بررسی ارتعاشات تیر هدفمند دو جهته مقید در لایه های پیزوالکتریک روی بستر الاستیک با استفاده از دیفرانسیل کوادریچر

لماک یشهوژپ هلاقم رد خیرات ی تفا 42 / 11 / 11

ذپ خیرات ی شز 42 / 1 / 14

هئارا رد اس ی ت 03 / 6 /

14 62-82صص1 هرامش10هرود ،1014 رذآ

تاشاعترا یسررب دنمفده ریت

هیلا رد دیقم هتهج ود یاه

کیرتکلاوسیپ

رچیرداوک لیسنارفید زا هدافتسا اب کیتسلاا رتسب یور

یمیحر نیسحملاغ

1

،*

یناروط نیسح ،2

م رزاگ داجس دمح

2

1 - دبتسا ، یسذٟٙٔ

هی٘بىٔ

، ٜبٍط٘اد سرذٔ تیثزت ،

ٖازٟت

2 - سبٙضربو ذضرا

ٖازٟت ،سرذٔ تیثزت ٜبٍط٘اد ،هی٘بىٔ یسذٟٙٔ

*

،ٖازٟت یتسپ قٚذٙغ 14115143

، Rahimi_gh@modares.ac.ir

ٌدیکچ - شٚر تیوزت بث ِٝبمٔ ٗیا رد بؿف شٚر ٚ زچیرداٛو ُیس٘ازفید یبٞ

ی ٚ داسآ تبضبؼترا یسرزث یازث ٝتیسیتسلاا ُح هی تِبح زیثأت

زتسث

ٝتٟجٚد ذٕٙفذٞ زیت هی رد هیتسلاا

ٝیلا رد ذیمٔ

یبٞ

ُیس٘ازفید شٚر سا زیت یِٛق یبتسار رد ٝو ترٛغ ٗیا ٝث .تسا ٜذض ٝئارا ،هیزتىِاٚشیپ

بؿف هیٙىت سا زیت تٔبخؾ یبتسار رد ٚ زچیرداٛو ی

.تسا ٜذض ٜدبفتسا تِبح زّىٙیٚ بی یزتٔاربپ ٚد َذٔ زیت هیتسلاا زتسث

- نب٘زتسپ یٔ

ذضبث

ٝو

ٜدبس یسزٔ فیازض عٛ٘ ٚد -

رادزیٌ ٚ ٜدبس -

ٝث ٖآ یِٛق ٚ تٔبخؾ یبتسار رد زیت ظاٛخ ٝو تسا ٜذض ؼزف ٚ ٝتفزٌ رازل یسرزث درٛٔ رادزیٌ

یٔ زییغت ییبٕ٘ ترٛغ ٝو ٜذض ؼزف تثبث ٖٛساٛپ تیزؾ ٚ .ذٙو

زیثأت عخبض زییغت تا داسآ تبضبؼترا یٚر زث جٛٔ دذػ ٚ داٛٔ ظاٛخ ٖبیدازٌ یبٞ

یسرزث زیت ٗیا

ٜذض .تسا رادرٛخزث ییلابث ییازٍٕٞ تػزس ٚ یِبػ تلد سا شٚر ٗیا ٝو داد ٖبط٘ ٜذٔآ تسد ٝث جیبت٘ .تسا

ٗیٙچٕٞ

یازث یجیبت٘

.تسا ٜذض ٝئارا بٞزیت ٗیا یىی٘بىٔ ربتفر ٖداد ٖبط٘

دیلک ناگشاي : داسآ تبضبؼترا ،

زیت ذٕٙفذٞ

زچیرداٛو ُیس٘ازفید ،هیزتىِاٚشیپ

، هیتسلاا زتسث .

Analysis vibrations of two-direction functionally graded beam with integrated piezoelectric layers on resting elastic foundation using differential quadrature

GH. Rahimi^1*, H. Toorani², M.S. Gazor²

1- Prof., Mech. Eng., Tarbiat modares Univ, Tehran, Iran 2- MSc. Student, Mech. Eng., Tarbiat Modares Univ., Tehran, Iran

* P.O.B. 14115143 Tehran, Iran. Rahimi_gh@modares.ac.ir

Abstract- In this paper a two dimensional elasticity for free vibrations and the effect of elastic foundantion on a two- direction functionally graded beams with integrated surface piezoelectric layers with combination of differential quadrature method and space-state method is presented here. Differential quadrature method in axial direction and space-state method in transverse direction is used. It’s considered that two parameters model or winkler-pasternak for elastic foundation which has been considered two kinds of boundary conditions include simply support and clamped- clamped. Also, It is assumed that beam properties in thickness and axial direction varying exponentially and poison factor is constant which has been considered the effects of materials properties gradient index and number waves on free vibrations beams. The obtained results show that this method has good accuracy and highspeed of convergence.

keywords: Differential Quadrature, Functionally Graded Beam, Piezoelectric Layers, Free Vibrations,ElasticFoundation.

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

1 - قم ٍمد

داٛٔ

ٝجرد تبیغٛػخ بث داٛٔ بی FGM

،یؼثبت ترٛغ ٝث یذٙث

زیغ داٛٔ

یٔ ٍٕٗٞ زیغ ٚ حٚزتٚشیا

ٟٓٔ .ذٙضبث تیغٛػخ ٗیزت

ٗیا داٛٔ ٗیا ا

بٟ٘آ ٜذٙٞد ُیىطت یاشجا ٝو تس یٔ

بث ذٙ٘اٛت

بٟ٘آ رد ظاٛخ ٝو یرٛق ٝث ،ذ٘ٛض ةبخت٘ا تٚبفتٔ تبیغٛػخ جح زسو سبسا زث ٚ ٝتسٛیپ ترٛغ ٝث یٕ

زییغت یٔ

ٛح٘ ٚ ذٙو

ٜ

ٌٖٛبٌ٘ٛ یبٞدزثربو یازث ةّٛكٔ ٚ ةبخت٘ا ُثبل ، زییغت ٗیا یٔ

ذضبث . بٟ٘آ دبیس یبٞدزثربو ثػبث داٛٔ ٗیا تیغٛػخ ٗیٕٞ

ٜذض تسا . بٞدزثربو ٗیا ّٕٝج سا یٔ

ٝٙیٔس ٝث ٖاٛت یبٞ

،ییبؿفاٛٞ

ٝتسٞ یىضشپ ٚ یتؼٙغ تلاآ ٗیضبٔ

ٚ ٚردٛخ ،یا

ا ٖآ ٝث ٝتسثاٚ غیبٙغ دزو ٜربض

= 1

<

داٛٔ تخبس یّغا ٜذیا .

َبس ٝث ذٕٙفذٞ

1984 یٔ سبث یٙپاص .ددزٌ

یدازفا ٗیِٚا بٞ

ذٙتخبس ار داٛٔ ٗیا ٝو ذ٘دٛث

، ٗتخبس َٛغطٔ ٝو ی٘بٔس بٟ٘آ

ٜدبٔ ٝث سبی٘ ذ٘دٛث ییبؿف ٝٙیفس رد ذ٘اٛتث ٝو ذ٘دزو اذیپ یا

ٜدبٔ ٗیا ٗیٙچٕٞ ٚ ٜدٛث یثٛخ كیبػ لابث یبٞبٔد زثازث یٔ

ث شٛج تیّثبل تسیب ٝتضاد شی٘ ار لابث ْبىحتسا ٚ شّف بث یربو

ذضبث

= 2 .<

هیزتىِا ٚشیپ داٛٔ

رد ٝو ی٘بٔس ٝو ذٙتسٞ یداٛٔ

فیازض صٙت رازل ربطف ٚ یٔ

،ذ٘زیٌ

یىیزتىِا ٖاذیٔ

ذیِٛت

یٔ

زثا ٗیا ٝو بج٘آ سا .ذٙٙو تِبح

تطٌزث یزیذپ دراد یبمِا ،

یىیزتىِا ٖاذیٔ

،داٛٔ ٗیا رد صٙت

َٛق رد ار

ٜسبس دبجیا

ٜدبفتسا بث ٚ تسبٙٔ یحازق بث ییبٞربتخبس ٗیازثبٙث .دزو ذٞاٛخ داٛٔ ٗیا سا یٔ

هی دبجیا ترٛغ رد ذٙ٘اٛت یىیزتىِا ٖاذیٔ

،ٓخ ،

ؽجمٙٔ بی ٚ فسجٙٔ

ٛض .ذ٘

ٜدزتسٌ رٛق ٝث هیزتىِاٚشیپ داٛٔ

ٓتسیس رد ٝث ذٕٙضٛٞ یبٞربتخبس ٚ یىی٘بىٔ ٚ یىیزتىِا یبٞ

ٙس ٖاٛٙػ نزحٔ ٚ بٞرٛس یٔ ٜدزث ربو ٝث بٞ

]ذ٘ٛض [3 .

َبس رد 1996

یازث كیلد هیتسلااٚزتىِا ُیّحت هی

قرٚ

ٝیىت بث هیزتىِاٚشیپ یبٞ

بؿف شٚر بث ٜدبس ٜبٌ

ٝئارا تِبح

ذض 4] َبس رد هیِبٔ ٚ تزث .[ 1997

ُیس٘ازفید شٚر سا

شیِب٘آ یازث ذٕٙترذل هیٙىت هی ٖاٛٙػ ٝث زچیرداٛو تیسٛپٔبو

ٝیلا یبٞ

ذ٘دزو ٜدبفتسا یا 5]

. [ َبس رد 2009 شیِب٘آ

ٛٔزت تبضبؼترا -

ذٕٙفذٞ یچیٚذ٘بس زیت یىی٘بىٔ

زتسث یٚر

هیتسلاا و ُیس٘ازفید شٚر سا ٜدبفتسا بث

ٜذض حلاغا زچیرداٛ

ذض ٖبیث

= 6 .<

ٝس تبضبؼترا شیِب٘آ قرٚ یذؼث

بث ذٕٙفذٞ یبٞ

ٝیىت سا ٜدبفتسا بث هیتسلاا زتسث یٚر ٜدبس ٜبٌ

ٚ یزس شٚر

بسازث زچیرداٛو ُیس٘ازفید ذض ٝئارا ار ٝتیسیتسلاا یرٛئت س

= 7 .<

ٗیٙچٕٞ

زیت ٝتیسیتسلاا یذؼث ٚد یرٛئت سبسا زث هیتسلاا زتسث یٚر ذٕٙفذٞ

یبؿف شٚر سا ٜدبفتسا بث تِبح

ذض ٝئارا یطٕخ ٚ یضبؼترا ُیّحت

= 8 .<

ٝیلا بث ذٕٙفذٞ زیت یبٞ

ٛف یزس سا ٜدبفتسا بث هیزتىِاٚشیپ ؿف ٚ ٝیر

شیِب٘آ تِبحب

ذض ٝئارا ٝتیسیتسلااٛٔزت

= 9 .<

ُیس٘ازفید شٚر بث ِٝبمٔ ٗیا رد

بؿف یبٙجٔ زث زچیرداٛو شی٘ ٚ داسآ تبضبؼترا ُیّحت ٝث تِبح

زیثأت زیت هی رد هیتسلاا زتسث یضزث ٝیلا ٚ زّىٙیٚ تیازؾ

ذٕٙفذٞ

ٝتٟجٚد

ٝیلا بث یبٞ

یسزٔ فیازض ٚد بث هیزتىِاٚشیپ

ٜدبس - رادزیٌ ٚ ٜدبس -

ٜدبفتسا یازث .تسا ٜذض ٝتخادزپ رادزیٌ

ٝث ار زیت یِٛق یبتسار زچیرداٛو ُیس٘ازفید هیٙىت سا ٝكم٘N

ُٔبض تِبح زیغتٔ ربٟچ زیت ٝكم٘ زٞ یازث ٚ ٜدزو ٓیسمت ( ییبجثبج w

صٙت ،)u, ( بٞ

xz z 

 ^,

ٝیلا یازث ٚ ،) یبٞ

یىیزتىِا ُیس٘بتپ زیغتٔ ٚد بٟ٘آ زث ٜٚلاػ هیزتىِاٚشیپ

( ٚ )

( یىیزتىِا ییبجثبج

D_z

.تسا ٝتفبی ظبػتخا ،) زظ٘ رد بث

ازض ٗتفزٌ

ی ف سزٔ

ی د شٚر سا ٜدبفتسا ٚ ی

س٘ازف ی

ُ رداٛو ی

،زچ سا

ِٚا ٓوبح تلادبؼٔ

ی

ٝ بؿف تلادبؼٔ

ٝتسسٌ تِبح سبس

ی ٜذض

ُح بث ٚ ذض جازختسا ای

ٗ ازض َبٕػا ٚ تِبح تلادبؼٔ

ی ف رد

حكس بپ ٚ لابث یی

ٗ زیت ، یسرزث بٞزیت ٗیا یىی٘بىٔ ربتفر

ٜذض

تسا .

-2 مکاح تلاداعم

2 - 1 - دىمفدَ ریت یارب

ی ه ت ی ز ذٕٙفذٞ

ٝتٟجٚد

ٝیلا رد ذیمٔ

یبٞ

زث هیزتىِاٚشیپ

ٚر ی زتسث تسلاا ی ه رد ی ه تربود ٜبٍتسد ی

ٚد ذؼث ی ( , )x z ،

ُىض رد 1

ٜذض ٜداد ٖبط٘

،

ٔ ؼزف ی دٛض ت ظاٛخ ٝو ی

ز رد

بتسار ی تٔبخؾ ث یِٛق ٚ

ییبٕ٘ ترٛغ ٝ

ٝكثار كجق (

1 )

غت یی ز

ٔ ی .ذٙو

1 2

z x

h l

p pe^{ } )1(

ٝو

1

ٚ

2

عخبض داٛٔ ظاٛخ ٖبیدازٌ

رد تهیتزت ٝهث

یِٛق ٚ تٔبخؾ یبتسار یٔ

ضبث

ٙ .ذ

ٜذٙٙو هیزحت

فذٞ زیت

ذٙٔ رٛسٙس رٛسٙسرٛسٙس

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

60

سردم کیناکم يسدنهم

رذآ 9312 ، ۀرود 93 ۀرامش 1

لکش 1 فذٞ زیت هی ٝسذٙٞ

ذٕٙ

ٝیلارد ذیمٔ

یبٞ

زث هیزتىِاٚشیپ

زتسث یٚر هیتسلاا

ٚزی٘ ٗتفزٌ زظ٘ رد ٖٚذث جح یبٞ

یٕ

ح تلادبؼٔ

توز ار

یٔ

ٖاٛت

ٝث ترٛغ

ٝكثار ( ی 2 .تضٛ٘ )

2 2

x xz u

x z t

  

  

 

   ,

2 2

xz z w

x z t

  

  

 

   ) 2(

ٖآ رد ٝو

x, z

صٙت   ،یرٛهحٔ یبهٞ

xz

،یهضزث صٙهت

,

ٝثبج u w ییبج یىی٘بىٔ یبٞ

ٚ یهؾزػ یبتهسار رد تیتزت ٝث

یرٛحٔ

،

ٍچ ٚ داٛٔ یِب یٔ ٖبٔس t

.ذٙضبث

ثبج بث ص٘زو ـبجترا یىی٘بىٔ ییبج

یٔ ار ٖاٛت

ٝث ترٛغ ٝكثار

( 3 .دٕٛ٘ ٖبیث )

x

u

 ^x

 , _z ^w

 ^z

 , _xz ^{w u}

x z

 ^ ^

  , ) 3( ٖآ رد ٝو , ,

x z xz

  

ٔ ؤ

ٝفِ

یبٞ

ص٘زو یٔ

.ذٙضبث

ٜدبهس یسزهٔ ـزض عٛ٘ ٚد ِٝبمٔ ٗیا رد -

رادزهیٌ ٚ ٜدبهس -

رادزیٌ

c c ٜذهض حزكٔ ، .تهسا

سزهٔ فیازهض ٚ یىی٘بهىٔ ی

( فثاٚر ترٛغ ٝث یىیزتىِا 4

( ٚ ) 5 ) :تسا ٜذض ؼزف

S S : w ^0,x ^0,⁰ رد x 0,l )4( cc: u0,w 0,0 رد x 0,l )5(

 ٝو یٔ یىیزتىِا ُیس٘بتپ ٚ .ذضبث

زیغتٔ هیىفت یازث

ٖبىٔ یبٞزیغتٔ سا ،t ( ٝكثار سا

6 ) .تسا ٜذض ٝتفزٌ زظ٘ رد

, یازث u w

( , , ) ˆ( , ) ^{i t} f x z t f x z e ^

, ,

x z xz

   یازث

1 2

( , , ) ˆ( , )

z x

i t h l

f x z t f x z e ^e^{ }

( 6 ) بٟ٘آ رد ٝو 1

i  

 ، یٔ زیت یؼیجق س٘بوزف .ذضبث

2 - 1 - 1 - رچیرداًک لیسوارفید

ُمتسٔ زیغتٔ ٝث تلادبؼٔ یٍتسث ٖدزث ٗیث سا یازث x

ٝتسسٌ زچیرداٛو ُیس٘ازفید شٚر هٕو ٝث تلادبؼٔ

یسبس

.تسا ٜذض ٝجتزٔ یئشج تبمتطٔ شٚر ٗیا رد

غثبت هی n

ٝتسٛیپ



^,



f x z ٝث تجس٘

ٝكم٘ رد x xi

ترٛغ ٝث

رد ٖسٚ غثبت زیدبمٔ یكخ عٕٛجٔ

ترٛغ ٝث ٜسبث ـبم٘ ٕٝٞ

( ٝكثار 7 یٔ ٖبیث ) :دٛض

( ) 1

( , )

( , )

n N

i n

ij j

n j

f x z

g f x z

x _

 





^{i 1,...,N n, 1,...,N 1} ) 7(

ٖآ رد ٝو

ٕٝ٘ٛ٘ ـبم٘ داذؼت N ٚ یزیٌ

( )n

gij

یه٘سٚ تیازؾ ٝث ٝتسثاٚ

xi

یٔ

ضبث ( ٝهكثار سا ٖآ زیدبمٔ ٝو .ذٙ

8 ) ٝهث تهسد

یٔ

ذیآ 10] .[

(1) ( )

, , 1,..., ( )

( )

i ij

i j

g M x i j N i j

x x

  



( 8

(1) (1) )

, 1,

( ) ( ),

N N

i i j ii ij

j i j j i i j

M x x x g g

 

 





  



ِٝدبؼٔ ٖدزو تیوزت بث صٙت

- یذؼثٚد زیت ص٘زو ٚ

ِٝدبؼٔ

( 3 )

ٚ بث یث فثاٚر سا ٜدبفتسا ( ذؼث

تسٛیپ صخث تلادبؼٔ )فِا

ٝث ترٛغ ( 9 ( ،) 10 ( ٚ ) 11 )

ٝث تسد یٔ

.ذیآ

( 9

11 33 )

f x

h u w

c c

L x z

  ^  ^

 

( 10

13 33 )

f z

h u w

c c

L x z

  ^  ^

 

( 11 )

f xz

h

u w

z L x

 ^  ^

 

ٝث یث بث تیتزت ٗیٕٞ

ذؼث

ٖدزو ( توزح تلادبؼٔ

2 )

( فثاٚر 12 ( ٚ ) 13 )

ٝث تسد یٔ

.ذیآ

( )12

2

2 1

f x xz f

x xz

h h

L x z L u

      

 

    

 

( 13 )

2

2 1

f xz z f

xz z

h h

L x z L w

      

     

 

ازفید شٚر َبٕػا سا ذؼث فثاٚر ٝو زچیرداٛو ُیس٘

ٝث ترٛغ

( 14 ( ،) 15 ( ٚ ) 16 ) .ذض ذٞاٛخ

( 14

(1) )

11 13

1

, 1,...,

i

N

f i

x ik k

k

h dw

c g u c i N

L dz









 

( 15

(1) )

13 33

1

, 1,...,

i

f N i

z ik k

k

h dw

c g u c i N

L dz









 

( 16

(1) )

.

1

, 1,...,

f N i

xz i ik k

k

du h

g w i N

dz L





 





2 - 1 - 2 - تلاداعم دىمفدَ ریت تلاحاضف

( تلادبؼٔ سا ٜدبفتسا بث 14

- 16 ) شٚر َبٕػا ٚ یٚر DQ

یث توزح تلادبؼٔ

( ٜذض ذؼث 12

( ٚ ) 13 ٝث تِبحبؿف تلادبؼٔ )

( ٝكثار ترٛغ 17

)

ٝث تسد یٔ

:ذیآ

( 17 )

( ) _f ( )

d z G z

dz   

:ٖآ رد ٝو

 

z

    

zi ui wi xzi ^T

    

Gf

یٔ تثبث تیازؾ سیزتبٔ

ٝو ،ذضبث تِبح زٞ یازث

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

ٝیىت یٔ تسد ٝث یٞبٌ

.ذیآ ( تسٛیپ ة صخث .)

( ِٝدبؼٔ

17 ) ُیس٘ازفید ِٝدبؼٔ هی ُح ٚ ٜدٛث َٚا ٝجتزٔ

ٖآ

ٝث ترٛغ ( 18 ) یٔ

ذضبث .

( 0)

( )z e^{Gf z z} ( )z0

  ^  )18( بج٘آ سا ٝو

o p

z h ، ذٕٙفذٞ زیت یازث سپ رد ٝتٟجٚد

تٔبخؾ یبتسار ( ٝكثار

19 .تسا ٜذض ٝتضٛ٘ ) ( ) ^{G zf G hf p} ( )

f z e e f hp hp z hp hf

  ^     )19(

2 - 2 -

ٍیلا کیرتکلايسیپ

ههیزتىِاٚشیپ ٝیلا ٗیا یازث ٜذٙٞد ُیىطت تلادبؼٔ

ٝهث ترٛهغ

( ٝكثار 20 .تسا ٜذض ٝتفزٌ زظ٘ رد )

T ,

C e E D e kE

     )20( :ٖآ رد ٝو



x^, z^, xz



^T

     , E



E Ex^, z



^T



x^, z^, xz



^T

     , D



D Dx^, z



^T

11 13

13 33

55

0 0

0 0

C C

C C C

C

 

 

  

 

 

, ⁵

1 3

0 0

0 e e

e e

 

  

 

1 3

0 0 k k

k

 

  

 

 

T ٜدبٟ٘ازت e ٚ e

Cij

،ٜدبٔ هیتسلاا یتفس تیازؾ

ei

ٚ هیزتىِاٚشیپ یتفس تیازؾ Ki

ید تیازؾ هیزتىِا

Ei

یىیزتىِا ٖاذیٔ رادزث یٔ

.ذٙضبث َٚذج رد 1

ظاٛخ سا یؿؼث

.تسا ٜذض ٜدرٚآ ليدج

1 هیزتىِاٚشیپ داٛٔ ظاٛخ

BaTiO₃ PZT-4

1660 139 ^(GPa)

C₁₃ 780 74

C33 1620 115

C55 430 25/6

e1 -4/4 -5/2 (C/m²) C₁₁ e₃ 18/6 15/1

e₅ 11/6 12/7

K1 112 6/5 ^(nF/m)

K3 126 5/6

5700 7500 (kg/m )²

هیزتىِاٚشیپ ٝیلا ٝث ـٛثزٔ یسبسا تلادبؼٔ تیوزت بث َبح ( 20 ص٘زو فثاٚر ٚ ) -

( ییبجثبج 3

یىیزتىِا ٖاذیٔ ٚ ) -

ُیس٘بتپ ح ٚ تلادبؼٔ سا ٜدبفتسا بث ٖبٔس فذ یث ٚ

ٖدزو ذؼث

ٚ تلادبؼٔ

یس٘ازفید شٚر َبٕػا ( فثاٚر زچیرداٛو ُ

21 ( ،) 22 ،)

( 23 ( ،) 24 ( ٚ ) 25 )

ٝث تسد .تسا ٜذٔآ

(1)

11 13 1

1

i

N

i i

x ik k

k

dw d

hc g u c e

L dz dz

 







  ⁾²¹⁽

(1)

13 33 3

1

i

N

i i

z ik k

k

dw d

c h g u c e

L dz dz

 







  ⁾²²⁽

(1) (1)

. 5

1 1

N N

i

xz i ik k ik k

k k

du h h

g w e g

dz L L

 

 

 







)23(

(1) (1)

. 5

1 1

N N

i

x i ik k ik k

k k

du h h

D e g w g

dz L L 

 

 







)24(

(1)

. 1 3 3

1 N

i i

z i ik k

k

dw d

D e h g u e k

L dz dz









  )25(

زچیرداٛو ُیس٘ازفید شٚر َبٕػا بث َبح (DQ )

یٚر زث

ٌ ٚ توزح تلادبؼٔ

ب یث سٚ

بؿف تلادبؼٔ ٜذض ذؼث ی

ار تِبح

ٝث ترٛغ ( ٝكثار 26 )

ٝث تسد .تسا ٜذض ٜدرٚآ

( ) ( )

p p p

d z G z

dz    )26(

ٖآ رد ٝو :

 

z

    

zi u wi i xzi Dzi

 

i ^T

     

  

_zi  _z1...._zN



^T,

  

u_i  u1....u_N



^T

p تثبث تیازؾ سیزتبٔ G تسا

هیزتىِاٚشیپ داٛٔ یازث ٝو

لابث حكس یٔ ٗییبپ ٚ

( ذضبث تٚبفتٔ ذ٘اٛت تسٛیپ

ة صخث .)

ٕٛػ ُح یٔ

لابث ِٝدبؼٔ

ٝث ٝكثار ترٛغ (

27 ) یٔ

.ذضبث

( 27 ) ( )z e^{G zs} (0) at 0 Z h_p

    

( )

( )z e^{G za} e ^{Gahp hf} at h_p h_f Z h

  ^ ^{  }    )28( هیزحت لابث سا تیتزت ٝث ٝو حٛكس ٗیث ـبجترا َبح ،ٜذٙٙو

ترٛغ ٝث رٛسٙس ٚ ذٕٙفذٞ زیت

ٝكثار ( 29 ) یٔ

.ذضبث

( )h M^a (h_p h_f )

    )29( (h_p h_f ) M^f (h_p)

    )30( (h_p h_f) M^s (h_p)

    )31(

(h_p) M^a (0)

   )32( رد ٝو ( فثاٚر 30 ( ،) 31 ( ٚ ) 32 .تسا ٜذض ٜداد زیدبمٔ )

 

a exp

a p

M  G h

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

62

سردم کیناکم يسدنهم

رذآ 9312 ، ۀرود 93 ۀرامش 1

 

f exp

f f

M  G h

 

s exp

s p

M  G h

3 -

ًمع لیدبت سیرتام یم

یزرم طیارش ي

ِٝدبؼٔ سا (

30 ـزض ٚ ) ( )h (h_p h_f ) 0

    سا

زكس

ٓطض ( راذمٔ

33 )

ٝث تسد یٔ

یآ .ذ

( 33 )



⁶



65

( ) 1 ( )

1,..., 4, 1,..., 6

a m

z p f a j p f

D h h m h h

m

j k



 

     

 

یٔ سپ تِبح یبٞزیغتٔ ـبجترا ٖاٛت هیزحت حٛكس رد

ار ٜذٙٙو

ٝث ترٛغ ( 34 .تضٛ٘ )

( ) ( )

m a m

p f

h Z h h

   

 

^{5 6}

65

1 , , 1,..., 4

a a a a

ij a i j

Z m m m i j

m

 

   

    

 

      

^T

m

zi i i xzi

z u w

     )34(

ِٝدبؼٔ سا ٜدبفتسا بث (

32 یٔ ) ٖاٛت

ٛكس ـبجترا ٚ لابث ح

( ترٛغ ٝث رٛسٙس ٗییبپ 35

) .تضٛ٘

( ) (0)

m s m

hs Z

  

 

^{5 6}

66

1 , , 1,..., 4

s s s s

ij s i j

Z m m m i j

m

 

   

     )35( زیت ،ٜذٙٙو هیزحت یازث تِبح یبٞزیغتٔ ٝو بج٘آ سا

ذض ٝتسٛیپ ٚ ٖبسىی رٛسٙس ٚ ذٕٙفذٞ

، یٔ

سا ٜدبفتسا بث ٖاٛت

كس ـبجترا لابث فثاٚر ار زیت ٗییبپ ٚ لابث حٛ

ٝث ترٛغ ِٝدبؼٔ

( 36 ) تضٛ٘

. ( )h S (0)

   , SZ M Z^{a f s} )36(

4 - کیتسلاا رتسب یير ریت

زتسث یازث

ٚد َذٔ هیتسلاا نب٘زتسپ بی یزتٔاربپ

- زّىٙیٚ

رد

ذض ٝتفزٌ زظ٘

8] .[ زتسث ٖدادرازل بث زیت ٗیزیس حكس رد

0 ار صٙت راذمٔ z

ٝث ٝكثار ترٛغ (

37 یٔ ُغبح ) .دٛض

( 37 )

2

z w g 2

k w k w

   ^x



یث بث َبح

ٝكثار ٖدزو ذؼث (

37 ) شٚر َبٕػا ٚ ِٝدبؼٔDQ

( 38 )

ٝث تسد یٔ

.ذیآ

( 38 )

(2)

. 2

55 55

, ^{w g} 1,...,

z i i N ij

k h k h

Kw K I g i j N

c c L

     

ٝو Kw

ٚ زّىٙیٚ تیزؾ Kg

یزؾ یضزث ٝیلا هیتسلاا ت یٔ

ُىض .ذضبث یث

یث زتٔاربپ ٚ تیازؾ ٗیا ذؼث س٘بوزف ذؼث

( ترٛغ ٝث یؼیجق 39

) .تسا ٜذض ٝتفزٌ زظ٘ رد

4 2

, ^g, /

w

w g

L k L k

k k L h D

D D  

   

( 39 )

3 55

12(1 2) D c h

 



َبٕػا بث زتسث ٚ لابث رد صٙت فیازض ،زیت ٗییبپ رد هیتسلاا

( ِٝدبؼٔ یٚر زث 18

) ( ِٝدبؼٔ

40 یٔ ُغبح )

ٛض .د

( 40 )

   

   

   

   

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44 0

0

0 0

z h z

s s s s kw

u s s s s u

w s s s s w

s s s s

 

    

    

    

    

    

    

   

ْربٟچ ٚ َٚا یبٞزكس سا ( ٜبٍتسد

40 ( ِٝدبؼٔ ) 41

)

ٝث تسد

یٔ

.ذیآ ( 41 )

12 11 13

42 41 43

0 0

s ks s u

s ks s w

      

   

     

 

َبح بث تیازؾ سیزتبٔ ٖبٙیٔزتد ٖداد رازل زفغ یٚبسٔ

لابث ٝكثار

، یبٞزتٔاربپ یؼیجق س٘بوزف

یث

 ذؼث

ٝث تسد یٔ

.ذیآ

5 -

ٍسیاقم ي یددع جیاتو اَ

یازث

ٝث تسد تٟج رد ٕٝ٘ٛ٘ ـبم٘ ،یدذػ جیبت٘ ٖدرٚآ سا x

فطیپچ شٚر ٜدبفتسا

یٔ

دٛض

= 5 .<

( 42 ( 1) )

1 cos

2 1

i

L i

x N



  

    

بث ٜذض ٝئارا شٚر تلد ٚ ییازٍٕٞ اذتثا

ٝث تسد ٖدرٚآ

یث س٘بوزف ٜد ٗیِٚا ذؼث

/ 55

h c

   ذٕٙفذٞ زیت هی

هیتسلاا زتسث ٖٚذث تِبح رد ظاٛخ بث

11_o 139GPa c 

،

13_o 14GPa c  ،

33_o 336.4GPa c 

،

55_o 162.5GPa c 

،

o 7500

 

ٚ

ٜدبٔ ٖبیدازٌ عخبض

1 0.5

 

ٚ

2 0

 

دبؼثا 1 hf

،=

=15

ٚ L

=7 فیازض تِبح رد L یسزٔ

ٜدبس

ٚ ،ٜذض یٞدربجتػا

ٝسیبمٔ

جیبت٘ بث ،جیبت٘ ٗیا

ً٘بی یج

= 8 ٚ <

ٗچ ٚ ِٛ

= 11 <

رد َٚذج 2 یازث 14 N= یٔ ٖبط٘

ٗیا ٝو ذٞد

ییازٍٕٞ تػزس سا شٚر .تسا رادرٛخزث یثٛخ تلد ٚ

َٚذج رد یبٞ

3 ٚ 4 س٘بوزف یث یؼیجق یبٞ

زیت ذؼث

یاسا ٝث ٝتٟج ٚد ذٕٙفذٞ

1 0.5

  یازث فّتخٔ زیدبمٔ ٚ

2

ٜدبس فیازض یازث تیتزت ٝث َٛق ٝث تٔبخؾ تجس٘ ٚ -

رادزیٌ ٚ ٜدبس -

.تسا ٜذض ٜدرٚآ رادزیٌ

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

ليدج 2

ٜدبس فیازض یازث یجٙسربجتػا َٚذج -

(ٜدبس 14 )N=

l/h=7 ^l/h=15 ٜربٕض

ً٘بی

= 8

< <11=ٗچ ٚ ِٛ <8=ً٘بی <11=ٗچ ٚ ِٛ زؾبح ذٔ

052247 /

0 0/052471 0/01157 0/011573 0/0116 1

20073 /

0 0/200728 0/0458 0/045802 0/0458 2

4142 /

0 0/414204 0/10132 0/10132 0/1013 3

42382 /

0 0/42381 0/17613 0/176131 0/1761 4

70002 /

0 0/70002 0/1933 0/193292 0/1933 5

82837 /

0 0/82837 0/26792 0/267917 0/2678 6

01246 /

1 1/012418 0/37431 0/374299 0/3734 7

242446 /

1 1/242455 0/38659 0/386591 0/3867 8

34946 /

1 1/34937 0/49308 0/493424 0/5009 9

6564 /

1 1/656398 0/57988 0/579877 0/5800 10

ليدج 3 یاسا ٝث زیت یؼیجق س٘بوزف تازییغت 5

/ 0

;

1

یازث فّتخٔ زیدبمٔ ٚ

2

تجس٘ ٚ /

ٜدبس فیازض یازث h l -

ٜدبس

5 ₄ ₃ ₂ ₁ ₂ h_f/l 244

/

0 0/2304 0/2201 0/1014 0/026 0/5 0/1 251

/

0 0/2436 0/2204 0/1017 0/0262 1 265

/

0 0/2543 0/2215 0/1028 0/027 2 363

/

0 0/2806 0/2294 0/1101 0/0313 5 394

/

0 0/3096 0/2542 0/1304 0/0409 10 660

/

0 0/5493 0/4818 0/3744 0/1016 0/5 0/2 663

/

0 0/5603 0/5073 0/3754 0/1023 1 668

/

0 0/5842 0/5286 0/3794 0/1052 2 14

/

1 0/7908 0/5712 0/4053 0/1218 5 32

/

1 0/869 0/6534 0/4764 0/1571 10

ليدج 4 یاسا ٝث زیت یؼیجق س٘بوزف تازییغت 5

/ 0

;

1

یازث فّتخٔ زیدبمٔ ٚ

2

تجس٘ ٚ /

رادزیٌ فیازض یازث h l

5 ₄ ₃ ₂ ₁ _{2 hf/l} 2762

/

0 0/2623 0/2577 0/1374 0/0507 0 /5 0/1 2838

/

0 0/2626 0/2581 0/1377 0/0509 1 2962

/

0 0/264 0/2679 0/1388 0/052 2 4267

/

0 0/3185 0/2738 0/1461 0/0587 5 443

/

0 0/3295 0/3091 0/1663 0/0761 10 8362

/

0 0/5524 0/5154 0/4886 0/1716 0/5 0/2 8369

/

0 0/5675 0/5426 0/4901 0/1725 1 8396

/

0 0/5923 0/5659 0/5256 0/176 2 364

/

1 0/8579 0/6369 0/5344 0/1977 5 425

/

1 0/9137 0/6586 0/6494 0/2541 10

یٔ ٜذٞبطٔ

راذمٔ صیاشفا بث ٝو دٛض

2

ٝث تٔبخؾ تجس٘ ٚ یث یؼیجق س٘بوزف َٛق

یٔ صیاشفا ذؼث تخس زث تِلاد ٝو ذثبی

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]