Tugas 4 Analisis Numerik

(1)

Emilianto Sefri Bere 21120162

Kelas C – Analisis Numerik

1. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) ini dengan metode eliminasi Gauss, saya akan mengurutkan persamaan-persamaannya dan kemudian melakukan operasi-operasi pada baris untuk mendapatkan bentuk segitiga atas (upper triangular form) yang memudahkan saya untuk menghitung solusi-solusi X1, X2, dan X3.

Sistem persamaan tersebut adalah:

1. X1 + X2 - X3 = 7 2. 2X1 + 2X2 + X3 = 5 3. -X1 + X2 + X3 = 1

Langkah 1: Saya akan mulai dengan mengurutkan persamaan-persamaannya. Saya akan mulai dengan mengurutkan berdasarkan koefisien X1:

3. -X1 + X2 + X3 = 1 4. X1 + X2 - X3 = 7 5. 2X1 + 2X2 + X3 = 5

Langkah 2: Sekarang saya akan melakukan operasi pada baris untuk mendapatkan bentuk segitiga atas.

Saya akan menghilangkan koefisien X1 pada baris 2 dan 3 dengan mengurangi baris 1 dari masing-masing baris.

Baris 2 - 2 * Baris 1:

(2X1 + 2X2 + X3) - 2(X1 + X2 - X3) = 5 - 2 * 7 2X1 + 2X2 + X3 - 2X1 - 2X2 + 2X3 = 5 - 14 X3 = -9

Baris 3 + Baris 1:

(-X1 + X2 + X3) + (X1 + X2 - X3) = 1 + 7 -X1 + X2 + X3 + X1 + X2 - X3 = 8 2X2 = 8

X2 = 4

Langkah 3: Sekarang saya punya nilai X3 = -9 dan X2 = 4. Sekarang saya bisa menggantikan nilai-nilai ini ke dalam salah satu persamaan asli untuk mencari nilai X1:

X1 + 4 - (-9) = 7 X1 + 4 + 9 = 7 X1 + 13 = 7 X1 = 7 - 13 X1 = -6

Jadi, solusi dari SPL ini adalah X1 = -6, X2 = 4, dan X3 = -9.

(2)

2. Program Python untuk menyelesaikan soal import numpy as np

# Matriks koefisien dari sistem persamaan linear A = np.array([[2, 3, -1],

[4, 4, -3], [-2, 3, -1]])

# Vektor hasil dari sistem persamaan linear B = np.array([5, 3, 7])

# Gabungkan matriks A dan vektor B menjadi matriks gabungan AB = np.column_stack((A, B))

# Metode eliminasi Gauss n = len(B)

for i in range(n):

# Pilih baris dengan elemen terbesar di bawah atau pada diagonal saat ini max_row = i

for k in range(i + 1, n):

if abs(AB[k, i]) > abs(AB[max_row, i]):

max_row = k

AB[[i, max_row]] = AB[[max_row, i]] # Tukar baris

# Lakukan eliminasi Gauss pada kolom i for k in range(i + 1, n):

factor = AB[k, i] / AB[i, i]

AB[k, i:] -= factor * AB[i, i:]

# Solusi dari sistem persamaan linear X = np.zeros(n)

for i in range(n - 1, -1, -1):

X[i] = (AB[i, -1] - np.dot(AB[i, i+1:n], X[i+1:])) / AB[i, i]

# Tampilkan solusi

for i, x in enumerate(X):

print(f"X{i+1} = {x}")

(3)

Hasil Running :