PDF Copyright INTRODUCTION IIT Kharagpur

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T h e p u r p o s e o f d e v i c e m o d e llin g i s to o b t a i n t h e t e r m in a l c h a r a c t e r i s t i c s o f a d e v i c e from i t s p h y s i c a l a n d p r o c e s s p a r a m e te r s # a n d g e o m e t r ic a l c o n f i g u r a t i o n . W it h t h e p a s s a g e o f t i m e , t h e p h y s i c a l s t r u c t u r e o f MOSFETs h a s b e come v e r y c o m p l i c a t e d due to t h e i n c o r p o r a t i o n o f A d d i t i o n a l p r o c e s s s t e p s to im p rove p e r f o r m a n c e , a n d s c a l i n g o f geom etry

to i n c r e a s e d e n s i t y o f i n t e g r a t i o n a nd s p e e d . F o r exam p le, a c h a n n e l i m p l a n t a t i o n i s n o w a d a y s w i d e l y u s e d i n s h o rt- c h a n n e l M OSFETs t o c o n t r o l t h e t h r e s h o l d v o l t a g e , i n c r e a s e t h e punch-

t h r o u g h v o l t a g e a n d r e d u c e s u b t h r e s h o l d c u r r e n t . A l s o , w i t h t h e s h r i n k i n g o f d e v i c e d i m e n s i o n s , t h e t h r e s h o l d v o l t a g e s o f MOSFETs h a v e becom e d e p e n d e n t on t h e d e v i c e geo m etry a n d th e d r a i n b i a s . T h e s e a r e some o f t h e r e a s o n s w h ic h h a v e n e c e s s i t a t e d t h e u s e o f r i g o r o u s n u m e r i c a l t e c h n i q u e s t o o b t a i n t h e d e v i c e c h a r a c t e r i s t i c s a c c u r a t e l y . But n u m e r i c a l m o dels u s u a l l y i n v o l v e enorm ous c o n f u t a t i o n t im e and e f f o r t , a n d l a c k i n

p h y s i c a l i n s i g h t . F o r t h e s i m u l a t i o n o r a n a l y s i s o f L S I / V L S I c i r c u i t s i n v o l v i n g s e v e r a l t h o u s a n d t r a n s i s t o r s , i t i s r a t h e r i n c o n v e n i e n t to u se n u m e r i c a l m o dels a t th e d e v i c e l e v e l as i t w o u ld m ake t h e o v e r a l l c o m p u t a t io n too t im e c o n su m in g to be p r a c t i c a l . H e n c e , IC d e s i g n e r s p r e f e r to u s e a n a l y t i c a l o r

e m p i r i c a l m o d e l s , w h ic h a r e a c c u r a t e en o ugh f o r t h e p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n a n d at t h e same t im e c o m p u t a t i o n a l l y e f f i c i e n t . / ' T h e p r e s e n t t h e s i s r e p o r t s t h e w ork on some new a n a l y t i c a l m o d e ls f o r t h e t h r e s h o l d a n d p u n c h t h r o u g h v o l t a g e s o f s m a ll geom etry M OSFETs w it h n o n u n i f o r m l y d o p e d c h a n n e l s .

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In C h a p t e r 2 o f t h i s t h e s is # a r e v i e w o f t h e a n a l y t i c a l m odels o f t h r e s h o l d v o l t a g e , p u n c h t h r o u g h v o l t a g e a nd sub- t h r e s h o l d c u r r e n t o f MOSFETs d e v e lo p e d so f a r i s p r e s e n t e d . I n t h e t h r e s h o l d v o l t a g e m odels# a n a l y t i c a l m eth o ds t o d e t e r m ine t h e p o t e n t i a l a n d f i e l d d i s t r i b u t i o n i n t h e c h a n n e l a r e r e q u i r e d . For t h i s # o n e must o b t a i n t h e s o l u t i o n o f P o i s s o n 's e q u a t io n in t h e c h a n n e l u n d e r t h e s u b t h r e s h o l d c o n d i t i o n . I n t h e c a s e o f lo n g - c h a n n e l MOSFETs# a o n e - d im e n s io n a l s o lu t io n i s adequ ate# a n d a c lo s e d - fo rm e x p r e s s i o n f o r t h r e s h o l d v o l t age may b e o b t a i n e d i f t h e c h a n n e l i s h o m o g e n e o u s ly d o p e d . For s h o r t - c h a n n e l MOSFETs w i t h u n i f o r m l y d o p e d ch a n n e ls#

t w o - d im e n s io n a l s o l u t i o n o f P o i s s o n 's e q u a t i o n h a s b e e n f o u n d a n a l y t i c a l l y u n d e r s p e c i f i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s / ~ 5 2 / 5 3 _ 7 . I t is# h o w e v e r / a d i f f i c u l t t a s k to f i n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t h e p o t e n t i a l # a n d o b t a i n a closedr-form e x p r e s s i o n f o r t h e t h r e s h o l d v o l t a g e o f MOSFETs w i t h im p l a n t e d c h a n n e l s / ev en f o r t h e lo n g - c h a n n e l c a s e . T h e i m p l a n t e d im p u r i t y p r o f i l e i n t h e c h a n n e l may be a p p r o x im a t e d b y t h e jiis p la c e d G a u s s i a n f u n c t i o n . In t h e c a s e o f bo ron i m p l a n t a t i o n / i t i s more p r e c i s e l y r e p r e s e n t e d by P e a r s o n - IV t y p e f u n c t i o n ^ ~ 9 8 _ /7 w h ic h i s much more c o m p l i c a t e d t h a n t h e G a u s s i a n f u n c t i o n .

T h e s e f u n c t i o n s a r e n o t i n t e g r a b l e a n a l y t i c a l l y o v e r a f i n i t e i n t e r v a l / m a k in g t h e P o i s s o n 's e q u a t i o n u n s o l v a b l e . Some

e f f o r t s h a v e t h e r e f o r e b e e n made to o b t a i n a n a l y t i c a l s o l u t i o n s t h r o u g h s u i t a b l e t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e i m p l a n t e d p r o f i l e s . Th e most p o p u l a r i s t h e step p r o f i l e a p p r o x im a t io n 13-18_J7. But

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t h i s t r a n s f o r m a t i o n i s v a l i d o n l y fo r s h a l l o w i m p l a n t s w i t h th e p e a k c o n c e n t r a t i o n v e r y n e a r t h e s i l i c o n s u r f a c e

In a d d i t i o n / o n e h a s to u se a n o n - p h y s ic a l a s s u n p t i o n o f a v i r t u a l c h a r g e - s h e e t i n t h e c h a n n e l f o r t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e c h a n n e l d e p l e t i o n w id t h as w e l l as t h e t o t a l c h a r g e i n t h e d e p l e t i o n r e g i o n /|~*19,20_J7.

In o u r m o d e ls / t h e a n a l y t i c a l d i f f i c u l t y to s o lv e P o i s s o n 's e q u a t i o n h a s b e e n re m o v ed b y t h e u s e o f new a n a ly t i c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s w h i c h f i t c l o s e l y w i t h th e G a u s s ia n a n d t h e P e a r s o n - IV t y p e d i s t r i b u t i o n s

/ “3 0 _ 7 . T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s e f u n c t i o n s w i l l be d i s c u s s e d i n d e t a i l i n C h a p t e r 3 . T h e p r o p o s e d s u b s t i t u t e f u n c t i o n f o r t h e G a u s s i a n i s d o u b l y i n t e g r a b l e o v e r a f i n i t e i n t e r v a l a n d h a s a c l o s e f i t w it h t h e G a u s s i a n f u n c t i o n o v e r a reasona- a b l e r a n g e . T h e P e a r s o n - IV d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a p p l i c a b l e to b o r o n i o n s as m o d i f i e d i n SUPREM to i n c o r p o r a t e t h e e f f e c t o f c h a n n e l i n g h a s b e e n s i m u l a t e d by c o n s t r u c t i n g a f u n c t i o n c o n s i s t i n g o f e x p o n e n t i a l te r m s / w h ic h i s i n t e g r a b l e a n a l y t i c a l l y a n y num ber o f t i m e s . T h e im p o r t a n t f e a t u r e o f t h e p r o p o s e d f u n c t i o n i s t h a t i t i n v o l v e s i m p l a n t a t i o n d o s e a n d e n e r g y a s i t s p a r a m e t e r s .

I n C h a p t e r 4 , t h e p r o p o s e d a n a l y t i c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s h a v e b e e n u s e d t o f i n d c l o s e d form e x p r e s s i o n s f o r t h e p o t e n t i a l a n d e l e c t r i c f i e l d i n t h e c h a n n e l from t h e s o l u t i o n o f o n e - d im e n s io n a l P o i s s o n ' s e q u a t i o n u s i n g t h e d e p l e t i o n a p p r o x im a t io n £ ~ 2 6 t 21 _J7. T h i s a n a l y s i L / h o w e v e r /

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y i e l d s t r a n s c e n d e n t a l e q u a t io n s to b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r o b t a i n i n g t h e c h a n n e l d e p l e t i o n w id t h o f lo n g - c h a n n e l MOSFETs w it h i m p l a n t e d c h a n n e l s . I n o r d e r to d e r i v e a f u l l y a n a l y t i c a l model o f t h r e s h o l d v o l t a g e , a s t a ir - c a s e t y p e o f d o p in g t r a n s fo r m a t io n i n t h e c h a n n e l h a s b e e n p r o p o s e d . In t h i s t r a n s f o r m a t io n , t h e c h a n n e l r e g i o n i s d i v i d e d i n t o t h i n l a y e r s , a n d e ac h l a y e r i s c o n s i d e r e d to be u n i f o r m l y d o p e d w i t h a co n ce n t r a t i o n e q u a l to th e a v e r a g e o f t h e p a r t i c u l a r l a y e r , w h ic h i s easy to c o n f u t e due t o th e i n t e g r a b i l i t y o f t h e f u n c t i o n s r e p r e s e n t i n g t h e d o p in g p r o f i l e s . C l o s e d fo rm e g r e s s i o n s h a v e b e e n d e r i v e d f o r t h e c h a n n e l d e p l e t i o n w i d t h , th e d e p l e t i o n l a y e r c h a r g e , a nd t h e t h r e s h o l d v o l t a g e . The r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g o u r m odel f o r G a u s s ia n do p ed c h a n n e l s a s w e l l a s P e a r s o n - IV t y p e bo ro n i n p l a n t e d c h a n n e l s h a v e been com pared w i t h t h o s e o b t a i n e d u s i n g n u m e r i c a l m e t h o d s . I n b o t h c a s e s , a v e r y good a g re e m e n t i s o b t a i n e d . T h e c o m p u t a t io n tim e i n t h e p r o p o s e d a n a l y t i c a l m odel i s at l e a s t an o r d e r o f m a g n itu d e

l e s s t h a n i n t h e n u m e r ic a l m o d e l.

In C h a p t e r 5 , a n a l y t i c a l m odels f o r s h o r t - c h a n n e l MOSFETs w i t h n o n u n if o r m ly d o p e d c h a n n e l s b a s e d o n t h e charge- s h a r i n g t e c h n i q u e 2 8 _J7 a s w e l l as t h e more r i g o r o u s two- d i m e n s i o n a l s o l u t i o n o f P o i s s o n ' s e q u a t i o n h a v e b e e n d e v e l o p e d

T h e c h a r g e - s h a r in g t e c h n i q u e w as f i r s t p r o p o s e d b y Y a u ^f~4 2_J7 a n d l a t e r im p r o v e d upon by T a y l o r 4 4 _ / 7• I t i s a s p e c i a l g e o m e t r ic a l t e c h n i q u e o f c o m p u t in g t h e t h r e s h o l d v o l t a g e o f s h o r t - c h a n n e l M OSFETs u s i n g t h e r e s u l t s o f

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t i c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . T a k i n g in t o a c c o u n t t h e d i s t o r t e d s h a p e s o f the so u r c e a n d d r a i n j u n c t i o n b o u n d a r i e s due t o c h a n n e l i m p l a n t a t i o n , t h e m odel i s a b l e to p r e d i c t t h e ano m alo u s p o s i t i v e t h r e s h o l d v o l t a g e s h i f t w i t h d e c r e a s i n g c h a n n e l l e n g t h fo r h e a v y a n d d e e p c h a n n e l i m p l a n t s , f i r s t e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d b y N i s h i d a a n d O n o d e r a <S 0 _ 7 and a n a l y s e d by Fu a c c u r a c y o f t h e m o del h a s b e e n e s t a b l i s h e d b y c o m p ar is o n w i t h e x p e r im e n t a l r e s u l t s . More

r i g o r o u s m o d e ls b a s e d on t w o - d im e n s io n a l s o l u t i o n o f P o i s s o n 's e q u a t i o n h a v e a l s o b e e n d e v e l o p e d . For a MOSFET ^ w it h a

G a u s s ia n d o p e d c h a n n e l , w h o se p e a k c o n c e n t r a t i o n i s at t h e s i l i c o n s u r f a c e , the t w o - d im e n s io n a l P o i s s o n 's e q u a t io n h a s b e e n s o l v e d u s i n g t h e i n t e g r a b l e f u n c t i o n to r e p r e s e n t t h e c h a n n e l d o p i n g . T h e r e s u l t s o b t a i n e d fro m t h e m odel show go o d ag re e m e n t w i t h e x p e r im e n t a l d a t a . W ork h a s a l s o be e n e x t e n d e d t o d e v e l o p a tw o - d im e n s io n a l a n a l y t i c a l m odel o f t h r e s h o l d v o l t a g e o f n - c h a n n e l M OSFETs w it h boron ir r p la n t e d c h a n n e l s , w h e r e t h e SUPREM s i m u l a t e d c h a n n e l d o p in g p r o f i l e s a re

r e p r e s e n t e d by t h e p r o p o s e d i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . T h e m ain f e a t u r e s o f t h e model a r e (a ) i t i s p u r e l y a n a l y t i c a l a nd t h e r e f o r e c o m p u t a t i o n a l l y f a s t e r , (b) i t a c c e p t s i m p l a n t a t i o n p a r a m e t e r s s u c h as d o s e a n d e n e r g y as i t s i n p u t v a r i a b l e s r a t h e r t h a n t h e i m p l a n t e d p r o f i l e as i n o t h e r t w o - d im e n s io n a l

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m odels ^"~64_J7/ and (c) i t c o n s i d e r s r e a l i s t i c s o u r c e a n d d r a i n j u n c t i o n s and c h a n n e l d o p in g p r o f i l e s w i t h o u t h a m p e r in g t h e a n a l y t i c a l n a t u r e o f t h e s o l u t i o n . Good a g re e m e n t w it h

e x p e r im e n t a l r e s u l t s v a l i d a t e t h e p r o p o s e d m o d e l.

A s im p le a n a l y t i c a l m odel f o r p u n c h t h r o u g h v o l t a g e o f s h o r t - c h a n n e l MOSFETs w it h n o n u n if o r m l y do p ed c h a n n e l s i s p r e s e n t e d i n C h a p t e r

6

. W it h t h e r a p i d s h r i n k i n g o f MOSFET

c h a n n e l l e n g t h s * p u n c h t h r o u g h e f f e c t h a s d o m in a t e d o v e r a v a l

anch e b r e a k d o w n i n c o n t r o l l i n g t h e maximum a l l o w a b l e d r a i n v o l t a g e . P u n c h t h r o u g h o c c u r s w h e n t h e e l e c t r i c f i e l d due t o d r a i n b i a s s u f f i c i e n t l y r e d u c e s t h e p o t e n t i a l b a r r i e r at t h e s o u r c e j u n c t i o n . T h e p r o p o s e d m odel i s a p p l i c a b l e i n t h e sub

t h r e s h o l d r e g i o n w hen t h e g a t e b i a s i s more t h a n t h e fla t- b a n d v o l t a g e . T h e m odel t a k e s in t o a c c o u n t t h e e f f e c t s o f d i f f e r e n t d o p i n g a n d d e v i c e p a r a m e t e r s a s w e l l a s t h e a p p l i e d b i a s p o t e n t i a l s . T h e m odel u s e s n e a r l y e x a c t d o p i n g p r o f i l e s

r e p r e s e n t e d by t h e p r o p o s e d i n t e g r a b l e f u n c t i o n s / i n s t e a d o f t h e step p r o f i l e / w h ic h i s r a t h e r i n a c c u r a t e . U n l i k e a n a l y t i c a l m o dels p r e s e n t e d e a r l i e r ^ 4 4 , 9 4 _J7, t h i s m odel c o r r e c t l y

s i m u l a t e s t h e e f f e c t o f s u b s t r a t e b i a s o n p u n c h t h r o u g h v o l t a g e . T h e r e s u l t s o b t a i n e d from t h e m odel a g r e e w e l l w i t h p u b l i s h e d

e x p e r i m e n t a l d a t a . ^

C h a p t e r 7 su m m arize s t h e m ain r e s u l t s o f work r e p o r t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n a n d d i s c u s s e s t h e s c o p e f o r f u t u r e w o r k . I t may b e c o n c l u d e d t h a t a s y s t e m a t ic e f f o r t h a s b e e n made to d e v e lo p c o m p u t a t i o n a l l y sirrple a n a l y t i c a l m o dels o f t h r e s h o l d

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v o l t a g e o f sm all geom etry MOSFETs u s e d i n L S l / V L S I c h ip s # In t h e b e g i n n i n g , a lo n g - c h a n n e l a p p r o x im a t io n w as u s e d ,w h i c h was t h e n e x t e n d e d to t h e s h o r t- c h a n n e l c a s e . T h e n o v e l t y o f t h e p r o p o s e d m o dels l i e s in (a) t h e p r o p o s i t i o n o f new in te-

g r a b l e f u n c t i o n s as s u b s t i t u t e f o r t h e G a u s s i a n a n d t h e P e a r s o n - IV d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s t o r e p r e s e n t t h e d o p in g p r o f i l e s i n t h e io n im p l a n t e d c h a n n e l , f o r t h e a n a l y t i c a l

s o l u t i o n o f P o i s s o n 's e q u a t i o n , and (b) t h e u s e o f a s t a i r c a s e d o p in g p r o f i l e a p p r o x im a t io n y i e l d i n g c lo s e d - fo r m e x p r e s s i o n s f o r t h e lo n g - c h a n n e l t h r e s h o l d v o l t a g e a n d t h e d e p l e t i o n l a y e r c h a r g e i n t h e c h a n n e l . W h i l e t h e lo n g - c h a n n e l m o d e ls a r e f o u n d to b e more a c c u r a t e t h a n t h e e x i s t i n g a n a l y t i c a l m o d e ls b a s e d on t h e step p r o f i l e a p p r o x im a t io n , t h e

s h o r t - c h a n n e l m o d e ls a r e c o m p u t a t i o n a l l y more e f f i c i e n t t h a n t h e n u m e r i c a l m o dels a n d a r e a b l e to p r e d i c t t h e e x p e r im e n t a l r e s u l t s w i t h goo d a c c u r a c y . T h e s h o r t - c h a n n e l m o d els h a v e b e e n d e v e l o p e d i n a s y s t e m a t ic a n d e x h a u s t i v e m anner s t a r t i n g from a s e m i- e m p ir ic a l model b a s e d on t h e c h a r g e - s h a r in g p r i n c i p l e to r i g o r o u s a n a l y t i c a l m o d e ls b a s e d on t h e s o l u t i o n o f t h e 2-D P o i s s o n 's e q u a t i o n . T h e f i r s t 2-D m odel p r o p o s e d a ssu m es a G a u s s i a n d o p e d c h a n n e l a n d s i m p l i s t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s . On t h e o t h e r h a n d , t h e s e c o n d 2-D model c o n s i d e r s P e a r s o n - IV t y p e b o r o n i n p l a n t e d c h a n n e l a n d more r e a l i s t i c b o u n d a r y con

d i t i o n s . T h e m odel fo r p u n c h t h r o u g h v o l t a g e i s a l s o p u r e l y a n a l y t i c a l a n d h e n c e c o m p u t a t i o n a l l y f a s t e r . I t s u c c e s s f u l l y p r e d i c t s t h e a v a i l a b l e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s .

Copyright

IIT Kharagpur

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S i n c e th e m o dels p r o p o s e d r e q u i r e s u b s t a n t i a l l y l e s s co m p uter tim e a n d memory t h a n t h e i r n u m e r ic a l coun t e r p a r t s # t h e y may p l a y an im p o r ta n t r o l e i n c i r c u i t

s i m u l a t i o n f o r V L S I d e s i g n .