Mudah : 4 (iiii)โ
Sedang : 1 (i) โ Sulit : 5 (ii
1. (Mudah) Diketahui ๐(๐ฅ) =3๐ฅโโ๐ฅโ2
โ๐ฅโ1 . Jika lim
๐ฅโ1๐(๐ฅ) = ๐, maka nilai ๐ yang memenuhi adalahโฆ
a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 6
Jawab :
๐ฅโ1lim
3๐ฅ โ โ๐ฅ โ 2
โ๐ฅ โ 1 = lim
๐ฅโ1
((3โ๐ฅ โ 3)(3โ๐ฅ + 2))1 3
โ๐ฅ โ 1 = lim
๐ฅโ1
((โ๐ฅ โ 1)(3โ๐ฅ + 2))
โ๐ฅ โ 1
๐ฅโ1 lim3โ๐ฅ + 2 = 6
2. (Sedang) Suatu persamaan dapat ditulis sebagai ๐4+ ๐4= ๐ฅ. Jika diketahui ๐ + ๐ = 1 dan ๐2+ ๐2= 2, maka nilai x yang dimaksud adalahโฆ
a. 7
2
b. 9
2 c. 11
2
d. 5 e. 12
2
Jawab :
(๐ + ๐)2= ๐2+ 2๐๐ + ๐2 1 = 2 + 2๐๐
โ1 2= ๐๐
(๐ + ๐)4= ๐4+ ๐4+ 2๐๐(2๐2+ 3๐๐ + 2๐2) 14= ๐ฅ + 2 (โ1
2) (2(2) + 3 (โ1 2)) 1 = ๐ฅ โ (4 โ3
2) 1 = ๐ฅ โ5
2 ๐ฅ =7
2
3. (Sulit) Misalkan ๐ด๐ต๐ถ๐ท๐ธ๐น๐บ๐ป๐ผ๐ฝ๐พ๐ฟ๐๐๐ adalah segi-15 beraturan. Berasarkan bentuk bangun tersebut, besar โ ๐ด๐๐ป dalam satuan derajat adalahโฆ
a. 24ยฐ
b. 56ยฐ
c. 84ยฐ
d. 72ยฐ
e. 48ยฐ
Jawab :
Besar sudut pada setiap titik segi-5 tersebut adalah (15 โ 2) โ180
15 = 156ยฐ
Berdasarkan gambar di atas, akan didapatkan bahwa :
โ ๐ด๐๐ป = โ ๐ด๐๐ป = โ ๐๐ด๐ป dan โ ๐๐ป๐ด = โ ๐๐๐ด = โ ๐๐ด๐
Perhatikan ฮ๐ด๐๐ป. Berdasarkan segitiga tersebut dan kesamaan di atas, berlaku
โ ๐ด๐๐ป + โ ๐๐ด๐ป + โ ๐๐ป๐ด = 180ยฐ
2โ ๐ด๐๐ป + โ ๐๐๐ด = 180ยฐ โฆ (1)
Perhatikan ฮ๐ด๐๐. Berdasarkan segitiga tersebut, akan didapatkan persamaan sebagai berikut.
โ ๐๐๐ด + โ ๐๐ด๐ + โ ๐ด๐๐ = 180ยฐ
2โ ๐๐๐ด + 156ยฐ = 180ยฐ
2โ ๐๐๐ด = 24ยฐ
โ ๐๐๐ด = 12ยฐ โฆ (2)
Dengan menyubtitusikan persamaan 2 ke dalam persamaan 1, maka 2โ ๐ด๐๐ป + 12ยฐ = 180ยฐ
2โ ๐ด๐๐ป = 168ยฐ
โ ๐ด๐๐ป = 84ยฐ
4. (Mudah) Misalkan ๐ฅ dan ๐ฆ merupakan dua bilangan real berbeda yang relatif prima yang memenuhi ๐ฅ
๐ฆ+๐ฅ+10๐ฆ
๐ฆ+10๐ฅ= 2. Nilai dari ๐ฅ + ๐ฆ adalah โฆ a. 4
b. 9 c. 5
d. 2 e. 1 Jawab :
๐ฅ ๐ฆ+
(๐ฅ + 10๐ฆ) โ1 ๐ฆ (๐ฆ + 10๐ฅ) โ1 ๐ฆ
= 2
๐ฅ ๐ฆ+
๐ฅ ๐ฆ + 10 1 +10๐ฅ
๐ฆ
= 2
Misalkan ๐ฅ
๐ฆ= ๐,
๐ + ๐ + 10 1 + 10๐ = 2
(1 + 10๐)๐ + ๐ + 10 = 2(1 + 10๐) ๐ + 10๐2+ ๐ + 10 = 2 + 20๐
10๐2โ 18๐ + 8 = 0 (10๐ โ 10)(10๐ โ 8)
10 = 0
(๐ โ 1)(10๐ โ 8) = 0 ๐ = 1 (๐๐)
๐ =4 5 โ Dengan demikian nilai dari ๐ฅ + ๐ฆ adalah 9
5. (Sulit) Sebuah segitiga memiliki keliling 4 dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya adalah 8. Jika jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut adalah 2, maka jumlah dari ketiga garis tingginya adalah
a. 3 b. 1
3
c. 2
3
d. 1 e. 2 Jawab :
๐ + ๐ + ๐ = 4 ๐2+ ๐2+ ๐2 = 8
๐ = 2 ๐ฟ =๐๐๐
4๐
๐ก1 =๐๐ 4 ๐ก2 =๐๐
4 ๐ก3=๐๐
4
(๐ + ๐ + ๐)2= ๐2+ ๐2+ ๐2+ 2(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) Misal ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐ฅ, maka
16 = 8 + 2๐ฅ
4 = ๐ฅ
๐ก1+ ๐ก2+ ๐ก3=๐ฅ 4= 1
6. (Mudah) Terdapat 2021 lampu beserta sakelar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula- mula semua lampu dalam keadaan padam. Dalam waktu satu menit, Amat dapat menekan tepat 5 sakelar secara bersamaan. Setiap Amat menekan saklar, lampu yang sebelumnya padam menjadi menyala dan yang sebelumnya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu tersebut, Amat memerlukan paling sedikit โฆ menit.
a. 406 b. 407 c. 408 d. 409 e. 410 Jawab :
โ2021
5 โ = 404
Keterangan gambar :
Merah : lampu padam Hijau : lampu menyala
Persegi panjang : lampu yang akan ditekan sakelarnya pada menit berikutnya
7. (Mudah) Pada suatu parkiran, terdapat mobil dan motor. Jumlah motor adalah setengah dari jumlah mobil. Jumlah roda yang ada di parkiran tersebut adalah 100. Jumlah kendaraan yang terparkir di parkiran tersebut adalah โฆ
a. 10 b. 20 c. 25 d. 30 e. 15 Jawab Motor = T Mobil = B
๐ =1 2๐ต 2๐ = ๐ต
2๐ + 4๐ต = 100
๐ต + 4๐ต = 100 ๐ต = 20 ๐ = 10
๐ต + ๐ = 30
8. Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola berwarna merah dan hitam dengan jumlah keseluruhannya kurang dari 1000. Jika diambil dua buah bola sekaligus, maka peluang terambilnya dua bola merah adalah ๐ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah ๐ dengan ๐ โ ๐ =23
37. Bola merah terbanyak yang mungkin dalam kotak tersebut adalah โฆ a. 999
b. 810 c. 621 d. 300 e. 189 Jawab:
9. (Sulit) Dua buah bilangan asli ๐ dan ๐ memenuhi persamaan ๐ = (๐ + ๐๐)3โ 191๐. Jika ๐ merupakan bilangan asli dan ๐ = โโ1, maka nilai ๐ yang dimaksud adalah โฆ
a. 2 b. 384 c. 488 d. 536
e. Tidak dapad dihitung Jawab :
(๐ + ๐๐)3= ๐3+ 3๐2๐๐ โ 3๐๐2โ ๐3๐
3๐2๐ = ๐3+ 191 ๐(3๐2โ ๐2) = 191
Oleh karena 191 merupakan bilangan prima, maka berdasrakan bentuk tersebut, nilai ๐ = 1.
Sehingga
3๐2โ 1 = 191 3๐2= 192
๐2= 64 ๐ = 8
๐ = (๐ + ๐๐)3โ 191๐ ๐ = ๐3โ 3๐๐2 ๐ = 512 โ 3 โ 8 โ 12
๐ = 488
10. (Sulit) Seorang Mahasiswa Teknik Geomatika ITS ingin berangkat dari rumah yang berada di titik (0,0) ke kampus ITS yang berada di titk (11,8). Mahasiswa tersebut hanya dapat berjalan ke arah sumbu positif (ke kanan dan ke atas bidang kartesian) sejauh 1 satuan saja. untuk pergi ke kampus, biasanya mahasiswa tersebut memakai rute dari rumah yang melewati Bundaran Air Mancur Menari ITS. Dari semua rute dari rumah ke kampus, peluang mahasiswa tersebut tidak menggunakan rute tersebut adalah adalah โฆ
a. 1 โ11โ10โ419โ17โ3 b. 11โ10โ4
19โ17โ3
c. 1 โ11โ10โ8
19โ17โ3
d. 11โ10โ4
19โ17โ6
e. 11โ10โ4
19โ17
Jawab :
๐(๐) = 19!
11! โ 8! โ 3!
2! โ 1! โ 16!
9! โ 7!
19!
11! โ 8!
๐(๐) = 1 โ 1 1 โ
11 10 19 6 17 1
8 ๐(๐) = 1 โ11 ร 10 ร 4
19 ร 17 ร 3