Ukuran
Pemusatan
Statistika 1
Ukuran Pemusatan
• Adalah nilai tunggal yang mewakili suatu
kumpulan data dan menunjukkan karakteristik data. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat nilai data
Ukuran pemusatan terdiri dari : 1. Rata-Rata Hitung
2. Median
3. Modus
Rata-Rata Hitung
• Merupakan nilai yang diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data dan
membaginya dengan jumlah data
• Rata-rata hitung merupakan nilai yang menunjukkan pusat dari nilai data dan
merupakan nilai yang dapat mewakili dari
keterpusatan data
1. Rata-Rata Hitung Populasi
• Merupakan nilai rata-rata dari data populasi Rata-rata hitung populasi dihitung dengan cara:
Rata-rata hitung populasi yang biasa disebut dengan parameter juga dapat disajikan dengan bentuk simbol berikut :
Dimana :
: rata-rata hitung populasi. Dibaca myu
Simbol dari operasi penjumlahan. Dibaca sigma X : Nilai data yang berada dalam populasi
N : Jumlah total data atau pengamatan dalam populasi
•
�=
∑
��
1. Rata-Rata Hitung Populasi
(Contoh)
�=
∑
��
Berikut ini adalah nilai kredit dalam triliun rupiah yang disalurkan oleh lima bank di Indonesia pada tahun 2012. Berapa rata-rata hitung nilai kreditnya?
Bank Nilai Kredit (Rp Triliun)
BCA 256,77
BNI 200,70
BRI 348,23
Bank Mandiri 388,8
Bank CIMB Niaga 145,40
�= 256,77 +200,70 +348,23 + 388, 80+145,40 5
� = 1339,9
5 =267,98
2. Rata-Rata Hitung Sampel
• Merupakan nilai rata-rata dari data sampel Rata-rata hitung sampel dihitung dengan cara:
Rata-rata hitung sampel juga dapat disajikan dengan bentuk simbol berikut :
Dimana :
: rata-rata hitung sampel. Dibaca X bar
Simbol dari operasi penjumlahan. Dibaca sigma X : Nilai data yang berada dalam sampel
N : Jumlah total data atau pengamatan dalam sampel
•
�´ =
∑
��
2. Rata-Rata Hitung Sampel
(Contoh)
�´ =
∑
��
Pada tahun 2013 tercatat lebih dari 480 perusahaan public (emiten) yang terdaftar di BEI, sekitar 371 perusahaan menjual saham dan sebagian lainnya hanya menjual obligasi. Terdapat 232 cash dividen 2012, 11 diantaranya diambil sebagai sampel untuk melihat laporan keuangannya. Data dividen saham dan kinerja keuangan dari 11 sampel sebagai berikut :
� ´ = 1.252.058,49
11 = 113.823,50
No Kode Nama Perusahaan Cash Dividen per Lembar
Saham
Laba 2012
(Rp Miliar) Total Aset 2012 (Rp Miliar)
1 AALI Astra Agro Lestari Tbk. 695 2454 12420
2 ADHI Adhi Karya (Persero) Tbk. 30,33 213 7872
3 AKRA AKR Corporindo Tbk. 40 756 11788
4 ANTM Aneka Tambang (Persero) Tbk. 90,99 2989 19709
5 ASII Astra International Tbk. 1380 22460 182284
6 AUTO Astra Otoparts Tbk. 75 1076 8882
7 BBCA Bank Central Asia Tbk. 70 12147 436795
8 BBNI Bank Negara Indonesia Tbk. 62,48 5991 299058
9 BDMN Bank Danamon Tbk. 104,43 4082 155791
10 TINS Timah (Persero) Tbk. 89,09 436 6101
11 TLKM Telekomunikasi Tbk. 371,343 18338 111369
Hitunglah rata-rata sampel untuk total asset dan laba bersih dari data disamping!
a. rata-rata hitung sampel untuk total aset b. rata-rata hitung sampel untuk laba bersih
� ´ = 70.942,04
11 = 6.449,28
3. Rata-Rata Hitung Tertimbang
• Merupakan suatu nilai yang diperoleh dari suatu kelompok data yang dinyatakan sebagai X
1, X
2, X
3,… X
nBerturut-turut ditimbang dengan bobot w
1, w
2, w
3,… w
nRumus rata-rata hitung tertimbang dinyatakan sebagai berikut :
Atau dapat disederhanakan menjadi:
Dimana :
w: rata-rata hitung tertimbang
Simbol dari operasi penjumlahan
X : Nilai data yang berada dalam populasi/sampel
N : Jumlah total data atau pengamatan dalam populasi/sampel
•
� �´ =
∑
(� � �)∑
�3. Rata-Rata Hitung Tertimbang (Contoh)
Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir.
Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :
70,89 4
3 2
(4)70 (3)76
(2)65
X
4. Rata-Rata Data Berkelompok
• Merupakan data yang sudah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi.
Rumus rata-rata hitung untuk data berkelompok baik populasi maupun sampel dirumuskan sebagai berikut :
Dimana :
: rata-rata hitung data berkelompok
Simbol dari operasi penjumlahan
f
i: Frekuensi kelas ke-i (masing-masing kelas) x
i: Nilai tengah kelas ke-i (masing-masing kelas)
F
ix
i: Hasil perkalian antara frekuensi dan nilai tengah pada kelas ke-i n : Jumlah total data atau pengamatan
•
�´ =
∑
� � � ��
4. Rata-Rata Data Berkelompok (Contoh)
Kelas Interval Jumlah Frekuensi
(fi) Nilai Tengah
(xi) fi.xi
1 16 - 24 10 20 200
2 25 - 33 18 29 522
3 34 - 42 14 38 532
4 43 - 51 4 47 188
5 52 - 60 2 56 112
6 61 - 69 2 65 130
�´ =
∑
�����
Jadi rata-rata usia untuk 50 responden yang menggunakan sampo Sunsilk adalah pada usia 33,68
Median
• Merupakan suatu nilai yang berada ditengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan
1 Median untuk Data Tidak Berkelompok
• Adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah
diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi
• Cara mencari letak dan nilai median untuk data berkelompok
Letak dari median dapat dicari dengan rumus (n+1)/2
Apabila jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data
Apabila jumlah datanya genap, maka nilai median
merupakan nilai rata-rata dari dua data yang letaknya berada
di tengah
Median untuk Data Tidak Berkelompok (Contoh)
Berikut ini adalah rencana penambahan pesawaat dari 6 perusahaan maskapai penerbangan nasional untuk menghadapi ASEAN Open Sky 2015: Garuda 194 unit, City Link 50 unit, Lion Air 230 unit, Wing Air 60 unit, Kartika Air 25 unit, Sriwijaya Air 15 unit. Carilah letak dan nilai median dari contoh tersebut!
Penyelesaian
1. Menentukan letak median (n+1)/2 = (6+1)/2 = 3,5 2. Mengurutkan data dari yang terbesar ke terkecil
Urutan nilai : 30 8 8 6 3 2 Urutan Letak: 1 2 3 4 5 6
3. Letak median terletak antara urutan letak 3 dan 4. nilai median adalah nilai ke-3 ditambah nilai ke-4 dibagi 2, yaitu (60 + 50)/2 =55. Jadi, nilai mediannya adalah 55.
no Nama Maskapai
Penerbangan Unit Rencana Penambahan
1 Lion Air 230
2 Garuda 194
3 Wing Air 60
4 City Link 50
5 Kartika Air 25
6 Sriwijaya Air 15
2. Median untuk Data Berkelompok
• Merupakan nilai yang letaknya ada ditengah data, sehingga data berada setengahnya di atas dan
setengahnya di bawah
• Yang membedakan median data berkelompok dan median data tidak berkelompok adalah pada data berkelompok nilai informasi atau karakteristik dari masing-masing data tidak dapat diidentifikasi lagi, yang dapat diketahui hanya karakter dari kelas atau intervalnya.
• Akibatnya akan terdapat kesulitan dalam
menentukan nilai median yang tepat pada suatu
interval kelas.
2. Median untuk Data Berkelompok
• Oleh sebab itu pendugaan dilakukan dengan cara sebagai berikut : 1. Menentukan letak kelas dimana nilai median berada. Letak median
untuk data berkelompok adalah n/2, dimana n adalah jumlah frekuensi
2. Melakukan interpolasi di kelas median untuk mendapatkan nilai median dengan rumus sebagai berikut:
Dimana:
Md : Nilai Median
L : Batas bawah atau tepi kelas dimana median berada n : Jumlah total frekuensi
Cf : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas median berada
f : Frekuensi dimana kelas median berada i : Besarnya interval kelas
•
2. Median untuk Data Berkelompok (contoh)
1. Menentukan letak kelas median, yaitu n/2 karena ada 53 harga mobil Daihatsu, maka letak median 53/2 = 26,5
2. Berdasarkan pada kolom frekuensi nilai 26,5 terletak antara frekuensi kumulatif 26 dan 43. jadi, median terletak pada kelas ke-4 dengan interval 158,2-172,2 =14
3. Melakukan interpolasi nilai median dengan rumus
Kategori Interval F nilai tepi kelas Kurang dari
1 113,20 127,20 6 112,70 0
2 128,20 142,20 9 127,70 6
3 143,20 157,20 11 142,70 15
4 158,20 172,20 17 157,70 26
5 173,20 187,20 7 172,70 43
6 188,20 202,20 2 187,70 50
7 203,20 217,20 1 202,70 52
217,70 53
Letak Median
2. Median untuk Data Berkelompok (contoh)
Dimana :
Md : Nilai Median
L : 157,7 Batas bawah atau tepi kelas dimana median berada n : 53 Jumlah total frekuensi
Cf : 26 Frekuensi Kumulatif sebelum kelas median berada
f : 17 Frekuensi dimana kelas median berada i : 14(172,2-158-2) Besarnya interval kelas
Jadi, nilai median dari 53 harga mobil Daihatsu tahun 2013 adalah
•
Modus
• Merupakan suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul
• Modus memiliki kelebihan dan kekurangan
Kelebihan : modus mudah ditemukandan dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem
Kelemahan : kadang terdapat data yang tidak memiliki modus, kadang memiliki modus lebih dari satu
• Cara mencari nilai modus
1. Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang sering muncul atau frekuensi yang paling banyak
2. Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus sebagai berikut:
Dimana:
Mo : Nilai modus
L : Batas bawah atau tepi kelas dimana modus berada
d1 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i : Besarnya interval kelas
•
Modus (Contoh)
Hitunglah modus dari data yang sudah dikelompokkan pada kasus mobil Daihatsu
Penyelesaian :
1. Menentukan kelas Modus, yaitu kelas atau interval dengan frekuensi yang paling sering muncul. Frekuensi paling banyak adalah 17, maka nilai modus berada pada kelas 158,2-172,2
Kategori Interval F nilai tepi kelas
1 113,20 127,20 6 112,70
2 128,20 142,20 9 127,70
3 143,20 157,20 11 142,70
4 158,20 172,20 17 157,70
5 173,20 187,20 7 172,70
6 188,20 202,20 2 187,70
7 203,20 217,20 1 202,70
217,70
Letak Modus
Modus (Contoh)
2. Melakukan interpolasi nilai modus dengan rumus
•
Dimana
Mo : Nilai modus yang dicari
L : 157,7 Batas bawah atau tepi kelas dimana modus berada
d1 : 6 (17-11), Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 : 10 (17-7) Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i : 14 (172,2-158,2), Besarnya interval kelas
Oleh karena itu nilai modus menjadi:
Mo = 157,7 + (6/16) x 4 157,7 + 5,25
Mo = 162,95
Jadi nilai modusnya adalah 162,95, yaitu harga mobil Daihatsu yang sering muncul
Soal Latihan
Di bawah ini adalah distribusi frekuensi tentang hasil produksi kain dari PT. Timitex selama 130 hari. Carilah mean, median dan modus dari data berikut!
Produksi Kain (m persegi) Frekuensi 191- 307
308-424 425-541 542-658 659-775 776-892 893-1009 1010-1126
19 25 31 12 2511 6 1
