KULIAH 4: terukur Lebesgue

KULIAH – 4

1. Aljabar-σ dari himpunan terukur Lebesgue

2. Pendekatan outer dan inner dari himpunan terukur Lebesgue

Ukuran luar yang didefinisikan sebelumnya berlaku untuk sembarang himpunan sehingga bukan suatu ukuran aditif yang terhitung. Untuk menjadi ukuran aditif terhitung, maka perlu himpunan pada koleksi himpunan yang merupakan aljabar-σ.

1. Aljabar-σ dari himpunan terukur Lebesgue

Himpunan terukur E  *( )m A  m*(A E)+m*(AE^c)

Definisi: Himpunan E dikatakan terukur (measurable), jika untuk setiap himpunan A berlaku

*( )m A = m*(A E) + m*(A E^c)

Karena ukuran luar bersifat subadiktif terhingga (prop 3 Kuliah 3), maka selalu berlaku:

*( )m A  m*(A E) + m*(A E^c) Jadi,

Bukti

Proposisi 5: (b) Gabungan dari koleksi berhingga himpunan terukur adalah terukur.

1

1

1

1

1 1

1 1

1

1

Untuk 1, himpunan terukur, benar.

Untuk , misalkan benar terukur.

Untuk 1,

Karena terukur, dan juga terukur, maka terukur

k

i i

k k

i i k

i i

k

i k

i k

i i

n E

n k E

n k

E E E

E E

E

=

+

= = +

= +

+

=

=

=

= +

 

=     



 



 ^.

Bukti: Dengan induksi matematika untuk: 1 , terukur.

n

k Ek n

=  

Proposisi 5: (c) Koleksi himpunan terukur merupakan aljabar-σ

Bukti: Berdasarkan Proposisi 5 (b) dan Soal Latihan yang menyebutkan bahwa E terukur jika dan hanya jika E^c terukur

Proposisi 6: Misalkan A himpunan sembarang, dan E₁, …,E_n barisan himpunan terukur yang saling lepas, maka

1 1

* *( ).

n n

i i

i i

m A E m A E

= =

   = 

  









Kasus khusus A = R, diperoleh:

1 1

* *( ).

n n

i i

i i

m E m E

= =

  =

 









(

1

)

¹

(

1

)

1

1 1

1

1

Bukti Proposisi 6: Dengan induksi matematika.

Untuk 1, * * ( ) * , benar.

Untuk , misalkan benar * * ( ).

Untuk 1, akdib *

i i

k k

i i

i i

k

i i

n m A E m A E m A E

n k m A E m A E

n k m A E

=

= =

+

=

=  =  = 

  

=    = 

  

= +   

 

 



 



 

1

1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 1

1

1 1

* ( ).

Karena saling lepas, maka dan

Karena terukur, maka * *

k

i i

k k k

n c

k k i k k i k i

i i i

k k

k i i

i i

m A E

E A E E A E A E E A E

E m A E m A E

+

=

+ +

+ + +

= = = =

+ +

+ = =

= 



     

  =    =  

   =  

    

 



  

 

^{1 1 1}

1 1

1 1

1 1 1

*

* ( ) * * ( ) * ( ) * ( ).

k

c

k i k

i

k k

k

k i k i i

i i i

E m A E E

m A E m A E m A E m A E m A E

+

+ +

= +

+ +

= = =

  +    

     

   

  

=  +    =  +  = 

 

 



 



Proposisi 7: Gabungan dari koleksi terhitung himpunan terukur merupakan terukur.

Bukti

Lanjutan bukti Proposisi 7

Teorema 9: Setiap himpunan Borel terukur.

Proposisi 8: Setiap selang adalah himpunan terukur.

Berkaitan dengan Teorema 9, koleksi himpunan terukur M merupakan aljabar-σ

yang memuat setiap selang yang berbentuk (a,∞) dan himpunan Borel B merupakan aljabar-σ terkecil yang memuat semua selang-selang yang seperti itu.

Dalam Teorema 9 juga diperoleh bahwa setiap himpunan buka dan tutup terukur.

Berikut ini dibahas dua sifat keterukuran himpunan berdasarkan pendekatan inner oleh himpunan tutup dan pendekatan outer oleh himpunan buka.

Teorema 11:

Empat pernyataan berikut ekivalen dengan Keterukuran Himpunan E.

Pendekatan outer oleh himpunan buka dan himpunan G_δ

(i) 0, terdapat himpunan buka yang memuat sehingga *( ) . (ii) Ada di yang memuat sehingga *( ) 0.

O E m O E

G G_ E m G E

 

  − 

− = 2. Pendekatan outer dan inner

(iii) 0, terdapat himpunan tutup di dalam sehingga *( ) . (iv) Ada di pada sehingga *( ) 0.

F E m E F

F F

_

E m E F

 

  − 

− =

Pendekatan inner oleh himpunan tutup dan himpunan F_σ

Teorema 11a:

Pendekatan outer oleh himpunan buka dan himpunan G_δ Himpunan E terukur ↔ (i) berlaku ↔ (ii) berlaku

1

Bukti:

Akan dibuktikan: terukur (i) berlaku Misalkan terukur dan 0 diberikan.

Pertama, asumsikan * ( ) , maka ada { } koleksi selang buka sehingga dan ( ) * ( ) . Selanjutnya

k k

k k

E E

m E I

E I l I m E





=

 →



 

    + definisikan . Jelas

himpunan buka dan . Perhatikan: * ( ) ( ) * ( ) . Jadi

* ( ) * ( ) atau * ( ) , sebab dan terukur.

k k

O I

O E O m O l I m E

m O m E m O E E O E



 

= 

   +

−  −  



2

2

Kedua, asumsikan * ( ) , maka , dengan * ( ) . Jadi,

ada dengan sehingga * ( ) . Pilih , maka

jelas dan ( ) sehingga

* ( ) * ( ) . Jadi

k

k

k k

k k k k k k

k k k k

k k

m E E E m E

O E O m O E O O

E O O E O E O E

m O E m O E







=  =   

 −  = 

 − =  −    −

−   −   =

1

(i) berlaku.

Akan dibuktikan (i) berlaku (ii) berlaku.

, pilih yang memuat dengan * ( ) . Definisikan maka memiliki tipe yang memuat , dan , ,

k k k k

k

k O E m O E G O

G G

_

E k G E O E

 →

 −  = 

 −  − * ( ) * ( )

1

.

Jadi * ( ) 0. Jadi (ii) berlaku.

k k

m G E m O E m G E

−  − 

− =

Akan dibuktikan (ii) berlaku terukur.

Karena * ( ) 0, maka - terukur, sehingga ( - ) juga terukur.

Kemudian terukur, sebab dan setiap himpunan Borel terukur.

Perhatikan

c

E

m G E G E G E

G G G

E G



 →

− =



=  ( G − E ) . Karena dan ( - ) terukur, maka terukur.

^c

G G E

^c

E

Teorema 11b: Pendekatan inner oleh himpunan tutup dan himpunan F

_σ

Himpunan E terukur ↔ (iii) berlaku ↔ (iv) berlaku

(iii) 0, terdapat himpunan tutup di dalam sehingga *( ) . (iv) Ada di pada sehingga *( ) 0.

F E m E F

F F

_

E m E F

 

  − 

− =

Bukti: latihan

Teorema 12:

Misalkan E himpunan terukur, maka terdapat koleksi berhingga dari selang- selang buka sehingga

 0

  { }I_k ⁿ_k=1

1

*( ) *( ) , dengan

n k k

m E O m O E  O I

=

− + −  =

2

Bukti:

Dari Teorema 11a, ada himpunan buka dengan dan * ( - ) . Karena

terukur dan * ( ) , maka * ( ) . Karena setiap himpunan buka adalah gabungan terhitung dari selang-selang buka, maka mis

U E U m U E E

m E m U

  

   

1 2

1 1 1

1 2

alkan . Jadi

( ) * * ( ) sehingga ( ) . Pilih sehingga ( ) ,

lalu definisikan . Karena , maka * ( ) * ( ) .

Selain itu, karen

k

n n

k k k k

k k k k n

n k k

U I

l I m I m U l I n l I

O I O E U E m O E m U E





 

= = = = +

=

= 

 

=          

 

=  −  − −  − 

  

1 2

1

a , maka . Jadi * ( ) ( ) ,

sehingga * ( ) * ( ) .

k k

k n k n

E U E O U O I m O E l I

m O E m E O





 

= + = +

 −  − =  −  

− + − 



1. Misalkan , , buktikan ( ) .

2. Misalkan * ( ) , maka buktikan bahwa ada himpunan di dan di dengan dan * ( ) * ( ) * ( ).

(Petunjuk: Gunakan hasil dari Tugas 3 No 1 K

c c

A y A y A y

m E F F

G G F E G m F m E m G





  + = +

 

  = =

elompok 1)

( ) ( )

Perhatikan pernyataan berikut:

(iii) 0, terdapat himpunan tutup sehingga * ( ) . (iv) Ada di pada sehingga * ( ) 0.

Buktikan :

E terukur iii berlaku iv berlaku (

F E m E F

F F

_

E m E F

 

   − 

− =

 

petunjuk: buktikan

terukur E → (iii) berlaku → (iv) berlaku → E terukur )

Misalkan * ( ) . Buktikan bahwa:

terukur untuk setiap selang buka dan terbatas ( , ) berlaku *(( , ) ) *(( , )

^c

).

m E

E a b

b a m a b E m a b E

 



− =  + 

Buktikan bahwa

1. Jika A terukur dan B saling lepas dari A, maka 2. E terukur jika dan hanya jika E^c juga terukur.

3. Himpunan kosong dan himpunan bilangan real terukur 4. Jika m*(E) = 0, maka E terukur.

SOAL LATIHAN 4.1

*( ) *( ) *( ).

m A B = m A + m B

5. Jika E terukur dan y suatu bilangan, maka E+y terukur

6. Jika A himpunan terukur dan termuat dalam B, maka m*(B − A) = m*( )B −m*( )A

SOAL LATIHAN 4.2

1. Tunjukkan bahwa: E terukur jika dan hanya jika terdapat himpunan tutup F dan himpunan buka O dengan dan

 0

 

F  E O m*(O− F)  

2. Misalkan himpunan E dan diberikan, maka buktikan bahwa terdapat himpunan buka O sehingga dan

 0

 

E  O m*( )O  m*( )E +

3. Jika himpunan E tidak terukur, maka buktikan bahwa terdapat himpunan buka O sehingga E  O dan m*(O− E)  m*( )O −m*( ).E