Pendahuluan Ukuran
Ukuran Luar Lebesgue KULIAH – 3
Lebar selang I, yaitu l(I), biasanya didefinisikan sebagai selisih kedua titik ujungnya yang hasilnya berupa bilangan real.
Lebar selang ini salah satu contoh fungsi himpunan.
1. Pendahuluan
Penggunaan konsep ukuran menjadikan integral Riemann berbeda dengan integral Lebesgue. Pada integral Riemann, selang [a,b] dipartisi ke beberapa selang tutup, sedangkan pada integral Lebesgue, selang [a,b] dipartisi ke beberapa himpunan yang disebut himpunan terukur Lebesgue.
Setiap selang merupakan himpunan terukur Lebesgue.
Di sini akan ditinjau suatu fungsi himpunan m yang memetakan himpunan E dalam koleksi himpunan terukur Lebesgue ke suatu bilangan real yang tak negatif m(E). Fungsi m ini disebut ukuran Lebesgue dari himpunan E. Koleksi himpunan terukur Lebesgue merupakan aljabar-σ yang memuat semua himpunan buka dan tutup.
Fungsi himpunan adalah suatu fungsi antara R* dan koleksi himpunan.
Tujuan yang diharapkan, fungsi m memiliki 3 sifat berikut:
1. Setiap selang I adalah terukur Lebesgue dan m(I)=l(I).
2. Ukuran bersifat translasi invarian: Jika E terukur Lebesgue dan y suatu bilangan, maka 𝐸 + 𝑦 = {𝑥 + 𝑦|𝑥 ∈ 𝐸} terukur
Lebesgue dan 𝑚 𝐸 + 𝑦 = 𝑚(𝐸).
3. Ukuran bersifat adiktif terhitung pada gabungan terhitung himpunan yang saling lepas: Jika {𝐸𝑘}𝑘=1∞ koleksi terhitung dari himpunan terukur Lebesgue yang saling lepas, maka
1 1
( )
k k
k k
m E m E
= =
=
2. Apabila memilih koleksi himpunannya berupa aljabar-σ, maka diperoleh ukuran m yang disebut ukuran aditif yang terhitung atau ukuran Lebesgue, dinotasikan m.
Tidak mungkin mengkonstruksi suatu fungsi himpunan yang memenuhi ketiga sifat tersebut. Oleh karena itu dilakukan 2 langkah untuk mendekati ketiga sifat tersebut.
1. Mengkonstruksi suatu fungsi himpunan yang disebut ukuran luar, notasi m*
contoh: ukuran luar suatu selang = lebar selangnya ukuran luar ini bersifat translasi invarian, tapi tidak
memenuhi sifat 3, dan hanya bersifat subadiktif, yakni:
1 1
* k *( k)
k k
m E m E
= =
Misalkan {In} koleksi terhitung dari selang buka yang menyelimuti A, yakni 𝐴 ⊆ ∪ 𝐼𝑛 , dan l(In) bilangan positif.
2. Ukuran Lebesgue
1 1
*( ) inf ( ) |
k kk k
m A l I A I
= =
=
Definisi: Ukuran luar A didefinisikan:
1 1 .
Bukti:
(a) Karena ( , ), 0, maka
0 *( ) (( , )) 2 , 0.
Jadi *( ) 0.
(b) ,{ } ,
2 2
Jelas { } . Jadi
0 *({ }) ( ) , 0
2 sehingga
k k k
k
k k
m l
m
k a a a I
a I
m a l I
+ +
−
− =
=
− + =
= =
*({ }) 0.
m a =
Contoh 1: Buktikan (a) *( ) m = 0 (b) *({ }) m a = 0.
Contoh 2. Jika A B , maka *( ) m A m *( ). B
Bukti:
Misalkan koleksi terhitung dan selang buka yang menyelemuti , dan misalkan koleksi terhitung dan selang buka yang menyelemuti , maka
*( ) inf ( ) | ( )
(
k
k
k k k
I
A J
B
m A l I A I l I
l
=
), sebab .
Karena *( ) batas bawah ( ) | , maka *( ) *( ).
k
k k
J A B
m A l J B J
m A m B
Contoh 3. Jika himpunan terhitung, maka *( ) E m E = 0.
1 2
1 1
Bukti:
Karena terhitung, maka { , ,...} sehingga
, , .
2 2
Jelas .
Jadi 0 * ( ) ( ) , 0.
2 Jadi * ( ) 0.
k k k k k
k
k k
E E c c
k I c c
E I
m E l I
m E
+ +
=
= − +
= =
=
Proposisi 1: Ukuran luar dari suatu selang sama dengan Panjang selang tersebut.
Bukti:
Kita mulai dengan selang [ , ] yang tertutup dan terbatas.
Akan dibuktikan *([ , ]) .
Karena [ , ] ( , ), 0, maka
*([ , ]) (( , )) 2 , 0.
Jadi *([ , ])
a b
m a b b a
a b a b
m a b l a b b a
m a b b
= −
• − +
− + = − +
−
1 1
1 1
.
Akdib *([ , ]) , artinya
akan dibuktikan: ( ) , dengan [ , ] , tapi menurut Teorema Heine-Borel, maka
akan dibuktikan: ( ) , dengan [ , ] .
k k
k k
n n
k k
k k
a m a b b a
l I b a a b I
l I b a a b I
= =
= =
• −
−
−
1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
lanjutan...
Karena [ , ] , maka untuk suatu .
Pilih selang ( , ) dengan ( , ). Jika , maka
terbukti ( ) , sebab ( ) .
Misalkan [ , ). Karena (
n
k k
k
n n
k k
k k
a a b I a I k
a b a a b b b
l I b a l I b a b a
b a b b
=
= =
− − −
1 1
1 2 2 1 2 2
2
1
1 1 2 2 2 2 1 1
1
2 1
, ), maka ada selang dalam koleksi { } , sebut ( , ) dengan ( , ).
Jika , maka terbukti ( ) , sebab
( ) ( ) ( ) ( ) )
n k k
n
k k
n
k k
a b
I a b b a b
b b l I b a
l I b a b a b a b a
b a b
=
=
=
−
− + − = − − −
−
.
−
a
1 1 1 1
1 1
1 1
lanjutan...
Jika proses ini dilanjutkan, maka diperoleh subkoleksi {( , )} dalam koleksi { } dengan , , 1 -1, dan . Jadi
( ) (( , )) ( ) ( ) .
N n
k k k k k k k
N
n N
k k k N N N N
k k
n
a b I a a a b
k N b b
l I l a b b a b a
= = +
− −
= =
= − + − +
1 11 2 1 1 1
1 2
1 2
.. ( )
( ) ... ( ) .
Selanjutnya, jika selang sembarang yang terbatas, maka
untuk 0 yang diberikan, ada selang tutup dan sehingga sehingga ( )
N N N N
b a
b a b a b a b a b a
I
J J
J I J l I
−
+ −
= − − − − − − − −
1 2
1 1 2 2
( ) dan ( ) ( ) . Berdasarkan sifat ukuran luar diperoleh:
( ) ( ) *( ) *( ) *( ) ( ) ( ) .
Jadi ( ) *( ).
l J l J l I
l I l J m J m I m J l J l I
l I m I
− +
− = = +
=
Proposisi 2: Ukuran luar bersifat translasi invarian. Artinya:
untuk sembarang himpunan A dan bilangan y,
*( ) *( ).
m A+ y = m A
Bukti:
Misalkan { } koleksi terhitung dari selang buka yang menyelemuti , maka{ } juga menyelemuti
dengan lebar yang sama dengan lebar . Jadi ( ) ( )
sehingga
k
k
k
k k
I
A I y A y
I l I l I y
+ +
= +
* ( m A + y ) = m * ( ). A
Proposisi 3: Ukuran luar bersifat subadiktif terhitung. Artinya Misalkan {En} koleksi himpunan terhitung, maka
1 1
* k *( k ).
k k
m E m E
= =
, 1
, ,
1 1
, 1,
Bukti:
Misalkan , *( ) dan diberikan 0. ,
ada koleksi selang buka dan terbatas yang terhitung { }
sehingga dan ( ) *( ) . Jadi
2 { } merupakan kolek
k
k i i
k i k i k i k k
i k i k i
k m E k
I
E I l I m E
I
=
= =
+1
si selang buka dan terbatas yang terhitung dan menyelemuti
k.
k
E
=
, ,
1 , 1 1 1
1 1
1
lanjutan....
Menurut definisi ukuran luar:
* ( ) ( )
*( ) *( ) . 2
Jadi, * *( ).
k k i k i
k k i k i
k k k
k k
k k
k k
m E l I l I
m E m E
m E m E
= = = =
= =
=
=
+ = +
1
=Catatan: Berdasarkan proposisi 3: Ukuran luar bersifat sub- adiktif terhingga. Artinya, jika {En} koleksi himpunan terhingga (disjoint atau tidak), maka
1 1
* *( ).
n n
k k
k k
m E m E
= =
Ringkasan: Ukuran luar memiliki empat sifat:
1. terdefinisi untuk semua himpunan bilangan real 2. ukuran luar selang adalah lebar selangnya
3. ukuran luar bersifat subadiktif terhitung 4. ukuran luar bersifat translasi invarian.
tapi ukuran luar tidak bersifat adiktif terhitung.
1. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan terbatas , ada di sehingga dan *( ) *( ).
2. Jika *( ) 0, maka buktikan bahwa *([0,1] ) 1 *([0,1]
c).
E
G G E G m G m E
m E
m E m E
=
=
= −
11. Misalkan fungsi himpunan pada ke [0, ), dan bersifat
adiktif terhitung pada koleksi terhitung himpunan saling lepas pada . Misalkan koleksi terhitung pada Buktikan
k k
m m
E
= A
A A.
1 1
( ).
2. Misalkan dan terbatas, dan ada 0 sehingga | - | ,
, . Buktikan *( ) *( ) *( ).
k k
k k
m E m E
A B a b
a A b B m A B m A m B
= =
= +
1. Misalkan fungsi himpunan pada ke [0, ) didefinisikan sbb:
( ) , untuk takhingga, ( ) , untuk hingga dengan banyak anggotanya , dan ( ) 0, untuk . Buktikan bersifat trans
m
m E E m E k E
k m E E m
= =
= =
A
1
1
lasi invarian dan bersifat adiktif terhitung.
2. Misalkan himpunan bilangan rasional pada [0,1] dan { } koleksi hingga selang buka yang memuat . Buktikan *( ) 1.
k k n
k k
B I
B m I
=
=
LATIHAN-3
( )
1. Buktikan bahwa himpunan 0,1 tidak terhitung.
2. Misalkan himpunan bilangan irrasional pada 0,1 , maka tunjukkan * 1.
3. Buktikan: Jika * ( ) 0, maka * ( ) * ( ).
4. Misalkan himpunan bilang A
m A
m A m A B m B
B
=
= =
1
1
an rasional pada [0,1] dan koleksi berhingga selang buka yang memuat . Buktikan * ( ) 1.
{ }
kn
k k
k B
m I
I
==
