MAKALAH PROGRAM LINEAR
“METODE SIMPLEKS PRIMAL DENGAN VARIABEL BUATAN”
Dosen Pengampu : Suvriadi Panggabean,M.Si.
DISUSUN OLEH : Kelompok 3 – PSPM F 2021
Chris Jonathan Sembiring (4213311046) Fiha Mawaddah (4213311047) Putri Wulandari (4211111034)
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI
MEDAN 2023
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, Karena atas berkat rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini sebagai pemenuhan tugas matakuliah Statistika Matematika. Adapun topik bahasan mengenai makalah kami yakni “Metode Simpleks Primal Dengan Variabel Buatan”. Terima kasih kami ucapkan kepada bapak Suvriadi Panggabean,M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Program Linear yang telah membimbing dan memberikan pengarahan terkait penugasan ini. Terima kasih juga kepada teman-teman seperjuangan, serta pihak-pihak yang terlibat atas dukungan dan partisipasinya sehingga makalah ini dapat terselesaikan.
Kami menyadari makalah kami ini masih jauh dari kata sempurna, baik dari segi penyusunan, bahasa ataupun penulisannya. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca guna membangun dan sebagian bahan perbaikan di masa mendatang. Semoga makalah kami ini dapat bermanfaat untuk banyak orang, sebagai referensi ataupun inspirasi dalam pembelajaran, serta meningkatkan pemahaman tentang topik bahasan materi ini.
Medan, 06 September 2023 Tim Penyusun
Kelompok 3
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR... i
DAFTAR ISI... ii
BAB I PENDAHULUAN...1
1.1. Latar Belakang...1
1.2. Rumusan Masalah... 1
1.3. Tujuan...2
BAB II PEMBAHASAN... 3
2.1. Metode Simpleks...3
2.2. Bentuk Standart...4
2.3. Tabel Simpleks Awal Metode-M...5
2.4. Metode-M...6
BAB III PENUTUP... 7
3.1. Kesimpulan... 8
3.2 Saran...8
DAFTAR PUSTAKA...9
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode simplek untuk linear programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solusi diantara beberapa kemungkinan solusi sebuah persoalan linear programming.
Proses penyelesaian dalam metode simpleks, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Cara lain dari metode simpleks adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solusi sebelumnya.
1.2. Rumusan Masalah
1. Apa itu metode simpleks?
2. Apa saja bentuk standart dalam metode simpleks?
3. Bagaimana cara menentukan Tabel simpleks awal Metode-M?
4. Apa Itu Metode-M
1.3. Tujuan
1. Untuk dapat mengetahui apa itu Metode Simpleks.
2. Untuk dapat mengetahui apa apa saja bentuk standart dari metode simpleks
3. Untuk dapat mengetahui cara menentukan Tabel simpleks awal Metode-M 4. Untuk dapat mengetahui apa itu Metode-M
BAB II PEMBAHASAN
2.1. Metode Simpleks
Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yg feasibel (basic feasible solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasar yang optimal.
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =).
Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
Contoh: 3x1 + 2 x2 ≥ 18- 3x1 - 2 x2 ≤ -18- 3x1 - 2 x2 + S3 = -18S3 (-) shg tidak bisa menjadi basis awal.Hal yg perlu dilakukan adalah menambahkan var. buatan (artificial var.) u/ starting solution dan selanjutnya mengenakan penalti pada artificial var. dalam fungsi tujuan
2.2. Bentuk Standart
Bentuk Standar Fungsi Objektif
Maksimalkan: Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + … + CnXn Bentuk Standar Fungsi Batasan:
a11X1 + a12X2 + a13X3 + … + a1nXn b1 a21X1 + a22X2 + a23X3 + … + a2nXn
b2
………..
am1X1 + am2X2 + am3X3 + … + amnXn bm
X1 0
Bentuk Matematis
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan (constrain) (1) 2X1 8 (2) 3X2 15 (3) 6X1 + 5X2 30
2.3. Tabel Simpleks Awal Metode-M
Informasi pada tabel dibaca seperti berikut:
1. Kolom basis menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis yaitu S1, S2, S3, yang nilainya diberikan pada kolom solusi (NK).
2. Secara tidak langsung mengatakan bahwa variabel non basis X, dan X, (yang tidak ditunjukkan pada kolom basis) sama dengan nol.
3. Nilai fungsi tujuan adalah Z-((3 x 0) + (2 x 0)+(0 x 15)+(0 x 28) + (0 x 20))=
0, seperti terlihat pada kolom NK.
Kapan solusi telah optimum?
1. Dengan memeriksa persamaan Z, terlihat bahwa variabel non basis yaitu X, dan X2, keduanya memiliki koefisien negatif, yang berarti mempunyai koefisien negatif pada fungsi tujuan yang asli.
2. Karena tujuan kita adalah masalah maksimasi, maka nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan X, dan X, menjadi lebih besar dari nol. Yang diutamakan untuk dipilih adalah variabel yang memiliki nilai negatif terbesar.
3. Ringkasnya, optimality condition metode simplex menyatakan bahwa dalam kasus maksimasi, jika variabel non basis memiliki koefisien non negatif pada
persamaan Z, maka solusi optimum telah tercapai. Jika tidak, variabel non basis dengan koefisien negatif terbesar dipilih sebagai entering variabel.
Penerapan optimality condition pada tabel simplex awal contoh diatas adalah:
1. Pilih X, sebagai entering variabel. Kemudian leaving variabel harus salah satu dari variabel basis S1, S2, S3.
2. Penentuan leaving variabel dilakukan dengan menggunakan feasibility condition yang menyatakan bahwa untuk masalah maksimasi maupun minimasi, leaving variabel adalah variabel basis yang memiliki rasio terkecil antara sisi kanan (NK) persamaan kendala dengan koefisien bersangkutan yang positip pada entering variabel.
3. Rasio dalam tabel simplex dapat dicari dengan cara:
a. Coret semua elemen pada persamaan kendala dibawah entering variabel.
b. Tidak termasuk persamaan tujuan, buat rasio antara sisi kanan dengan elemen yang dicoret dibawah entering variabel.
c. Leaving variabel adalah variabel basis yang memiliki rasio terkecil.
d. Kolom pada entering variabel dinamakan entering coulumn dan variabel basis yang berhubungan dengan leaving variabel dinamakan pivot equation.
e. Elemen pada perpotongan entering coulumn dengan pivot equation dinamakan pivot elemen
2.4. Metode-M
Pada pendekatan ini, artifisial variabel dalam fungsi tujuan diberi suatu biaya sangat besar (dalam perhitungan komputer biasanya 3 atau 4 kali besarnya dibanding bilangan lain dalam- model). Dalam praktek, huruf M digunakan sebagai biaya dalam masalah minimasi dan -M sebagai keuntungan dalam masalah maksimasi dengan asumsi bahwa M adalah suatu bilangan positif yang besar.
Untuk menjelaskan teknik ini, lihat kembali masalah minimasi diatas. Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A, dan A2, sehingga fungsi tujuannya menjadi :
Minimumkan Z = - 3X,+ X₂+ X3+ OS1 +0S2 + MA, + MAZ
Tabel simplex awal dibentuk dengan S₁, A, dan A₂ sebagai variabel basis seperti pada tabel berikut:
Perhatikan koefisien pada persamaan Z dalam masalah minimasi lebih mudah diperoleh dengan menggunakan Inner Product Rule. Aturan ini juga berlaku untuk masalah maksimasi dan akan banyak bermanfaat dalam analisa sensitivitas. Inner Product Rule itu adalah:
Cj = (v)(vj)-cj, dimana keterangan:
Cj : koefisien variabel j pada persamaan Z
v : vektor baris koefisien fungsi tujuan variabel basis vj: vektor kolom elemen dibawah variabel
cj : koefisien variabel pada fungsi tujuan
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa linear programming digunakan sebagai alat bantu dalam pengambilan keputusan untuk memaksimalkan ataupun meminimalkan hasil yang didapat
4.2 Saran
Kaidah pencacahan adalah dasar dari perhitungan, oleh karena itu aturan ini sangat penting untuk diketahui dan dipahami. Kaidah pencacahan berupa aturan penjumlahan dan juga aturan perkalian yang merupakan dasar sebelum mempelajari aturan lanjutan dari teori peluang yaitu permutasi dan kombinasi.
DAFTAR PUSTAKA
Hartanto Eko, Metode Simpleks dan BIG-M, hal 1-8.
Siringoringo, Metode Simpleks, 2005.
https://slideplayer.info/slide/2777804/
