UAS STATISTIKA DAN DESAIN EKSPERIMEN TEKNIK METALURGI

UAS STATISTIKA DAN DESAIN EKSPERIMEN

Latin Square Design, Replikasi Fraksional dan Pendekatan Taguchi

Dosen Pengampu: Yanyan Dwiyanti, S.Si., M.Si.

DISUSUN OLEH (Kelompok 5 - Kelas):

1. Puput Sulistyowati (3334210003)

2. Salwa Octavianda (3334210009)

3. Cindy Tritania (3334210022)

4. Cindy Dwi Puspitasari (3334210035)

JURUSAN TEKNIK METALURGI FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA

2022/2023

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini.

Laporan ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembautan laporan ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan laporan ini.

Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.

Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat maupun inspirasi terhadap pembaca.

Cilegon, 19 Juni 2023

Penyusun,

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL...i KATA PENGANTAR...ii DAFTAR ISI...iii BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang...1 1.2 Rumusan Masalah...2 1.3 Tujuan Penulisan...2 BAB II PEMBAHASAN

2.1 Derivatif Fungsi Dua Variabel...3 2.2 Kalkulus Vektor...5 BAB III KESIMPULAN

3.1 Kesimpulan...10 3.2 Saran...10 DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Latin square design merupakan rancangan khusus yang memungkinkan untuk menilai pengaruh relatif berbagai perlakuan apabila terhadap unit percobaan dilakukan batasan yang berbentuk pemblokkan ganda. Dengan adanya pemblokkan ganda ini, latin square design atau biasa kita sebut dengan RBSL dapat dianggap sebagai perluasan dari rancangan blok acak lengka. Rancangan ini bersifat bahwa tiap perlakuan terdapat satu dan hanya satu kali dalam tiap baris dan satu dan hanya satu kali dalam tiap kolom, sedangkan pengacakan dilakukan berdasarkan dua buah pembatasan, yakni menurut baris dan kolom. RBSL biasanya diberi ukuran bergantung pada banyaknya perlakuan. Jika ada m buah perlakuan yang diteliti, maka terjadi RBSL m×m. Jelas bahwa untuk meneliti m buah perlakuan menggunakan RBSL ini diperlukan m² unit percobaan.

Percobaan faktorial adalah percobaan dimana semua taraf dari suatu faktor yang dikombinasikan dengan semua taraf dari faktor lainnya. Kombinasi yang kemudian muncul dari taraf-taraf faktor inilah yang disebut faktorial. Dengan rancangan faktorial inilah dapat ditentukan faktor mana di antara sejumlah faktor yang secara terpisah maupun bersama-sama memberikan efek pada respon yang ada dalam suatu percobaan. Metode taguchi adalah usaha peningkatan kualitas yang dikenal sebagai metode off-line quality control. Metode ini bertujuan untuk menghasilkan produk yang lebih tangguh (robust) sehingga sering disebut sebagai metode Robust Design. Maka dari itu diperlukan adanya makalah ini untuk mengetahui komponen komponen statistika tersebut diatas.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan latin square design?

2. Bagaimana menentukan fraksi faktorial?

3. Bagaimana proses pendekatan metode taguchi?

1.3 Tujuan

Tujuan diadakannya penulisan makalah ini adalah untuk menjawab rumusan masalah yang ada yaitu untuk mengetahui arti dan proses dari latin square design, fraksi faktorial dan metode pendekatan taguchi.

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Latin Square Design

Pada kondisi keheterogenan unit percobaan apabila tidak dapat dikendalikan melalui satu arah maka perlu dikendalikan menurut dua arah (kontrol lokal) yang biasa disebut dengan arah baris dan kolom. Rancangan yang bisa mengatasi keadaan ini dikenal dengan latin square design atau rancangan bujur sangkar latin (RBSL). Dalam RBSL perlakuan-perlakuan (biasanya dinotasikan dengan huruf latin A, B, C ... dan seterusnya) disusun dalam dua cara yaitu melalui baris dan kolom. Setiap perlakuan hanya muncul sekali dalam setiap baris dan kolom. Jumlah ulangan dalam RBSL ini harus sama dengan banyaknya perlakuan, dengan demikian rancangan ini tidak sesuai bila jumlah perlakuan banyak, karena harus disediakan satuan percobaan dalam jumlah besar. Demikian juga untuk perlakuan yang kurang dari 4, maka akan mengakibatkan derajat bebas galat kecil yang berarti pula galat percobaan akan menjadi besar.

Rancangan Bujur Sangkar Graeco Latin (RBSGL) bertujuan untuk menghilangkan tiga jenis variasi. RBSGL digunakan apabila ditemui suatu keadaan dimana respon dipengaruhi oleh tiga sumber variasi selain perlakuan.

RBSGL merupakan gabungan dari dua Rancangan Bujur Sangkar Latin yang saling ortogonal. Ciri khusus RBSGL yaitu:

1. Terdapat 4 buah faktor yaitu faktor baris, kolom, huruf-huruf Latin dan huruf-huruf Yunani

2. Keempat faktor mempunyai taraf yang sama

3. Setiap huruf Yunani hanya muncul sekali di setiap baris, kolom dan huruf Latin.

Rancangan ini bersifat bahwa tiap perlakuan terdapat satu dan hanya satu kali dalam tiap baris dan satu dan hanya satu kali dalam tiap kolom, sedangkan

pengacakan dilakukan berdasarkan dua buah pembatasan, yakni menurut baris dan kolom. RBSL biasanya diberi ukuran bergantung pada banyaknya perlakuan. Jika ada m buah perlakuan yang diteliti, maka terjadi RBSL m × m. Jelas bahwa untuk meneliti m buah perlakuan menggunakan RBSL ini diperlukan m² unit percobaan.

Prosedur pengacakan untuk memperoleh sebuah RBSL (dengan r perlakuan = 4) adalah disusun dimulai dari baris pertama dengan menuliskan huruf-huruf menurut urutan abjad. Untuk empat perlakuan A, B, C dan D, maka ditulis dalam urutan A B C D. Selanjutnya kolom pertama juga ditulis seperti pada baris pertama, yaitu A B C D. Baris kedua dimulai dengan B dan diikuti C dan D kemudian diakhiri A; menjadi B C D A. Kolom kedua juga demikian, sama dengan baris kedua, ialah B C D A. Baris ketiga dan kolom ketiga dengan mudah dapat ditulis berbentuk C D A B dan akhirnya untuk baris keempat dan kolom keempat diperoleh D A B C .

Menurut Montgomery (2009), model linier yang digunakan untuk Rancangan Bujur Sangkar Graeco Latin ditulis sebagai berikut :

y

ijkl = μ+θi+τj+ωk+Ψ l+εijkl Keterangan:

i = 1,2, . . . ,p j = 1,2, . . . ,p k = 1,2, . . . ,p l = 1,2, . . . ,p

yjkl = hasil observasi dalam baris ke-i, kolom ke-l, huruf Latin ke-j dan huruf Yunani ke-k

μ = rata-rata keseluruhan

θi = efek baris ke-i τj = efek huruf Latin ke-j

ωk = efek huruf Yunani ke-k = efek kolom ke-l

εijkl = Galat random (i , j , k , l ) mempunyai p2 buah nilai sesuai RBSGL yang dipilih untuk penelitian.

2.2 Replikasi Fraksional

Replikasi fraksional, dalam konteks perancangan percobaan, merujuk pada pendekatan di mana hanya sebagian kombinasi faktor yang diuji secara penuh dalam percobaan. Tujuannya adalah untuk mengurangi biaya dan waktu yang diperlukan dalam percobaan, sambil tetap memberikan informasi yang signifikan

tentang faktor-faktor yang diuji. Dalam replikasi fraksional, sejumlah kombinasi faktor yang dipilih untuk diuji sedangkan kombinasi lainnya diabaikan. Biasanya, replikasi fraksional dilakukan dengan menggunakan desain fraksional seperti rancangan Fraksional Faktorial, Plackett-Burman, atau Taguchi.

Misalnya, dalam replikasi fraksional 2^k, di mana k adalah jumlah faktor yang diuji, hanya sebagian kombinasi faktor yang diuji penuh, seperti separuh, seperempat, atau sejumlah lainnya. Misalnya, jika terdapat 8 kombinasi faktor yang mungkin, mungkin hanya 4 kombinasi yang dipilih untuk diuji. Kombinasi- kombinasi ini akan direplikasi (diulang) untuk mendapatkan perkiraan yang lebih stabil dan mengurangi variabilitas hasil. Replikasi fraksional memungkinkan peneliti untuk mengidentifikasi pengaruh faktor-faktor yang signifikan sambil mengurangi kompleksitas dan biaya percobaan. Namun, perlu diingat bahwa replikasi fraksional memiliki keterbatasan, yaitu informasi tentang interaksi antara faktor-faktor mungkin terbatas atau tidak dapat diestimasi dengan akurasi yang sama seperti pada desain faktorial penuh.

2.2.1 2^f Replikasi Fraksional

Suatu eksperimen yang menyangkut f buah faktor dimana tiap faktornya terdiri atas dua buah taraf dinamakan dengan eksperimen faktorial 2^f . Dalam desain faktorial 2^f, banyaknya taraf adalah dua sedangkan banyaknya faktor adalah f yang menjadi pangkat. Demikian halnya dengan desain eksperimen yang terdiri atas dua faktor A dan B, dimana masing-masing faktor tersebut terdiri atas dua buah taraf akan ditulis sebagai desain eksperimen faktorial 2² . Apabila peneliti berurusan dengan tiga faktor A, B, dan C yang masing-masing terdiri atas dua taraf, maka diperoleh desain eksperimen faktorial 2³ , dan begitu pula untuk desain eksperimen faktorial 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , dan seterusnya dapat dijelaskan.

Jika untuk f = 2 dan f = 3 masing-masing akan didapatkan empat dan delapan kombinasi perlakuan, maka untuk f = 4 didapat 16 kombinasi perlakuan, dan begitu seterusnya, makin besar harga k makin banyak terjadi kombinasi perlakuan. Ini menyebabkan pula makin panjang

aliasnya sehingga makin pula susunan sistem kontras yang menyatakan hubungan antara efek-efek dan kombinasi perlakuan.

Untuk Anava, perlu dihitung nilai jumlah kuadrat dari tiap efek atau kombinasi perlakuan sebagai berikut:

SSefek = (kontras)² n.2ᶠ

Sehingga tabel Analisis variansi untuk desain faktorial 2^f diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Desain Faktorial 2^f

2.2.2 Design Resolution

Design resolution dalam konteks replikasi fraksional mengacu pada tingkat ketelitian atau resolusi dalam mendapatkan informasi tentang faktor-faktor yang diuji. Design resolution dapat digambarkan dengan notasi seperti 2^k-p, di mana k adalah jumlah faktor yang diuji dan p adalah replikasi yang dilakukan. Resolusi pada replikasi fraksional mencerminkan kemampuan untuk mendeteksi efek utama dari faktor-faktor yang diuji, serta kemampuan untuk mendeteksi interaksi antara faktor-faktor tersebut.

Semakin tinggi resolusi, semakin baik kemampuan kita dalam membedakan pengaruh faktor-faktor dan interaksi.

Dalam replikasi fraksional, ada beberapa tingkat resolusi yang umumnya digunakan, yaitu:

1. Resolusi III: Resolusi terendah, yang hanya mampu mendeteksi efek utama dari faktor-faktor tanpa mendapatkan informasi tentang interaksi. Dalam rancangan ini, hanya satu replikasi yang dilakukan.

2. Resolusi IV: Mampu mendeteksi efek utama faktor-faktor dan satu jenis interaksi antara dua faktor. Dalam rancangan ini, biasanya dua replikasi yang dilakukan.

3. Resolusi V: Mampu mendeteksi efek utama faktor-faktor dan dua jenis interaksi antara dua faktor. Dalam rancangan ini, biasanya tiga replikasi yang dilakukan.

4. Resolusi VI: Mampu mendeteksi efek utama faktor-faktor dan semua interaksi antara dua faktor. Dalam rancangan ini, biasanya empat replikasi yang dilakukan.

Pilihan resolusi yang tepat tergantung pada tujuan percobaan, kompleksitas sistem yang diteliti, dan ketersediaan sumber daya. Resolusi yang lebih tinggi akan memberikan informasi yang lebih lengkap, tetapi memerlukan jumlah replikasi yang lebih besar, yang pada gilirannya memerlukan lebih banyak waktu dan biaya.

2.2.3 Desain Faktorial Fraksional 2^k-p

Desain faktorial fraksional dilakukan jika peneliti dapat mengasumsikan bahwa interaksi orde tinggi (interaksi yang memuat lebih dari dua faktor) tertentu diabaikan, kemudian informasi efek utama dan interaksi orde rendah (interaksi yang memuat dua atau tiga faktor) dapat diperoleh dengan mengerjakan hanya sebagian dari eksperimen faktorial lengkap, akibatnya akan ada faktor-faktor yang mempunyai sifat yang sama dengan faktor lainnya (Montgomery, 2003). Desain faktorial fraksional 2^k biasanya ditulis dengan desain faktorial fraksional 2^k-p yaitu

eksperimen dengan 1/(2p) fraksi dari seluruh kombinasi percobaan yang harus dilakukan. Misalkan untuk k  5 dan p 1, berarti dilakukan eksperimen faktorial fraksional setengah dari eksperimen 2⁵ , begitu pun bila diambil p  2 , maka eksperimen faktorial yang dilakukan sebanyak seperempat dari eksperimen 2⁵ .

Penyusunan kombinasi perlakukan untuk desain faktorial fraksional dilakukan dengan memperhatikan alias (dua atau lebih efek yang mempunyai sifat yang sama), agar diperoleh desain fraksional dimana alias-alias itu tidak muncul secara bersamaan pada sebuah fraksi.

Misalkan dalam desain faktorial 2³ , yaitu suatu eksperimen yang akan melibatkan tiga faktor A, B, C, dimana masing-masing faktor bertaraf dua.

Eksperimen ini, untuk sebuah replikasi penuh memerlukan delapan eksperimen. Akan tetapi, untuk melakukan eksperimen ini peneliti tidak dapat melakukan replikasi secara penuh dan hanya bisa melakukan empat eksperimen saja. Ini berarti eksperimen hanya bisa dilakukan dengan setengah replikasi dari 8 eksperimen yang seharusnya dilakukan untuk replikasi penuh. Karena desain berisi 2^3-1 = 4 kombinasi perlakuan, sehingga desain yang digunakan disebut setengah fraksi dari desain 2³ atau sering dinotasikan dengan desain faktorial fraksional 2III3-1 .

2.2.4 3^f Replikasi Fraksional

Percobaan faktorial adalah percobaan dimana semua taraf dari suatu faktor dikombinasikan dengan semua taraf dari faktor lainnya.

Kombinasi yang kemudian muncul dari taraf-taraf faktor inilah yang disebut faktorial. Dengan rancangan faktorial inilah dapat ditentukan faktor mana di antara sejumlah faktor yang secara terpisah maupun bersama-sama memberikan efek pada respon yang ada dalam suatu percobaan. Namun, pada rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang besar misalkan sebanyak faktor dan misalkan masing-masing bertaraf 3, maka akan terdapat 3^f kombinasi perlakuan sehingga eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Sebagai contoh, jika f = 6 maka akan ada

kombinasi perlakuan. Untuk menurunkan jumlah kombinasi perlakuan tersebut, digunakan sebuah rancangan yang disebut rancangan Fractional Factorial (FF). Pengunaan rancangan FF ini telah diperkenalkan oleh Tippet. Selanjutnya, Voelkel dan Rochester, dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa rancangan ini relatif lebih efisien.

Pada rancangan FF hanya dilakukan sebagian dari kombinasi perlakuan yang akan dicobakan namun tidak menghilangkan informasi penting yang diperlukan. Banyaknya faktor akan menentukan pembentukan struktur rancangan FF dan dengan jumlah faktor tertentu dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Rancangan FF sangat berguna untuk percobaan yang melibatkan banyak faktor dan bertujuan untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh.

Rancangan FF tiga taraf dinotasikan dengan 3^f-p . Jadi rancangan yang dicobakan hanya 3^f-p kombinasi perlakuan dari 3^f kombinasi perlakuan lengkap. Banyaknya total kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut fraksi percobaan.

Secara umum rancangan fraksional pada percobaan faktorial 3^f dilambangkan dengan 3^f-p, biasa ditulis (1/3)^p bagian dari 3^f untuk p < f . Jadi fraksional bagian dilambangkan dengan 3^f-1 , begitu pula dengan fraksional 1/9 bagian dengan 3^f-2 dan fraksional 1/27 bagian dengan 3^f-3 dan seterusnya. Untuk perhitungan efek dari masing-masing faktor dapat menggunakan table respon atau yang biasa disebut tabel Orthogonal Array (OA) dan disimbolkan dengan Lq dimana q adalah jumlah percobaan yang dilakukan. Orthogonal array ini dikembangkan oleh Taguchi dalam keluarga matriks Fractional Factorial Experiment (FFE). OA diciptakan oleh Jaques Hardmand pada tahun 1897 dan mulai diterapkan pada perang dunia II oleh Plackett Burman.

Tabel 2.2 Tabel Respon OA dengan 3 Faktor

2.2.5 Rancangan Plackett Burman

Rancangan Plackett-Burman adalah salah satu metode perancangan percobaan yang digunakan untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh signifikan terhadap suatu respons atau hasil tertentu.

Rancangan ini sangat berguna ketika jumlah faktor yang ingin diuji relatif banyak, tetapi kita ingin mengurangi jumlah percobaan yang diperlukan.

Dalam rancangan Plackett-Burman, faktor-faktor dianggap sebagai variabel biner, yaitu faktor tersebut hanya memiliki dua level (biasanya -1 dan +1) yang mewakili tingkat rendah dan tinggi dari faktor tersebut.

Dalam rancangan ini, faktor-faktor yang diuji dipilih secara acak dan dikombinasikan dalam matriks percobaan yang disebut matriks Plackett- Burman.

Matriks Plackett-Burman memiliki sifat khusus, yaitu rasio jumlah kolom (faktor) terhadap jumlah baris (percobaan) adalah bilangan prima.

Dalam setiap baris matriks, faktor-faktor diberikan secara acak dengan tanda +1 atau -1, dan faktor-faktor ini akan diuji pada tingkat yang sesuai dengan tanda tersebut. Setelah melakukan percobaan sesuai dengan rancangan Plackett-Burman, analisis statistik dapat dilakukan untuk

mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh signifikan terhadap respons yang diinginkan. Faktor-faktor yang menunjukkan pengaruh signifikan kemudian dapat dipilih untuk diteruskan ke percobaan selanjutnya atau untuk analisis lebih lanjut. Keuntungan dari rancangan Plackett-Burman adalah efisiensinya dalam mengidentifikasi faktor-faktor penting dengan jumlah percobaan yang relatif kecil. Namun, perlu diingat bahwa rancangan ini tidak memberikan informasi tentang interaksi antara faktor-faktor, karena faktor-faktor dianggap sebagai variabel biner dengan tingkat rendah dan tinggi yang tetap.

BAB III

KESIMPULAN DAN SARAN

3.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang didapat setelah penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut.

1. Keuntungan RBSL adalah mengurangi keragaman galat dari dua arah.

Analisis mudah memperbanyak kesimpulan (dari perlakuan, baris dan kolom).

2. Dalam replikasi fraksional, sejumlah kombinasi faktor yang dipilih untuk diuji sedangkan kombinasi lainnya diabaikan. Biasanya, replikasi fraksional dilakukan dengan menggunakan desain fraksional seperti rancangan Fraksional Faktorial, Plackett.

3. Genichi Taguchi memberikan tiga konsep yang bertujuan memperbaiki kualitas produk dan proses, yaitu ketangguhan kualitas (quality robustness), fungsi kerugian kualitas (quality loss function) dan kualitas berorientasi sasaran (target-oriented quality).

3.2 Saran

Sedangkan saran yang dapat kami berikan yaitu, 1. Menggunakan lebih banyak referensi dan variasi soal.

2. Mencari lebih banyak penyelesaian dengan metode yang berbeda.

3. Melakukan perbandingan literatur satu dengan yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Aji, C ., Dasari, D. (2009). Desain Faktorial Fraksional 2^k-p Serta Analisisnya Berbasis Web. Jurnal pendidikan matematika, 1-10.

Ariski, N., Annisa., & Sirajang, N. (2014). Rancangan Fractional Factorial (FF) dan Penggunaan Metode Bissell Untuk Mengidentifikasi Faktor Signifikan. Jurnal Matematika, statistika, dan komputasi, 11(1), 28-38.