تحلیل ارتعاش آزاد پوسته استوانه ای مدرج تابعی دوبعدی روی بستر الاستیک

لماک یشهوژپ هلاقم ت رد خیرا ی تفا 22 / 7 / 91

ذپ خیرات ی شز 21 / 9 / 91

اس رد هئارا ی ت 33 / 2 /

92 33-27 صص5 هرامش13 هرود ،1392 دادزم

هناوتسا هتسوپ دازآ شاعترا لیلحت یا

یدعبود یعبات جردم یور

رتسب

کیتسلاا

یمیهاربا داوجدمحم ،1

دمحم یفجن یدهم

2هداز

*

1 - سقضا یؾبٙقضبو یٛدك٘از ،

هی٘بىٔ یؾسٟٙٔ

، یٔلاؾا زاظآ ٜبٍك٘از ناضا ،ناضا سحاٚ

2 - ٜبٍك٘از ،هی٘بىٔ یؾسٟٙٔ ضبیك٘از ناضا سحاٚ یٔلاؾا زاظآ

، ناضا

* ا ناض ، یتؿپ قٚسٙص 567

/ 38135

، m-najafizadeh@iau-arak.ac.ir

هدیکچ - كیمحت ٗیا ضز

،

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ ضبتفض

ٝتؾٛپ هیؾلاو یضٛئت ؼبؾا طث هیتؾلاا طتؿث یٚض طث یسؼث ٚز یؼثبت جضسٔ یا ضاطل یؾضطث زضٛٔ بٞ

ٝتفطٌ

َسٔ یاطث .تؾا یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ یظبؾ

یسؼثٚز یىی٘بىٔٚطىیٔ َسٔ ظا

ٛٔ

یض - بوب٘بت .تؾا ٜسق ٜزبفتؾا توطح تلازبؼٔ

یظطٔ طیزبمٔ ٚ

ٝث

ٝث یؾضطث ٗیا ضز ٜسٔآ تؾز

ٓیٕؼت ـٚض هٕو غثطٔ ٝتفبی

ٜسق ُح َاطٍت٘ا ٚ كتكٔ یظبؾ

ٗیٙچٕٞ .س٘ا

،

ٝث حیبت٘ تحص یؾضطث یاطث ضز ٜسٔآ تؾز

ٝث حیبت٘ ،كیمحت ٗیا ٝؿیبمٔ ٝتقصٌ یبٞضبو ظا ُصبح حیبت٘ بث ٜسٔآ تؾز

ٜسق

ٝث حیبت٘ .س٘ا یٔ ٖبك٘ ٜسٔآ تؾز

ٝو سٙٞز جضسٔ ٜزبٔ یؼیجع ؽ٘بوطف

ٚز یؼثبت هی یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ بث ٝؿیبمٔ ضز یسؼث يضعث طیزبمٔ ٖبؿٕٞ تبیصٛصذ بث یسؼث

ٗیٙچٕٞ .س٘ضاز یطت

، حٔ هیتؾلاا طتؿث ظا ٜزبفتؾا بث ی

ظ

یٔ ٓٞاطف ٖبىٔا ٗیا ٝتؾٛپ طث اظآ ـبؼتضا یؿ٘بوطف طیزبمٔ ٝو زٛق

.سثبی فیاعفا ٝتؾٛپ ز

دیلک :ناگژاو

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ ،زاظآ ـبؼتضا غثطٔ ـٚض ،یسؼثٚز یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ ،یا

َاطٍت٘ا ٚ كتكٔ یظبؾ

Free vibration of two-dimensional functionally graded circular cylindrical shells on elastic foundation

M. J. Ebrahimi¹, M. M. Najafizadeh^2*

1- MSc Student, Mech. Eng., Islamic Azad Univ., Arak Branch, Arak, Iran.

2- Assoc. Prof., Mech. Eng., Islamic Azad Univ., Arak Branch, Arak, Iran.

*P.O.B. 38135/567 Arak, m-najafizadeh@iau-arak.ac.ir

Abstract- In this paper, the free vibration of a two-dimensional functionally graded circular cylindrical shell is analyzed. To describe the material properties of the two-phased FGM material Mori-Tanaka micromechanical model is used. The spatial derivatives of the equations of motion and boundary conditions are discretized using the methods of generalized differential-Integral quadrature (GDIQ). To validate the results, comparisons are made with the solutions for FG cylindrical shells available in the literature. The results of this study show that the values of natural frequency of 2D FGMs are higher than those of 1D FGMs in parallel conditions. Furthermore, application of a confining elastic foundation increases the value of natural frequencies.

Keywords: Free Vibration, Cylindrical Shell, Two-dimensional FGM, GDIQ

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

1 - همدقم یؼثبت جضسٔ زاٛٔ

ضبتذبؾعیض بث یتیظٛپٔبو زاٛٔ 1

ٍٕٗٞب٘

یٔ

سٙقبث

ٝو

ٖآ یىی٘بىٔ لاٛذ ث بٞ

ٝ ٝتؾٛیپ ٚ ٓیلأ ضٛع

یٔ طییغت طٍیز حغؾ ٝث حغؾ هی ظا .سٙو

ٜػیٚ تیصبذ ٗیا

ٝث طییغت ّٝیؾٚ

ُیىكت زاٛٔ یٕدح تجؿ٘ ضز تذاٛٙىی ٜسٙٞز

ٖآ ث بٞ

ٝ ز یٔ تؾ یضبتذبؾعیض یبٞظبف .سیآ زاٛٔ

جضسٔ

یؼثبت

یسىی ٝث تجؿ٘ یتٚبفتٔ زطىّٕػ یاضاز زبدیا ثػبث ٚ سٙتؿٞ طٍ

سٙچ تیؼضٚ

ضز یضبتذبؾ زاٛٔ

جضسٔ

یؼثبت یٔ

طییغت بث .س٘ٛق

بٙتٔ

ُیىكت زاٛٔ یٕدح طؿو یدیضست ٚ ةٚ

ٜسٙٞز زاٛٔ

جضسٔ

یؼثبت بك٘ زٛذ ظا اض ٝتؾٛیپ ٜزبٔ هی تیصبذ زاٛٔ ٗیا ، ٖ

یٔ

ضاٛٔ ضز یؼثبت جضسٔ زاٛٔ .سٙٞز یبٞطٍؿح ٖٛچ یفّترٔ ز

یؼثبت جضسٔ

[ 1

َبؼف ،]

ٜسٙٙو [بٞ

2

ٜضظ ،]

یؼثبت جضسٔ یبٞ

[یعّف/یىیٔاطؾ 3

[یضٛ٘ یبٞطٍؿح ،]

4 یؼثبت جضسٔ تّٙپٕیا ٚ ]

[یىقعپ٘اس٘ز 5

یٔ ضاطل ٜزبفتؾا زضٛٔ ] زطثضبو ـطتؿٌ بث .س٘طیٌ

ٜظبؾ ضز زاٛٔ ٗیا حت ْبد٘ا ٝث ظبی٘ ،بٞ

ٖآ یٚض طث طتكیث تبمیم بٞ

.سق طتضبىقآ ٖبممحٔ یاطث [ف٘اضبىٕٞ ٚ یِٛ

6 ]،

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ ـبؼتضا ،یمیمحت ضز یا

ف٘طو ظثاٚض ظا ٜزبفتؾا بث اض یؼثبت جضسٔ

-

ٝثبخ یضٛئت ییبخ

یّیض ـٚض ؼبؾاطث ٚ ٚلا ٝتؾٛپ -

حیبت٘ .س٘زطو یؾضطث عتیض

ٖبك٘

ٝصركٔ ٝو تؾا ٖآ ٜسٙٞز ثأت تحت یؿ٘بوطف یبٞ

طی طؿو

اعخا یسٙثطىیپ ٚ یٕدح

ٝث كیمحت ٗیا .سٙتؿٞ

ٖبٞزاطپ ّٝیؾٚ

[ف٘اضبىٕٞ ٚ 7

طث ]

ٝث فّترٔ یظطٔ ظیاطق ضز ٝتؾٛپ یا تضٛص

ٜزطتؿٌ

ٝو زاز ٖبك٘ ٝؼِبغٔ ٗیا .تفطٌ ضاطل یؾضطث زضٛٔ یطت

ٝصركٔ

ٝتؾٛپ ٝثبكٔ یؼثبت جضسٔ ٝتؾٛپ یؿ٘بوطف یبٞ

ٝ٘اٛتؾا

ٞبكٔ ٗیٙچٕٞ .تؾا هیپٚطتٚعیا یا ٝو سق ٜس

ؽ٘بوطف ٚ اعخا یٕدح طؿو ٝث ٝتؿثاٚ ،ٝتؾٛپ یؼیجع یبٞ

یٔ یظطٔ ظیاطق [ف٘اضبىٕٞ ٚ ٜبق .سٙقبث

8 زاظآ ـبؼتضا ]

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ هی یؼثبت جضسٔ یا

اض هیتؾلاا طتؿث یٚض یسؼث

ٖآ .س٘زاز ضاطل یؾضطث زضٛٔ

بٞ

، توطح تلازبؼٔ ،زٛذ كیمحت ضز

بؾا طث ٚ جٛٔ ـٚض ظا ٜزبفتؾا بث اض

ٝتؾٛپ هیؾلاو یضٛئت ؼ بٞ

ٝث ٝو زاز ٖبك٘ كیمحت ٗیا ظا ُصبح حیبت٘ .س٘زضٚآ تؾز یؿ٘بوطف طیزبمٔ فیاعفا ثػبث هیتؾلاا طتؿث هی ظا ٜزبفتؾا

زاظآ ـبؼتضا

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ هی یؼثبت جضسٔ یا

یٔ یسؼث .زٛق

ف٘اضبىٕٞ ٚ سیطف [

9 ٓیرض یٙحٙٔ ُٙپ زاظآ ـبؼتضا ُیّحت ]

فیپ ثبت جضسٔ ٜسیٙت ؼ

ٚز هیتؾلاا طتؿث یٚض ی ٝو یطتٔاضبپ

1. Functionally Graded Materials

فتؾا بث ،تؾا یتضاطح ظیحٔ طیثأت تحت ٖٛیؾلاٛٔطف ظا ٜزب

ٝؾ ٝتیؿیتؾلاا

ٛٔ یسؼث

ٜزاز ضاطل یؾضطث زض

ٝث یاطث .س٘ا تؾز

غثطٔ ـٚض ظا ٓوبح تلازبؼٔ ٖزضٚآ

ٓیٕؼت كتكٔ یظبؾ

ٝتفبی

2

ٜزبفتؾا یؾبٕٔ ٚ یِٛع تٟخ ضز یتبثّثٔ غثاٛت ٚ تٔبرض ضز تؾا ٜسق یؾضطث زضٛٔ یؼثبت جضسٔ زاٛٔ یبٞطتٔاضبپ طیثأت ٚ

ٝتفطٌ ضاطل [ؼبی ٚ ی٘بحجؾ .س٘ا

10 ]،

ؼبؾا طث ٝو یمیمحت ضز

ٝؾ ٝتیؿیتؾلاا یضٛئت

ٝصركٔ ،تؾا ٜسق ْبد٘ا یسؼث یبٞ

ٝتؾٛپ زاظآ ـبؼتضا ٚ بتؿیا

ٝ٘اٛتؾا یبٞ

تیٛمت یؼثبت جضسٔ یا

فبیِا بث ٜسق

ٜزاز ضاطل یؾضطث زضٛٔ اضCGFR .س٘ا

ِٝبمٔ ٗیا ضز

،

طیغتٔ تیاطض بث ّٝپٛو یِٕٛؼٔ ُیؿ٘اطفیز تلازبؼٔ

فتؾا بث ظا ٜزب

غثطٔ ـٚض

ٓیٕؼت كتكٔ یظبؾ

ٜسق ُح ٝتفبی ُصبح حیبت٘ ٚ س٘ا

ٝث حیبت٘ بث كیمحت ٗیا ظا

ٝتؾٛپ ظا ٜسٔآ تؾز

ٝ٘اٛتؾا یبٞ

یا

ٝیلا تیظٛپٔبو

ٜسق ٝؿیبمٔ ٜزبؾ یا .س٘ا

یٔ

زبٔ هی ٝو زٕٛ٘ ٝخٛت تؿیبث ٜ

َٚاستٔ یؼثبت جضسٔ

،

ٜزضٚآطث ٝث ضزبل ٜضإٛٞ

ٗیا .زٛث سٞاٛر٘ یحاطع یبٞظبی٘ یظبؾ

تبؼغل ضز ٖبؿٕٞب٘ تضاطح ٚ فٙت غیظٛت زبدیا ظا یقب٘ طٔا تبٟخ ضز ٝو یزاٛٔ ظا ٜزبفتؾا .تؾا فّترٔ تبٟخ ضز ٜسیچیپ یتٚبفتٔ غیظٛت ،فّترٔ

ٜاض هی سٙقبث ٝتقاز اض بٞظبف ظا ُح

كئبف یاطث تؾبٙٔ

آ ـٚض .تؾا ُىكٔ ٗیا طث ٖسٔ

ٗیٛ٘ یبٞ

ٝؾ ٚ ٚز یؼثبت جضسٔ زاٛٔ تذبؾ ٖبىٔا ،سیِٛت طؿیٔ اض یسؼث

ٕ٘

ٜزٛ

زٛذ تبمیمحت ضز لاا تٕ٘ .س٘ا [

11

، 12 تاطثا یؾضطث ٝث ]

فٙت یسؼثٚز یؼثبت جضسٔ یّیغتؿٔ قضٚ یٚض طث یتضاطح یبٞ

زاٛٔ یطتطث طٍ٘بك٘ تبمیمحت ٗیا ظا ُصبح حیبت٘ .تؾا ٝتذازطپ سٔ

ٚز یؼثبت جض هی یؼثبت جضسٔ زاٛٔ ٝث تجؿ٘ یسؼث

یسؼث

یٔ

[ً٘اغ ٚ ی٘ .سٙقبث 13

یٚطیاز قضٚ فٕذ یمیمحت ضز ]

ؼثٚز یؼثبت جضسٔ یٛمّح ٚ ـٚض هی ظا ٜزبفتؾا بث اض یس

ٕٝی٘

دیت٘ ؼبؾا طث .س٘زاز ضاطل یؾضطث زضٛٔ یزسػ یّیّحت

ٝ

ٝث كیمحت ٗیا ضز ٜسٔآ تؾز

، دؾبپ

ٝث یبٞ

تؾز

ٝث ٜسٔآ هٕو

تٕو تبجؾبحٔ ٝث ظبی٘ ،ـٚض ٗیا ـٚض ٝث تجؿ٘ یط

ٖبِٕا یبٞ

[یطٍیز كیمحت ضز ٖبكیا .زضاز زٚسحٔ

14 ُیّحت یؾضطث ٝث ]

بث یٛمّح قضٚ یىیٔبٙیز

ٕٝی٘ ـٚض ظا ٜزبفتؾا یّیّحت

غثطٔ

طث كتكٔ یظبؾ

ٝتذازطپ تِبح بضف تؿح س٘ا

ٗیا ضز .

ٟخ ٚز ضز یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ تاطییغت ،كیمحت ٚ عبؼق ت

تٔبرض

ضز ٚز ٗیا ظا یىی بی ٚ ؽ٘بوطف ٚ تؾا ٜسق ٝتفطٌ طظ٘

یبٞ

زاٛٔ یاطث یقبؼتضا

ٝث تٚبفتٔ جضسٔ لاٛذ بث .تؾا ٜسٔآ تؾز

2. Generalized Differential Quadrature

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

[ف٘اضبىٕٞ ٚ ی٘بحجؾ 15

ٝثبخ یؾضطث ٝث ] ییبخ

یبٞ

یقب٘

ُٙپ تبقبؼتضا ظا یٙحٙٔ یبٞ

یسؼثٚز یؼثبت جضسٔ ُىق

تیٛمت ذازطپ فبیِا بث ٜسق

ٝت كیمحت ٗیا ضز .س٘ا

، ٝتیؿیتؾلاا ظا

ٝؾ ا توطح تلازبؼٔ ٖبیث یاطث یغذ یسؼث .تؾا ٜسق ٜزبفتؾ

ٝث توطح تلازبؼٔ

ـٚض ظا ٜزبفتؾا بث كیمحت ٗیا ضز ٜسٔآ تؾز

غثطٔ

ُح ٝتفبی ٓیٕؼت كتكٔ یظبؾ

ٝث ٚ

ٝثبخ تضٛص ییبخ

یبٞ

ٜسق ٖبیث َازٛٔ

[یتیاسٞ ٚ ی٘بحجؾ .س٘ا 16

یطٍیز ِٝبمٔ ضز ]

بپ

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ هی زاظآ ـبؼتضا ٚ بتؿیا دؾ یؼثبت جضسٔ یا

ٚز

ٝؾ یضٛئت ؼبؾاطث اض یسؼث .س٘زطو یؾضطث ٝتؿیتؾلاا یسؼث

كیمحت ٗیا ضز

،

ٓیٕؼت ـٚض ظا ٜزبفتؾا بث غثطٔ ٝتفبی

یظبؾ

كتكٔ

، ٝتؾٛپ توطح تلازبؼٔ ،تؾا كیلز یزسػ ـٚض هی ٝو

ٜسق ُیّحت یظطٔ ظیاطق ٚ .س٘ا

ِٝبمٔ ٗیا ضز

، ضا

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ زاظآ ـبؼت یؼثبت جضسٔ یا

هیؾلاو یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث هیتؾلاا طتؿث یٚض یسؼثٚز .تؾا ٝتفطٌ ضاطل یؾضطث زضٛٔ ٚلا ٝتؾٛپ ٗیا یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ

ٝث ٝتؾٛپ ٝو تؾا ٜسق ٝتفطٌ طظ٘ضز ظبف ٚز ظا یجیوطت تضٛص

ظبف ٚز ٗیا یٕدح طؿو غیظٛت ی٘اٛت ٖٛ٘بل هی ظا ٜزبفتؾا بث

ٝث یٔ تؾز .سیآ

یؾضطث ٗیا ضز

، یضٛٔ یىی٘بىٔٚطىیٔ َسٔ ظا -

.تؾا ٜسق ٜزبفتؾا ٜزبٔ ٝصركٔ فیصٛت یاطث بوب٘بت تلازبؼٔ

ٖآ یظطٔ ظیاطق ٚ توطح ،بٞ

ٗیتؿر٘ یاطث ضبث

ظا ٜزبفتؾا بث

ـٚض یجیوطت غثطٔ

ٓیٕؼت َاطٍت٘ا ٚ كتكٔ یظبؾ

ٝتفبی

1

ٝتؿؿٌ

ٜسق ُح ٚ ٜسق یظبؾ یتطت ٗیا ٝث ٚ س٘ا

طیزبمٔ ،ت

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ زاظآ ـبؼتضا یؿ٘بوطف

ٝث یؼثبت جضسٔ یا تؾز

ٜسٔآ .س٘ا زاظآ ـبؼتضا طث هیتؾلاا طتؿث زٛخٚ طثا ٗیٙچٕٞ

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ .تؾا ٝتفطٌ ضاطل یؾضطث زضٛٔ یؼثبت جضسٔ یا

2 - یدعبود یعبات جردم هدام یمجح رسک نوناق

ٝث یؼثبت جضسٔ ٜزبٔ ،كیمحت ٗیا ضز جیوطت تضٛص

ظبف ٚز ظا ی

یٕدح طؿو ِٝزبؼٔ ،تیتطت ٗیا ٝث .تؾا ٜسق ٝتفطٌ طظ٘ضز اض یٕدح طؿو .سیبٕ٘ ٖبیث اض ٜزبٔ ضز ظبف ٚز غیظٛت یتؿیبث یٔ

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ یاطث طیظ فیطؼت ظا ٜزبفتؾا بث ٖاٛت جضسٔ یا

:زٕٛ٘ فیطؼت یسؼثٚز یؼثبت ( 1 1 )

2

z x

n n

f

z x

V h L

   

      

1. Generalized differential-Integral quadrature

ٖآ ضز ٝو nz

ٖٛ٘بل یبٕ٘

تٟخ ضز ی٘اٛت ٚ z

nx

ٖٛ٘بل یبٕ٘

تٟخ ضز ی٘اٛت یٔ بٕ٘ ٚز طٞ ضاسمٔ .تؾا x

ٚ طفص ٗیث س٘اٛت

یث طییغت تیبٟ٘

و



⁰n nx^, z  



سٙ

. ـطث یبٕ٘

ٜزضٛذ یا ظا

ٝتؾٛپ

ٝ٘اٛتؾا یا جضسٔ

یؼثبت یسؼثٚز ضز

ُىق 1

ٜسٞبكٔ

یٔ

.زٛق

ٗییؼت یاطث یىی٘بىٔٚطىیٔ َسٔ یزاسؼت

ٝصركٔ

بٞ

زاٛٔ ی

.تؾا ٜسق زبٟٙكیپ یؼثبت جضسٔ

ـٚض ٗیا تضبجػ بٞ

ظا س٘ا

طّٛرٔ ٖٛ٘بل توٛف َسٔ بی( بٞ

یضٛٔ َسٔ ،)2

- بوب٘بت َسٔ ٚ

ضبٌظبؾزٛذ [3

17 ].

ٖبیث یاطث ٖبؾآ ـٚض هی توٛف َسٔ

یٔ ٝو تؾا یِبح ضز ٗیا .تؾا ٜزبٔ ٝصركٔ

َسٔ ظا ٖاٛت

یضٛٔ

- ا ٝتؾٛیپب٘ ظبف هی فیصٛت یاطث بوب٘بت .زٕٛ٘ ٜزبفتؾ

یٌسیچیپ یاضاز َسٔ ٗیا سٙچطٞ

ـٚض ٝث تجؿ٘ یطتكیث یبٞ

یٔ ُجل

ٝصركٔ ـٚض ٗیا ،سقبث یطتكیث تلز بث اض ٜزبٔ یبٞ

یٔ ٗییؼت .سٙو

یضٛٔ َسٔ ظا كیمحت ٗیا ضز -

فیصٛت یاطث بوب٘بت

ٜزبٔ ٝصركٔ

یؼثبت جضسٔ

.تؾا ٜسق ٜزبفتؾا َسٔ ٗیا ضز

هِبث طثإٔ َٚسٔ

Kf

طث طثإٔ َٚسٔ ٚ یق

Gf

ٝث ٖبیث طیظ تضٛص

یٔ

:س٘ٛق ( 2

  ^{ }

)

1

2 1 2 1

1 1

1 1

4 3

f f

K K V

K K V K K

K K

 

  





( 3

   

)

1

2 1 2 1

1 1

1 1

f f

G G V

G G V G G

G f

 

  

 

( تلازبؼٔ ضز 2

( ٚ ) 3 ،) K1

ٚ G1

ٝث

ٖبك٘ تیتطت ٜسٙٞز

ٚ ؽیطتبٔ ظبف یقطث َٚسٔ ٚ هِبث َٚسٔ

K2

ٚ G2

ٖبك٘

ٜسٙٞز

یاطث ٗیٙچٕٞ .سٙتؿٞ تاضش ظبف یقطث َٚسٔ ٚ هِبث َٚسٔ

f1

( ِٝزبؼٔ ضز 3

:ٓیضاز )

   

1 1 9 1 8 1 6 1 2 1

f G K  G K  G .

لکش 1 یقطث

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ ظا یسؼثٚز یؼثبت جضسٔ یا

2. Voigt model 3. Self-consistent

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

مٔ تیتطت ٗیا ٝث ب

طثإٔ ً٘بی َٚسٔ طیز (Ef)

یقطث َٚسٔ ٚ

طثإٔ

(Gf)

ٝث

ٝث طیظ تضٛص یٔ تؾز

:سٙیآ

( 4

 

)

9 3 2

3 , 2 3

KG K G

E K G   K^ G

 

3 - مکاح لیسنارفید تلاداعم

تؾٛپ هی

ٝ٘اٛتؾا ٝ یٔ اض نظب٘ یا

ٝحفص فٙت تِبح ضز ٖاٛت یا

:تقاز ٓیٞاٛذ ف٘طو ٚ فٙت ظثاٚض یاطث ٗیاطثبٙث ٚ زٕٛ٘ ضطف ( 5

 

^{σ = Q e}

   

)

ٝو آ ضز {σ} ٖ ، ٚ[Q]

ٝث{e}

یٔ فیطؼت طیظ تیتطت :س٘ٛق

( 6

  

^{σ T}  x  x



)

( 7

 

¹¹12 ¹²22 )

66

0

Q 0

0 0

Q Q

Q Q

Q

 

 

  

 

 

( 8

  

e ^T  e11zk11 e22zk22 e12zk12



)

ٝفِإٔ

ف٘طو یبٞ

-

ٝثبخ ییبخ e11

، e22

ٚ e12

ٝفِإٔ ٚ یبٞ

ف٘طو - بٙح٘ا k11

، k22

ٚ k12

( ِٝزبؼٔ ضز 8

( ظثاٚض ظا ) 9

( ٚ ) 10 )

ٝث یٔ تؾز :سٙیآ

( 9 )

11 22 12

1 1 u e x

e v w

e R

v u

x R





  

  

   

     

    

   

     

  

 

 

( 10 )

2 2

11 2

22 2 2

12 2

1 2

w k x

v w

k R

k

v w

R x x

 



  

  

  

      

    

     

   

      

ٝفِإٔ ،هیپٚطتٚعیا ٜزبٔ هی یاطث

ٞ ؽیطتبٔ یب ضز [Q]

( ِٝزبؼٔ

7

ٝث ) ضز طیظ تضٛص یٔ

:سٙیآ

11 22 2, 12 2, 66

1 1 2(1 )

E E E

Q Q Q  Q

  

   

  

( 11 ) ٝتؾٛپ یك٘طو یغط٘ا تیتطت ٗیسث

ٝ٘اٛتؾا یا

ٝث طیظ تضٛص

ضز یٔ

:سیآ

2 2

2

22

11 2

0 0

1 2

L s

u A v

PE A w

x R





    



 

      

12 2 66

2A u v v 1 u

w A

R x  x R 

   

    

        

2

11 2

2 u w

B x x

 

 

 

   

2

12 2 2

2 1 u v w

B R x  

    

  

     

2 2

1 v w

R  w x

 

  

 

    

2 22

3 2

2B v v w

R  w  

 

  

 

     

2 2

66

3 2

2B v w v w

R   x x 

    

      

2 2

2 2

22

11 2 4 2

D

w v w

D x R  

    

      

2 2

12

2 2 2

2D w v w

R x  

   

    

( 12 )

2 2 66

2

D v w

R d dx

R x x 



   

     

ٖآ ضز ٝو Aij

، Bij

ٚ Dij

ٝث ؾ تیتطت ٚ ًٙیّپٛو ،یككو یتر

یٔ یكٕذ

ٝث ٝو سٙقبث یٔ فیطؼت طیظ تضٛص

:س٘ٛق

( 13

 

²



²



)

2

1

h

ij ij ij ij

h

A B D Q z z dz







ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ طتؿث هی ضز طبحٔ كیمحت ٗیا ضز یا

طّىٙیٚ هیتؾلاا -

ٗیا ٝث .تؾا ٜسق ٝتفطٌ طظ٘ضز نب٘طتؾبپ

یغط٘ا ،تیتطت

ٝث هیتؾلاا طتؿث ظا یقب٘ ُیؿ٘بتپ طیظ تضٛص

ٝث یٔ تؾز سیآ

[ 18 ] : PEel 

2 2

2

2 0 0

1 1

2

L

w g

w w

k w k Rd dx

x R

    

      

       

  

 

 

^ _ ^

( 14 )

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

:تقاز ٓیٞاٛذ یكجٙخ یغط٘ا یاطث ٗیٙچٕٞ

2 2 2

2

0 0

1 2

L T

u v w

KE R d dx

t t t



 ^{      } 



 

       

( 15 ) ρT ٝو

ٝث ِٝزبؼٔ ٗیا ضز یٔ فیطؼت طیظ تضٛص

:زٛق

( 16 )

2

2 h T

h

 dz







َبٙكى٘بف

ٜزبفتؾا بث یغط٘ا

ٝث ػ٘اطٌلا غثبت ظا یٔ تؾز

:سیآ

( 17 ΠKEPE )

ٝو

ٝث ٖآ ضزPE یٔ فیطؼت طیظ تضٛص :زٛق

( 18 )

s el

PEPE PE

بث

ٜزبفتؾا ظا طث ٖٛتّیٕٞ ُصا

َبٙكى٘بف یٚض

ٝث تؾز ضز ٜسٔآ

ِٝزبؼٔ

( 17 )،

تلازبؼٔ

توطح

ٝتؾٛپ

ٝ٘اٛتؾا یا

ُصبح یٔ

ٛق

٘ :س

( 19 -ا )فِ

2

11 12 13 T 2

L u L v L w u

 ^t

  



( 19 - )ة

2

21 22 23 T 2

L u L v L w v

 ^t

  



( 19 - )ج

2

31 32 33 2

2 2

2 2 2

1

T

w g

L u L v L w w

t

w w

k w k

x R





   



  

     

یبٞضٛتاطپا ٝو Lij

( تلازبؼٔ ضز 19

تؾٛیپ ضز ) فِا

ٜزضٚآ

ٜسق .س٘ا

ضز

ٗیا

ٝ٘اٛتؾا ٝتؾٛپ یؾضطث یٚض طث یا

ٝیىت ضز ٜزبؾ ٜبٌ

طظ٘

ٝتفطٌ

ٜسق

؛تؾا ظطٔ ظیاطق ٗیاطثبٙث

ٝث ی یٔ ضز طیظ تضٛص :سٙیآ

( 20 ) 0, 0 , _x 0, _x 0

v w N  M 

( ِٝزبؼٔ

20 ضز یٙؼی ،ٝتؾٛپ طؾ ٚز ضز ) 0

x ٚ xL

.تؾا قزبص

ٖٛٙوا

، جٛٔ ضبكت٘ا ـٚض ظا ،ٝتؾٛپ ـبؼتضا ُیّحت یاطث

یٔ ٜزبفتؾا زٛق

ٝفِإٔ ٗیاطثبٙث .

ٝثبخ یبٞ

یبخ

ٝث ی طیظ تضٛص

ظؿث یٔ ٜزاز زٛق :

( 21 )

 

 

 

1

1

1

cos sin

cos

i t m

i t m

i t m

u U x m e v V x m e

w W x m e





































ٝو ٚm

ٝث ٖآ ضزω یحٔ جٛٔ زسػ طٍ٘بیث تیتطت ؽ٘بوطف ٚ یغ

.سٙتؿٞ ـبؼتضا یؼیجع ( تلازبؼٔ َبٕػا بث 21

ز ) ( تلازبؼٔ ض 19

توطح تلازبؼٔ ،)

ٝث یٔ ضز طیظ تضٛص :سٙیآ

( 22 - )فِا

2

110 112 2 121 131

3

2

133 3 T

U V W

S U S S S

x x x

S W U

x  

  

  

  

   



( 22 - )ة

2

211 220 222 2 230

2

2

232 2 T

U V

S S V S S W

x x

S W V

x  

    

 

   



3 2

311 312 3 320 322 2 330

U U V

S S S V S S W

x x x

      

  

( 22 - )ج

2 4

2

332 2 334 4 T

W W

S S W

x x  

 

   

 

یبٞضٛتاطپا ٝو Sijk

ٖآ ضز

، ة تؾٛیپ ضز

،

ٜسٔآ .س٘ا

4 - عبرم شور میمعت لارگتنا و قتشم یزاس

هتفای

ـٚض یبٞ

یجیطمت یزسػ زطثضبو یزبیظ یاطث

ُح تلازبؼٔ

ز

ُیؿ٘اطفی یئعخ

س٘ضاز . فٞٚػپ ضز

زضٛٔ

ٗتفبی ـٚض یبٞ

یزسػ بث تبجؾبحٔ

طتٕو

ٜضإٛٞ

حطغٔ

ٜزٛث تؾا . یىی ظا

ٗیا

ـٚض

،بٞ

ـٚض غثطٔ

یظبؾ

1كتكٔ

تؾا .

ٗیا ـٚض

ٗیِٚا ضبث ظؾٛت

ضز ف٘اضبىٕٞ ٚ ّٕٗث

َبؾ 1972

،

ٝث

ٖاٛٙػ هی ـٚض یزسػ

یاطث

ُح تلازبؼٔ

ُیؿ٘اطفیز یئعخ

،

ٝث ضبو

ٝتفطٌ

سق [ 19 ].

ٗیا

ـٚض

،

ٝث

ُیِز

ٜزبفتؾا ظا

ّٕٝخسٙچ یا

یبٞ

ٝجتطٔ

طتلابث ضز

تبصترٔ

یٕٔٛػ

ٚ

ٗیٙچٕٞ

تیطمت

ٖزظ

ٓیمتؿٔ

كتكٔ

هی

غثبت ضز هی

ٝغم٘

ظا

ٝٙٔاز زضٛٔ

طظ٘

، طث ـٚض یبٞ

ُضبفت زٚسحٔ

ٚ

ٖبِٕا زٚسحٔ

یطتطث .زضاز ظا یٛؾ طٍیز تلز یلابث حیبت٘

ُصبح ظا

ٗیا ـٚض بث

ٜزبفتؾا ظا ؼت زاس طبم٘

ٝىجق یا طتٕو

ٚ

تِٟٛؾ

ٖآ ثػبث تیثٛجحٔ

ٖٚعفاظٚض

ٖآ

ٜسق تؾا . ـٚض

غثطٔ

ٓیٕؼت كتكٔ یظبؾ

ٝث ٝتفبی ظزضبچیض ٚ ٛق ّٝیؾٚ

[ 20 بث ]

غثطٔ ـٚض یظبؿٟث ٚ ٝؼؾٛت تبیّٕػ زٛجٟث ٚ كتكٔ یظبؾ

.سق یفطؼٔ ی٘ظٚ تیاطض ٝجؾبحٔ

ٓیٕؼت ـٚض ضز غثطٔ ٝتفبی

كتكٔ یظبؾ غثبت هی ْاr

ٝث یٔ ٝتقٛ٘ طیظ تضٛص :زٛق

1. Differential quadrature

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

( 23

  )

1

f f 1, 2, ,

i

r M

r ik k r

k

c i M





  _

  





ٝو Mξ

( ِٝزبؼٔ ضز 23

یبتؾاض ضز ٝىجق طبم٘ زاسؼت ) ٚ تؾاξ

cij(r)

ی٘ظٚ تیاطض بٞ

سٙچ ظا ٜزبفتؾا بث ٝو سٙتؿٞ

ّٕٝخ یا

ٝث ػ٘اطٌلا یٔ تؾز

تطت ٗیا ٝث .سٙیآ كتكٔ ی٘ظٚ تیاطض تی

ٝث َٚا ٝجتطٔ

یٔ ٝتقٛ٘ طیظ تضٛص :س٘ٛق

( 24

   

 

)

 

^{ }

 

1 1

1 , 1, 2, , ,

i ij

i j j

c L i j M i j

L ^



  

  



ٝو L ⁽¹⁾(ξi) ٖآ ضز

ٝث یٔ فیطؼت طیظ تضٛص :زٛق

( 25

 ¹

   

)

1, M

i i j

j i j

L

   

 







تتاطٔ ی٘ظٚ تیاطض ظا ٜزبفتؾا بث طتلابث تتاطٔ ی٘ظٚ تیاطض

ٗییبپ

ٝث طت طیظ تضٛص

ٝث یٔ تؾز :سٙیآ

( 26 )

       1

1 1

, 1, 2, , ,

r ij

r r

ij ii ij

i j

c r c c c

i j M_ i j

 



  

 

    

 

( 27 )

   

1,

, 1, 2, , , 1, 2, , 1

M

r r

ii ij

j i j

c c

i j M r M



 

 

 

  



ّٕٝخسٙچ ٝىجق طبم٘ بدٙیا ضز

ٝث ػ٘اطٌلا یا ـٚض ّٝیؾٚ

ٕٝ٘ٛ٘

فكیجچ یطیٌ

- ؼبٌ

- یٔ ٗییؼت ٛتبثِٛ

زٛق تیتطت ٗیا ٝث .

:تقاز ٓیٞاٛذ ( 28 ) 1 cos 1

1 1, 2, ,

i 2

i

N i M_





  

   

 

غثطٔ ـٚض

ٓیٕؼت َاطٍت٘ا یظبؾ

ٝتفبی ٖبٕٞ ظا ٜزبفتؾا بث1

غثطٔ ْٟٛفٔ

سٙچ كتكٔ یظبؾ

ّٕٝخ طٌا .تؾا ٝتفبی ٝؼؾٛت یا

ظبث هی ضز یؼثبت یٔ ،سقبث ٝتؾٛیپ ٜ

ٝث اض ٖآ ٖاٛت ضٛص

هی ت

ّٕٝخسٙچ

ٝث ،لابث ٝخضز بث یا

ٌٝ٘ٛ

َبٙكى٘بف طیزبمٔ ْبٕت ٝو یا

یٔ .زظ تیطمت ،سٙقبث ٜسق ٜزبفتؾا ٜظبث ضز

َاطٍت٘ا بث ٖاٛت یطیٌ

ّٕٝخسٙچ غثبت ظا ا ،ٖآ ُو بی ٜظبث ظا یتٕؿل طٞ یٚض یا

َاطٍت٘

.زظ تیطمت اض یّصا غثبت

ٝث یٔ ضطف یّو ضٛع غثبت ٝو زٛق

f(ξ,η)

ٝث یجیوطت تضٛص

مٔ ظا یغذ

َبٙكى٘بف طیزب

ٝث ٜظبث ُو یٚض بٞ

ٜزظ تیطمت طیظ ْطف

یٔ

ٛق ز [ 21 ]:

1. Generalized Integral Quadrature

( 29

   

)

1

f , f ,

j

i

N ij

k k

k

d c





    









ٖآ ضز ٝو ξi

ξj ٚ

ٝصترٔ

ٝو ی٘بٔظ ٚ س٘طییغت ُثبل یبٞ

i a

 

ٚ

j b

 

ِٝزبؼٔ ،سقبث

ٝث لابث ضز َٚاستٔ َاطٍت٘ا هی ُىق

یٔ

.سیآ ی٘ظٚ تیطض ck

( ِٝزبؼٔ ضز ij

29 )

ٝث طیظ ُضبفت تضٛص

یٔ ٖبیث :زٛق

( 30

ij I I )

k jk ik

c d d

یؿیطتبٔ ٖبیث بث ٝو d^I

یٔ

طیظ تیتطت ٝث اض تیاطض ٗیا ٖاٛت

:زٕٛ٘ ٗییؼت ( 31

 

^-1 ) dI = a

  

طتبٔ ٝو ؽی ضز [a]

( ِٝزبؼٔ

31 ـٚض فیطؼت ظا ٜزبفتؾا بث )

غثطٔ

ٓیٕؼت كتكٔ یظبؾ ٚ ٝتفبی

غثبت ٖبیث

ٝث f

ٖاٛٙػ كتكٔ

َٚا ٝجتطٔ

غثبت f^I

ٝث یٔ فیطؼت طیظ تضٛص :زٛق

( 32

 

^{f = a f}

   

^I )

ٗتفطٌ طظ٘ضز بث یبتؾاض ضز ٕٝ٘ٛ٘ ٝغم٘ M

ٚ x ٝغم٘ N

یبتؾاض ضز ٕٝ٘ٛ٘

ٝث ٝدیت٘ضز ٚz ٝىجق هی ٖسٔآ زٛخٚ

M×N

ز ٝچ٘آ ظا ٜزبفتؾا ٚ ( تلازبؼٔ ،سق ٝتفٌ لابث ض

22

ٝث ) طیظ تضٛص

یٔ ضز :سٙیآ

( 33 - )فِا

   

   

 

2 1

110 112 121

1 1

1 3 2

131 133

1

i i i

i i

M M

i ik k ik k

k k

M

ik ik k T i

k

S U S c U S c V

S c S c W  U

 



 

   

 



( 33 - )ة

   

 

1 2

211 220 222

1 1

2 2

230 232

1

i i i

i i

M M

ik k i ik k

k k

M

i ik k T i

k

S c U S V S c V

S W S c W  V

 



 

   

 



( 33 - )ج

   

 

 

   

 

1 3

311 312 320

1

2

322 330

1

2 4 2

332 334

1

i i i

i i

i i

M

ik ik k i

k M

ik k i

k M

ik ik k T i

k

S c S c U S V

S c V S W

S c S c W  W







 

 

   







ٝو آ ضز ٖ 1, , i M یٔ طییغت

.سٙو یترؾ یبخ یبٞ

ٝتفطٌ

ضز Sijk

( تلازبؼٔ یبٞ

33

ٝث ) یٔ ٖبیث طیظ تضٛص :س٘ٛق

( 34

 

)

1 2

1

1, 2, ,

k

ij N

I I

k

k

ij nk mk ij

k ij

A

B d d Q N

D

z z

k



 

 

  

 

 



  

  

  



ٝو

ِٝزبؼٔ ضزN (

34 )

ٝىجق طبم٘ زاسؼت ضز

یبتؾاض ضٛحٔ

تؾاz .

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]