Mudah : 4 (iiii)√
Sedang : 1 (i) √ Sulit : 5 (ii
1. (Mudah) Diketahui 𝑓(𝑥) =3𝑥−√𝑥−2
√𝑥−1 . Jika lim
𝑥→1𝑓(𝑥) = 𝑎, maka nilai 𝑎 yang memenuhi adalah…
a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 6
Jawab :
𝑥→1lim
3𝑥 − √𝑥 − 2
√𝑥 − 1 = lim
𝑥→1
((3√𝑥 − 3)(3√𝑥 + 2))1 3
√𝑥 − 1 = lim
𝑥→1
((√𝑥 − 1)(3√𝑥 + 2))
√𝑥 − 1
𝑥→1 lim3√𝑥 + 2 = 6
2. (Sedang) Suatu persamaan dapat ditulis sebagai 𝑚4+ 𝑛4= 𝑥. Jika diketahui 𝑚 + 𝑛 = 1 dan 𝑚2+ 𝑛2= 2, maka nilai x yang dimaksud adalah…
a. 7
2
b. 9
2 c. 11
2
d. 5 e. 12
2
Jawab :
(𝑚 + 𝑛)2= 𝑚2+ 2𝑚𝑛 + 𝑛2 1 = 2 + 2𝑚𝑛
−1 2= 𝑚𝑛
(𝑚 + 𝑛)4= 𝑚4+ 𝑛4+ 2𝑚𝑛(2𝑚2+ 3𝑚𝑛 + 2𝑛2) 14= 𝑥 + 2 (−1
2) (2(2) + 3 (−1 2)) 1 = 𝑥 − (4 −3
2) 1 = 𝑥 −5
2 𝑥 =7
2
3. (Sulit) Misalkan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂 adalah segi-15 beraturan. Berasarkan bentuk bangun tersebut, besar ∠𝐴𝑀𝐻 dalam satuan derajat adalah…
a. 24°
b. 56°
c. 84°
d. 72°
e. 48°
Jawab :
Besar sudut pada setiap titik segi-5 tersebut adalah (15 − 2) ∙180
15 = 156°
Berdasarkan gambar di atas, akan didapatkan bahwa :
∠𝐴𝑀𝐻 = ∠𝐴𝑂𝐻 = ∠𝑂𝐴𝐻 dan ∠𝑂𝐻𝐴 = ∠𝑂𝑁𝐴 = ∠𝑂𝐴𝑁
Perhatikan Δ𝐴𝑂𝐻. Berdasarkan segitiga tersebut dan kesamaan di atas, berlaku
∠𝐴𝑂𝐻 + ∠𝑂𝐴𝐻 + ∠𝑂𝐻𝐴 = 180°
2∠𝐴𝑀𝐻 + ∠𝑂𝑁𝐴 = 180° … (1)
Perhatikan Δ𝐴𝑂𝑁. Berdasarkan segitiga tersebut, akan didapatkan persamaan sebagai berikut.
∠𝑂𝑁𝐴 + ∠𝑂𝐴𝑁 + ∠𝐴𝑂𝑁 = 180°
2∠𝑂𝑁𝐴 + 156° = 180°
2∠𝑂𝑁𝐴 = 24°
∠𝑂𝑁𝐴 = 12° … (2)
Dengan menyubtitusikan persamaan 2 ke dalam persamaan 1, maka 2∠𝐴𝑀𝐻 + 12° = 180°
2∠𝐴𝑀𝐻 = 168°
∠𝐴𝑀𝐻 = 84°
4. (Mudah) Misalkan 𝑥 dan 𝑦 merupakan dua bilangan real berbeda yang relatif prima yang memenuhi 𝑥
𝑦+𝑥+10𝑦
𝑦+10𝑥= 2. Nilai dari 𝑥 + 𝑦 adalah … a. 4
b. 9 c. 5
d. 2 e. 1 Jawab :
𝑥 𝑦+
(𝑥 + 10𝑦) ∙1 𝑦 (𝑦 + 10𝑥) ∙1 𝑦
= 2
𝑥 𝑦+
𝑥 𝑦 + 10 1 +10𝑥
𝑦
= 2
Misalkan 𝑥
𝑦= 𝑎,
𝑎 + 𝑎 + 10 1 + 10𝑎 = 2
(1 + 10𝑎)𝑎 + 𝑎 + 10 = 2(1 + 10𝑎) 𝑎 + 10𝑎2+ 𝑎 + 10 = 2 + 20𝑎
10𝑎2− 18𝑎 + 8 = 0 (10𝑎 − 10)(10𝑎 − 8)
10 = 0
(𝑎 − 1)(10𝑎 − 8) = 0 𝑎 = 1 (𝑇𝑀)
𝑎 =4 5 √ Dengan demikian nilai dari 𝑥 + 𝑦 adalah 9
5. (Sulit) Sebuah segitiga memiliki keliling 4 dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya adalah 8. Jika jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut adalah 2, maka jumlah dari ketiga garis tingginya adalah
a. 3 b. 1
3
c. 2
3
d. 1 e. 2 Jawab :
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 = 8
𝑅 = 2 𝐿 =𝑎𝑏𝑐
4𝑅
𝑡1 =𝑏𝑐 4 𝑡2 =𝑎𝑐
4 𝑡3=𝑎𝑏
4
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2= 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) Misal 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 𝑥, maka
16 = 8 + 2𝑥
4 = 𝑥
𝑡1+ 𝑡2+ 𝑡3=𝑥 4= 1
6. (Mudah) Terdapat 2021 lampu beserta sakelar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula- mula semua lampu dalam keadaan padam. Dalam waktu satu menit, Amat dapat menekan tepat 5 sakelar secara bersamaan. Setiap Amat menekan saklar, lampu yang sebelumnya padam menjadi menyala dan yang sebelumnya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu tersebut, Amat memerlukan paling sedikit … menit.
a. 406 b. 407 c. 408 d. 409 e. 410 Jawab :
⌊2021
5 ⌋ = 404
Keterangan gambar :
Merah : lampu padam Hijau : lampu menyala
Persegi panjang : lampu yang akan ditekan sakelarnya pada menit berikutnya
7. (Mudah) Pada suatu parkiran, terdapat mobil dan motor. Jumlah motor adalah setengah dari jumlah mobil. Jumlah roda yang ada di parkiran tersebut adalah 100. Jumlah kendaraan yang terparkir di parkiran tersebut adalah …
a. 10 b. 20 c. 25 d. 30 e. 15 Jawab Motor = T Mobil = B
𝑇 =1 2𝐵 2𝑇 = 𝐵
2𝑇 + 4𝐵 = 100
𝐵 + 4𝐵 = 100 𝐵 = 20 𝑇 = 10
𝐵 + 𝑇 = 30
8. Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola berwarna merah dan hitam dengan jumlah keseluruhannya kurang dari 1000. Jika diambil dua buah bola sekaligus, maka peluang terambilnya dua bola merah adalah 𝑎 dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah 𝑏 dengan 𝑎 − 𝑏 =23
37. Bola merah terbanyak yang mungkin dalam kotak tersebut adalah … a. 999
b. 810 c. 621 d. 300 e. 189 Jawab:
9. (Sulit) Dua buah bilangan asli 𝑎 dan 𝑏 memenuhi persamaan 𝑛 = (𝑎 + 𝑏𝑖)3− 191𝑖. Jika 𝑛 merupakan bilangan asli dan 𝑖 = √−1, maka nilai 𝑛 yang dimaksud adalah …
a. 2 b. 384 c. 488 d. 536
e. Tidak dapad dihitung Jawab :
(𝑎 + 𝑏𝑖)3= 𝑎3+ 3𝑎2𝑏𝑖 − 3𝑎𝑏2− 𝑏3𝑖
3𝑎2𝑏 = 𝑏3+ 191 𝑏(3𝑎2− 𝑏2) = 191
Oleh karena 191 merupakan bilangan prima, maka berdasrakan bentuk tersebut, nilai 𝑏 = 1.
Sehingga
3𝑎2− 1 = 191 3𝑎2= 192
𝑎2= 64 𝑎 = 8
𝑛 = (𝑎 + 𝑏𝑖)3− 191𝑖 𝑛 = 𝑎3− 3𝑎𝑏2 𝑛 = 512 − 3 ∙ 8 ∙ 12
𝑛 = 488
10. (Sulit) Seorang Mahasiswa Teknik Geomatika ITS ingin berangkat dari rumah yang berada di titik (0,0) ke kampus ITS yang berada di titk (11,8). Mahasiswa tersebut hanya dapat berjalan ke arah sumbu positif (ke kanan dan ke atas bidang kartesian) sejauh 1 satuan saja. untuk pergi ke kampus, biasanya mahasiswa tersebut memakai rute dari rumah yang melewati Bundaran Air Mancur Menari ITS. Dari semua rute dari rumah ke kampus, peluang mahasiswa tersebut tidak menggunakan rute tersebut adalah adalah …
a. 1 −11∙10∙419∙17∙3 b. 11∙10∙4
19∙17∙3
c. 1 −11∙10∙8
19∙17∙3
d. 11∙10∙4
19∙17∙6
e. 11∙10∙4
19∙17
Jawab :
𝑃(𝑎) = 19!
11! ∙ 8! − 3!
2! ∙ 1! ∙ 16!
9! ∙ 7!
19!
11! ∙ 8!
𝑃(𝑎) = 1 − 1 1 ∙
11 10 19 6 17 1
8 𝑃(𝑎) = 1 −11 × 10 × 4
19 × 17 × 3
