統計学Ⅰ 2013年度春学期 問題と解答
以下の設問の解答は解答用紙（別紙）を半分に折り左右２段組みにしたうえで問題順に記 しなさい。＊印の問題では答えに至る途中過程も記しなさい
数表
標準正規分布ZについてP(Z<1)=0.8413, P(Z<2)=0.9772
自由度mのt分布の右側a％点ta(m)（P(t>ta)=a）：ｔ2.5(24)=2.1、t5(24)=1.7
1 総務省「家計調査」では全国で約（ ）世帯を（ ）法で選んで、世帯の収入・支 出、貯蓄・負債が調査され、政府の様々な政策立案の基礎資料として活用されている。(20) (1)下線部に関して調査世帯数（概数でよい）と標本抽出法（～法）を答えなさい。
(2)調査では母平均μに対する推定量として標本平均x－が使われているが、その利点と欠点に
ついて説明しなさい。
(3)母分散σ2対する推定量として標本分散s2でΣ(xi－x－)2を(n－1)で除するのはなぜかを説 明せよ。ただしnは標本の大きさである。
解答
(1) 9000世帯（概数なので±1000は正解としました）、層化３段階抽出法 各３点 (2) 利点：最良線形不偏推定量(BLUE)だから 欠点：外れ値の影響をうけやすい 各４点
標本調査の長所・短所に関する回答が多くありましたが、本設問に対する回答としては 適当ではありません。深刻な誤字（普遍性）は0点としました。
(3) 母分散σ2の不偏推定量を得るため。ｎで割ると母分散を過小推定してしまうから。
６点 自由度に関する記述だけだと３点
2 針を投げた時、ある基準線とのなす角X（0≦X＜2π）について以下の問いに答えよ (20)
(1*)確率変数Xの密度関数f(X)を求めなさい。
(2*)分布関数F(X)を定義から求めなさい。
(3*)確率変数Xの母平均μと母分散σ2を定義から求めなさい。
解答 (1),(2)は5点、(3)は10点
レジュメやポイント演習にも出ていた代表的な問題なのに出来が悪かったです。あまりに 悲惨なので(2),(3)は定義が正しければ各２点を与えました。
(1)∫f(x)dx=1よりf(x)=1/(2π) (2)F(x)= 0 2
2 0 /2
1 dX X x x
x
(3)E(x)=∫xf(x)dx=
022xdx= 2
2 20 2 12 0
1 x2
xdx
=πVar(x)=E(x2)－μ2= 2
3 02 2 2 3 2 12
0 2
2 1
3
x dx x3 ベルヌイ分布f(x)=θx(1－θ)1－xに従う確率変数xについて以下の問いに答えよ。（20）
(1*)確率変数ｘの母平均μと母分散σ2を定義から求めなさい。
(2)無作為に発生させたｎ個のｘの和ｙ＝Σxiはどの様な確率分布になるか。
(3)歪度とはどのような統計量か。その定義に基づいて説明せよ。
解答 (1)は10点、(2)、(3)は5点
(1) μ=E(x)=1θ+0(1－θ)=θ、E(x2)=12θ+02(1－θ)=θよりσ2=E(x2)－μ2=θ(1－θ) 答えが正しくても途中計算がないor誤りだと0点。
(2) 2項分布 正規分布は×
(3) Z=(X－μ)/σとするとE(Z3)で定義される、分布の歪みを知るための推定量
歪度は左右対称な分布であるかを示す指標で、正規分布になるか否かを見る指標ではあり
ません。
4 成人の体重が平均60kg、標準偏差10kg の正規分布に従うとき、以下の問いに答えよ。
(20)
(1)成人の体重が正規分布に従う理論的な根拠を説明せよ。
(2*)たまたま乗り合わせた16人の成人の体重の和Yの平均E(Y)と分散Var(Y)を求めよ。
(3*)あるエレベータの定員が16名1000kgに設定されているとき、上記の16人が乗りきれ
ない確率はどの程度と考えられるか。
解答 (1),(3)は5点。(2)は10点
(1) 体重を決める要因は無数にあり、体重はその要因の合計なので、中心極限定理より正規 分布に従うと考えられる
標本がたくさんあるからといって正規分布にはならない。コイン投げを1万回やっても ベルヌーイ分布です。中心極限定理というKeywordが入っていないと2点のみ (2)E(Y)=E(ΣX)=ΣE(X)=60×16=960 Var(Y)=Var(ΣX)=ΣVar(X)=100×16=1600
導出過程が示されていないと0点
(3)P(Y＞1000)=P(Z>(1000－960)/40=1)=1－0.8413=0.1587
途中の過程は間違っているのに、結果だけ合わせた回答は0点としました。
5 統計学の担当教授は平均μ=50 点を想定して問題を作成したが、無作為に選んだ25 人
の学生の採点の平均が40点、標準偏差が15点であった。(20)
(1*)母平均μの95％信頼区間を求めよ。
(2*)この採点結果から試験は難しすぎた（μ<50）といえるか。有意水準５％で検定を行え。
(3)有意水準5%とは何の確率か。この事例に基づいて具体的に説明せよ。
解答 (1)と(3)は5点。(2)は10点 (1)母分散が未知で小標本だからｔ＝
n s x
～t(24)より P(40－2.1･
25
15
≦μ≦40＋2.1･25
15
)=0.95→(33.7, 46.3)1.7を使ったもの、40ではなく50を使って区間を求めたもの、計算ミスは3点減点 (2)H0:μ=50 H1:μ<50 H0:
x
＝50は仮説検定がわかっていないという証拠Hoが真であるとき平均点を標準化するとt=(40－50)/(15/5)=－3.3・ (50－40)/(15/5)=3.3・は 深刻な誤り
有意水準5％とすると臨界値Ctはt(24)=－1.7であるが-3.3＜-1.7よりｔは棄却域に入るの
で帰無仮説は棄却される ｔ分布表の読み取りミスが多い ゆえに難しすぎたといえる 結論を書かないと減点 減点法で採点しました。
(3)H0:μ=50が真なのにH1:μ＜50を採択してしまうTypeⅠerrorの確率 具体性がない回答は2点
採点結果
受験者数375人 平均61.0点 標準偏差22.9点 最高100点 最低0点
左裾が長い分布です。80点以上の高得点の人もいれば、40点未満の低得点の人もいます。
40点未満の人は勉強不足ですね。日吉にいるうちに単位を取ってくださいね。
成績は「総点＝学期末試験得点×0.9＋本レポ得点（2回分）」でつけます。
成績の割合はA(総点≧80：34%) B(総点≧60：34%) C(総点≧50：13%) D(総点＜50：19%)でガ イドライン内におさまったので、得点調整は行いません。
