10. Uji Beda Dua Rata- rata untuk Data
Berpasangan
MK Biostatistika
Prodi Pendidikan Biologi FKIP UNS Murni Ramli@2021
Tujuan
• Mahasiswa mampu menjelaskan dan melakukan uji beda dua rata- rata untuk data berpasangan
Contoh kasus
• Peneliti ingin meneliti, apakah daya tahan berlari dapat ditingkatkan, apabila para atlet diberi latihan yang teratur dan cukup porsi
latihannya?
Desain Riset
• Untuk membuktikannya peneliti melakukan percobaan dengan jalan mengambil sampel sekelompok atlit berukuran n yang kondisinya homogen, dan diukur daya tahan mereka dalam berlari. Kemudian, mereka diberi latihan secara teratur dengan porsi yang cukup,
katakanlah selama 3 bulan. Setelah 3 bulan latihan, daya tahan berlari mereka diukur lagi.
• Jadi, dalam hal ini subjek yang sama dikenai pengukuran berulang. Inilah yang dikatakan data penelitian tersebut sifatnya berpasangan (related).
• Harus diyakini jika latihan dihentikan daya tahan mereka akan kembali, seperti saat kondisi awal sebelum mereka diberi latihan.
Contoh 2
• Anda ingin menyelidiki penurunan kualitas air akibat perilaku
penduduk kota yang membuang limbah ke sungai. Dalam hal ini Anda akan menyelidiki dari segi kadar O2 terlarut dan kadar CO2
terlarutnya. Bagaimana agar penelitian tersebut menghasilkan data yang berpasangan?
Desain Riset
• Anda dapat menyelidikinya dengan cara mengambil sampel air pada bagian aliran sungai sebelum kota dan di bagian aliran sungai sesudah kota. Jika jarak kedua lokasi tersebut 30 km, dan kecepatan aliran 10 km/jam maka setiap Anda mengambil sampel air di bagian hulu
(sebelum kota), 3 jam berikutnya Anda baru ambil sampel air di bagian hilir (sesudah kota). Jika dilakukan pengulangan sebanyak 15 kali dan pengambilan sampel dilaksanakan sehari sekali maka kalau
pengambilan sampel air pada bagian hulu setiap harinya Anda lakukan pukul 09.00, di bagian hilir harus Anda lakukan pukul 12.00 setiap
harinya. Dengan demikian, air sungai yang terambil di dua lokasi
adalah air yang kondisi awalnya sama sehingga datanya berpasangan.
Desain Riset
• Cara yang lain bagaimana? Dapat saja setiap hari Anda melakukan pengambilan air pada satu lokasi, yaitu hanya di bagian aliran sungai sesudah kota. Pengambilan pertama Anda lakukan pada malam hari (saat penduduk tidak membuang limbah) dan pengambilan kedua
Anda lakukan pada siang hari (saat penduduk membuang limbah). Jika diulang 15 kali maka pengambilan sampel air Anda akhiri setelah 15 hari. Oleh karena tiap hari sampel air diambil dari lokasi yang sama dengan waktu yang berlainan maka datanya juga dapat dipasangkan.
• Jika Anda yakin bahwa berdasarkan landasan teori yang mantap pasti akan terjadi perubahan maka Anda berani menyusun hipotesis
penelitian bahwa akibat pengaruh faktor X (yang dimanipulasi melalui eksperimen atau akibat faktor alami) telah terjadi perubahan secara signifikan pada nilai parameter populasi, yaitu dari rata-rata μ1
meningkat menjadi μ2 atau dari μ1 menurun menjadi μ2.
Tugas 2
• Suatu penelitian ingin mengetahui efektifitas pemakaian obat
diabetes bagi penderita diabetes bertekanan darah rendah. Sebanyak 20 sukarelawan laki-laki dengan usia 45- 50 tahun bersedia dijadikan sampel penelitian. Selama 10 hari mereka menggunakan obat
pengendali gula dengan bahan aktif “A” dan pada hari terakhir mereka diukur kandungan gula darahnya. Kemudian 10 hari berikutnya
mereka menggunakan obat dengan bahan aktif “B”. Pada hari terakhir juga diukur kandungan gula darahnya Hasilnya sebagai berikut.
Prosedur
• Baca buku Bambang Subali, hal 169-173
• Hal yang perlu Anda perhatikan dalam kasus ini, Anda tidak mengetahui nilai rata-rata populasi sebagai nilai parameter populasinya, baik pada saat kondisi awal (kondisi
sebelum berubah) maupun pada saat kondisi akhir.
• Oleh karena itu, nilai rata-rata populasi baik pada kondisi awal maupun kondisi akhir dapat Anda duga dengan menggunakan nilai rata-rata sampel, setelah Anda memiliki sampel berukuran n.
• Hasil pengukuran pada kondisi awal (sebelum terkena faktor yang mempengaruhinya) sebesar Y1 Anda jadikan sebagai penduga tak bias dari μ1.
• Kemudian, setelah terkena faktor yang mempengaruhinya, dilakukan pengukuran ulang, dan akan diperoleh harga sebagai penduga tak bias dari μ2.
• Selanjutnya, dilakukan pembandingan antara nilai Y1 dengan Y2 menggunakan teknik pengujian secara statistika inferensial.
Uji T UNTUK MENGUJI SECARA PARAMETRIK
DUA NILAI RATA-RATA DATA BERPASANGAN
Persyaratan Uji t untuk Data Berpasangan
• Untuk menguji ada tidaknya perbedaan dua nilai rata-rata yang datanya berpasangan, harus diselidiki dahulu apakah memenuhi persyaratan uji secara parametrik ataukah tidak.
• Jika populasi tersebar normal, data sampel merupakan hasil pengukuran dengan skala interval atau skala rasio maka Anda dapat menguji secara parametrik.
• Anda dapat melakukan pengujian menggunakan uji t-student (cukup disingkat dengan uji t) untuk data berpasangan.
• Uji t dapat Anda lakukan jika nilai rata-rata populasi (μ0) tidak diketahui besarnya, demikian pula besarnya nilai simpangan baku populasinya (σ0).
• Ukuran sampel (n) hendaknya disesuaikan dengan jenis penelitian dan tingkat
ketelitian yang diinginkan. Ada yang menyarankan bahwa untuk penelitian klarifikatif diperlukan ulangan sebanyak 50 kali.
Cara Penghitungan Uji t untuk Data Berpasangan
• Karena datanya berpasangan maka setiap pasangan data menunjukkan data awal dan data akhir yang diukur dari sampel yang sama. Jadi kalau Anda memiliki
sampel berukuran n = 15 maka data tersebut harus disusun mulai dari pasangan data sampel kesatu, pasangan data sampel kedua, dan seterusnya sampai
pasangan data sampel kelima belas.
• Jika Anda melakukan pengukuran pada lokasi yang sama dan setiap lokasi diukur dua kali, seperti contoh kasus pencemaran limbah sungai maka pasangan datanya berupa pasangan data pengukuran hari pertama, pasangan data pengukuran hari kedua, dan seterusnya sampai pasangan data pengukuran hari kelima belas.
• Kemudian, dicari cari selisih nilai tiap pasangan data, selanjutnya dicari nilai thitung menggunakan rumus berikut ini.
Kasus
• Untuk mengetahui penurunan kualitas air akibat perilaku penduduk yang membuang limbah ke sungai, peneliti melaksanakan
pengambilan sampel air pada satu lokasi, yaitu bagian aliran sungai sesudah kota.
• Pengambilan sampel dilakukan setiap hari dan dilakukan pada malam hari saat penduduk tidak membuang limbah dan siang hari saat
penduduk membuang limbah.
• Pengambilan sampel diulang 15 kali sehingga ada 15 hari
pengambilan. Adapun hasil pengukuran kandungan O2 terlarut adalah sebagai berikut.
• Jika hipotesis statistika menggunakan prinsip uji dua pihak maka hipotesis nihilnya (H0 ):μ1 = μ2 dan hipotesis alternatifnya (H1 atau H a ):μ1 ≠μ2 . Harga t untuk uji dua pihak dengan α 5% (taraf nyata atau taraf kesalahan 5%) dengan derajat bebas n-1 = 14 adalah + 2,145, sedangkan untuk α = 1% maka harga t(0,01)/2 atau t0,005 = + 2,977.
• Oleh karena thitung = 1,593 < t(0,05)/2;14 = 2,145 maka Ho diterima.
• Dengan demikian hipotesis yang menyatakan bahwa terdapat perbedaan kandungan O2 terlarut saat sungai tidak tercemar limbah (pada malam
hari) dengan saat sungai tercemar limbah (siang hari) tidak terbukti secara signifikan.
• Jika hipotesis statistika menggunakan prinsip uji satu pihak karena peneliti yakin bahwa secara teoretik pasti berbeda/berubah menjadi lebih kecil.
Dalam hal ini uji yang digunakan adalah satu pihak yaitu pihak kanan
dengan hipotesis nihil (H0 ):μ1 = μ2 . Harga t untuk uji satu pihak dengan α 5% (taraf nyata atau taraf kesalahan 5%) dengan derajat bebas n-1 = 14 adalah 1,716; sedangkan untuk α = 1% maka harga t0,01 = 2,624.
• Karena thitung = 1,593 < t0.05; 14 = 1,761 maka Ho diterima. Dengan
demikian hipotesis yang menyatakan bahwa kandungan O2 terlarut pada saat sungai tidak tercemar limbah (malam hari) lebih tinggi dibandingkan saat sungai tercemar limbah (pada siang hari), tidak terbukti secara
signifikan.
UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON UNTUK MENGUJI SECARA NONPARAMETRIK DUA
SEBARAN DATA BERPASANGAN
Persyaratan Uji
• Walaupun data berpasangan yang diperoleh merupakan data dengan skala interval atau rasio, namun jika distribusi populasinya tidak normal atau tidak diketahui kenormalannya maka tidak dapat menggunakan uji t sebagaimana diuraikan di atas.
• Dalam keadaan demikian, harus digunakan uji nonparametrik atau uji bebas distribusi, yakni menggunakan uji peringkat bertanda data berpasangan
Wilcoxon (Wilcoxon macthed-pair signed-ranks test) atau cukup disebut uji peringkat bertanda Wilcoxon.
• Demikian pula jika data yang diperoleh merupakan data dengan skala ordinal.
Tentu saja, kesimpulan yang diperoleh nantinya adalah kesimpulan yang tidak memperhatikan distribusi populasi sehingga sifatnya menjadi sangat terbatas.
Hipotesis Statistika Untuk Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
• Data yang diolah merupakan data selisih (selisih pengamatan tiap pasangan data (kondisi awal dan kondisi akhir).
• Oleh karena itu, populasi yang diuji adalah populasi selisih dengan demikian rumusan hipotesis nihil (Ho) dan hipotesis alternatif (Ha atau H1) untuk uji dua pihak.
• Ho : Median populasi selisih adalah nol atau tidak ada perbedaan skor pada tiap pasangan data (populasi pada kondisi awal dan kondisi akhir adalah
sama/tidak berubah)
• Ha: Median populasi selisih tidak sama dengan nol atau ada perbedaan skor pada tiap pasangan data (skor-skor populasi pada kondisi awal sudah
berbeda dengan populasi pada kondisi akhir).
Lanjutan…uji satu pihak
• Ho : Median populasi selisih adalah lebih besar atau sama dengan nol (tidak ada perubahan skor-skor populasi atau sebagian besar terjadi peningkatan skor-skor populasi dari kondisi awal ke kondisi akhir
• Ha: Median populasi selisih adalah lebih kecil daripada nol atau
sebagian besar terjadi penurunan skor-skor populasi dari kondisi awal ke kondisi akhir.
atau
• Ho: Median populasi selisih adalah lebih kecil atau sama dengan nol (tidak ada perubahan skor-skor populasi atau sebagian besar terjadi penurunan skor-skor populasi dari kondisi awal ke kondisi akhir.
• Ha: Median populasi selisih adalah lebih besar daripada nol atau
sebagian besar terjadi kenaikan skor-skor populasi dari kondisi awal ke kondisi akhir.
Cara Penghitungan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
• Langkah yang ditempuh untuk uji peringkat bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut.
• Setelah dicari selisih harga data awal (pengukuran pertama) dan data akhir (pengukuran ulang). kemudian beri peringkat, tanpa memperhatikan tanda positif negatifnya. Nilai/harga yang kecil diberi peringkat kecil dan nilai/harga yang besar diberi peringkat yang besar pula.
• Setelah diperoleh peringkatnya, cantumkan tanda positif dan negatif sesuai dengan tanda pada selisih harga sebelum diberi peringkat.
• Jumlahkan nilai peringkat yang bertanda positif, dan jumlahkan pula nilai peringkat yang bertanda negatif. Jumlah nilai peringkat yang lebih kecil di antara keduanya merupakan harga T.
• Kemudian, bandingkan harga Thitung dengan Ttabel jika ukuran sampel (N) < 25. Jika Thitung > Ttabel maka Ho diterima. (Untuk
perhitungan nonparametrik simbol ukuran sampel menggunakan N, bukan n).
Contoh
• Misalkan, setelah dilakukan pengujian normalitas terhadap data
kandungan O2 terlarut dalam air sungai, seperti pada contoh untuk penghitungan uji t, menunjukkan bahwa distribusinya memang tidak normal.
• Hal ini dapat saja terjadi, mengingat fluktuasi kandungan O2 terlarut sangat tergantung pada banyak faktor dan memang perlu dicurigai pola distribusinya.
• Jika memang terbukti tidak tersebar normal maka pengujiannya dilakukan dengan menggunakan uji peringkat bertanda Wilcoxon, seperti berikut ini.
• Jumlah peringkat skor bertanda negatif = 24,5 dan jumlah peringkat skor bertanda positif = 66,5. Untuk mengecek apakah sudah benar, maka kita jumlahkan saja peringkat seluruhnya bila tidak ada angka yang sama,
yakni = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 = 91. Jumlah peringka yang bertanda negatif dan positif bila dijumlahkan juga 91. Jadi sudah benar.
• Karena yang lebih kecil adalah jumlah peringkat yang negative maka nilai itu yang ditetapkan sebagai nilai T. Jadi, besarnya nilai T = 24,5.
Pada Tabel 4.5. di bawah ini, untuk uji dua pihak dengan N = 13 (data yang selisih nilainya 0 tidak diperhatikan) dan α = 5%, besarnya T = 17.
Karena harga Thitung > Ttabel maka Ho diterima, yang berarti median populasi selisih adalah nol. Dengan kata lain, tanpa memperhatikan
distribusi populasinya, tidak terdapat perbedaan yang bermakna antara kandungan O2 terlarut dalam air sungai yang tidak tercemar limbah
dengan kandungan O2 terlarut dalam air sungai yang tercemar limbah.
• Oleh karena harga zhitung = |-1,467| < z0,05/2 = |1,96| maka Ho diterima, jadi median populasi selisih adalah nol. Jadi, tanpa
memperhatikan distribusinya, tidak terdapat perbedaan yang
bermakna antara kandungan O2 terlarut dalam air sungai yang tidak tercemar limbah dengan kandungan O2 terlarut dalam air sungai yang tercemar limbah.
