プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）

gbb60166 からの問題 三角形の決定条件

3辺の長さが決まる 2^{辺とその間の} 角が決まる

1辺とその両端の 角が決まる

gbb60166 ^{からの問題}

a

c b

3辺の長さが決まる

面積は、ヘロンの公式より

√s(s − a)(s − b)(s − c) (

ただし s = a + b + c 2

)

gbb60166 ^{からの問題}

B a

c

2^{辺とその間の} 角が決まる

面積は 1

2 ×辺×辺×sin間の角度

= 1

2 casinB

gbb60166 ^{からの問題}

B C

a

1^{辺とその両端の} 角が決まる

問題 『1 辺とその両端の角が決まっ たとき』の三角形の面積を出 す公式を求めなさい。

答えはコチラ ^web

解説

B C

H a

h

三角形の高さを h とすると

tanB = _BH^{h より} BH = _tan^h_B 同様に

tanC = _CH^{h より} CH = _tan^h_C BH + CH = a ^{に代入すると}

h

tanB + _tan^h_C = a

解説 h

tanB + h

tanC = a htanC + htanB

tanB tanC = a h(tanB + tanC)

tanB tanC = a

h(tanB + tanC) = atanB tanC

解説

h(tanB + tanC) = a tanB tanC h = a tanB tanC

tanB + tanC となるので

三角形の面積 = 底辺×高さ ÷ 2 に代入して

解説

B C

H a

atanBtanC tanB+ tanC

三角形の面積

= a · a tanB tanC

tanB + tanC ÷ 2

= a² tanB tanC 2 (tanB + tanC)

解説 この式はいろいろ変形できて

a² tanB tanC 2(tanB + tanC)

= a² · _cos^sinB_B · _cos^sinC_C 2(_cos^sinB_B + _cos^sinC_C)

= a² · _cos^sinB_B^sin_cos^C_C^×cosBcosC 2(_cos^sinB_B + _cos^sinC_C)×cosBcosC

解説

= a² · _cos^sinB_B^sin_cos^C_C^×cosBcosC 2(^sinB

cosB + ^sinC

cosC)×cosBcosC

= a² · sinB sinC

2(sinB cosC + sinC cosB) 三角関数の加法定理から

sin(B + C) = sinB cosC + cosB sinC なので

解説

= a² · sinB sinC

2(sinB cosC + sinC cosB)

= a² · sinB sinC 2 sin(B + C)

としている Web サイトしか、私は見たことがない。

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