i . Powiem, że jest logiczną konsekwencją zbioru jeśli każdy model dla jest jednocześnie modelem dla . Logiczną konsekwencję oznacza się: ⊨ .
10. Wynikanie
WYNIKANIE LOGICZNE ZDAN - zachodzi pomiędzy zdaniami logicznymi i , jeżeli zdanie o schemacie : “ → ” jest prawdą logiczną. Mówimy wówczas, że wynika logicznie z .
11. Model
Powiemy, że interpretacja jest modelem dla zbioru ∆, jeśli każda formuła z ∆ jest spełniana przy wartościowaniu , czyli: ∀ ∈ ∆: = 1. W literaturze model jest określony również pojęciem struktury matematycznej.
12. Poprawność i zupełność
Niech dane będą zbiory faktów ∆ oraz , a także zbiór reguł wnioskowania . Powiemy, że reguła ∈ jest poprawna, jeśli zachodzi warunek: ∆→ => ∆⊨ . Powiemy, że reguła ∈ jest zupełna, jeśli zachodzi warunek: ∆⊨ => ∆→ . Metoda rezolucji jest regułą poprawną i zupełną.
13. Refutacja
Refutacja jest metodą dowodzenia nie wprost polegającą na udowodnieniu prawdy poprzez udowodnienie nieprawdziwości zaprzeczonego zapytania. Do zbioru klauzul dodajemy zaprzeczoną klauzulę zapytania i dzięki refutacji dochodzimy do rezolwenty w postaci liścia sukcesu.
14. Tautologia
Tautologia to formuła , która jest prawdziwa dla dowolnego wartościowania: ∀ : = 1.
15. Spełnialność
Formuła spełniana to formuła , dla której istnieje przynajmniej jedno wartościowanie , przy którym prawdziwa: ∃ : = 1.
Spełnialność i prawdziwość
Formułę, która dla ustalonej interpretacji i wartościowania ma wartość logiczną 1, nazywa się formułą spełnioną przy tej interpretacji i wartościowaniu. Formuła, dla której istnieje interpretacja i wartościowanie, przy których jest ona spełniona, nazywana jest formułą spełnianą. Z kolei formuła spełniona przy dowolnej interpretacji i wartościowaniu jest formułą prawdziwą.
16. Klauzule Horna
Klauzulę nazwiemy klauzulą Horna, jeśli jej nagłówek składa się z nie więcej niż jednej formuły.
Klauzula Horna ma zatem wyrażenie postaci: ← , , … , _ . Przypadki klauzuli Horna:
Klauzule puste – klauzule, które mają dokładnie – literałów w nagłówku i których treść jest pusta;
Zapytania – klauzule, które mają dokładnie 0 literałów w nagłówku i których treść nie jest pusta;
Fakty – klauzule, których nagłówek zawiera dokładnie jeden literał i których treść jest pusta;
Reguły – klauzule, których nagłówek zawiera dokładnie jeden literał i których treść nie jest pusta.
Fakty i reguły są wykorzystywane podczas programowania w Prologu. Zapytania są wykorzystywane do wyrażenia tego, co ma zostać udowodnione.
17. Occurs check
Occurs check to błąd, który występuje wtedy, gdy podczas unifikacji, zmienną wolną chcemy zunifikować ze zmienną uzależnioną, która zawiera w sobie tą samą zmienną, jaką jest zmienna wolna.
