プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）

2016 札幌医大

数列 {a_n} ^は a₁=a >0, a_n+1= 16a_n³ (n= 1, 2, · · · ) ^{を満たすものとする。}

⑴ 数列 {b_n} ^を b_n=log₂ a_n ^{とするとき、}{b_n} の一般項を a ^と n ^{を用いて表せ。}

⑵ 数列 {a_n} ^{の一般項を} a ^と n ^{を用いて表せ。}

⑶ すべての n ^について a_n = a ^{を満たすよう} な a ^{の値を求めよ。}

log_★(^■×^▲) = log_★^■+ log_★^▲ log_★^▲●=^●log_★^▲

a₁>0 ^で a_n+1= 16a_n^{3 より} {a_n} ^{はすべて正の} 数である。 ※ 当然 log₂ を計算することになるので

漸化式の両辺の 2 を底とする対数をとると

log₂ a_n+1 = log₂(16a_n³)

log₂ a_n+1 = log₂ 16 + log₂ a_n³ log₂ a_n+1 = log₂ 2⁴+ 3 log₂ a_n

特性方程式だよ log_★^▲●=^●log_★^▲ log_★^★= 1

log₂ a_n+1 = log₂ 2⁴ + 3 log₂ a_n log₂ a_n+1 = 4 log₂ 2 + 3 log₂ a_n log₂ a_n+1 = 4 + 3 log₂ a_n

b_n= log₂ a_n ^とすると b_n+1= 3b_n+ 4 ^{…① だ。}

① の変形は特性方程式と呼ばれ β = 3β + 4 …② を解くと β=−2 となる。①−② を計算すると

特性方程式

b_n+1 = 3b_n + 4 β = 3β + 4

−)

b_n+1−β = 3b_n −3β b_n+1−β = 3 (b_n−β)

さっき β =−2 ^{だったので} b_n+1+ 2 = 3 (b_n+ 2) となる。

等比数列の公式に持ち込めた

b_n+1+ 2 = 3 (b_n+ 2)

数列 {b_n+ 2} ^は初項 b₁+ 2 = log₂ a+ 2 , ^公比 3 の等比数列だから

b_n+ 2 = (log₂ a+ 2)·3ⁿ⁻¹

b_n = (log₂ a+ 2)·3ⁿ⁻¹−2

log₂ 2 = 1 ^{を使って式を細工する}

b_n= log₂ a_n だったので、この式を指数の書き方で かくと a_n= 2^bn となるから、⑴の答えを代入して

a_n = 2^bn

a_n = 2^{(log2a+2)·3n−1−2} a_n = 2^{(log2a+2)·3n−1}·2⁻² a_n = 2^{(log2a+2 log22)·3n−1} · 1

4

●log_★^▲= log_★^▲● log_★^■+ log_★^▲= log_★(^■×^▲)

a_n = 2^{(log2a+2 log22)·3n−1} · 1 4 a_n = 2^{(log2a+log222)·3n−1}· 1

4 a_n = 2^{(log2a+log24)·3n−1}· 1

4 a_n = 2^{(log24a)·3n−1}· 1

4

★^●×▲= (^★●)^▲ a_n = 2^{(log24a)·3n−1}· 1

4 a_n = (2^log24a)³ⁿ⁻¹· 1 4

一旦 停止

2^{log24a をシンプルに表したい}

x= 2^{log24a とおいて両辺の} 2 ^{を底とする対数をと} ると

log₂ x = log₂ 2^log24a log₂ x = log₂ 4a·log₂ 2 log₂ x = log₂ 4a

よって x= 4a となるので、元に戻って

たぶんこれが模範解答として発表されたのだろう…

a_n = (2^log24a)³ⁿ⁻¹ · 1 4 a_n = (4a)³ⁿ⁻¹

4

a_n= 2^{(log2a+2)·3n−1−2 じゃダメなのかな？}

⑶を解きます

a₂= 16a₁³= 16a^{3 となる。}

すべての n ^について a_n=a ^{となるためには} a₂=a であることが必要だから 16a³=a 因数分解して a(4a+ 1)(4a−1) = 0

a >0 であるから a= 1 4

a_n= ^(4a)3

n−1

4 でしたよね 逆に a= 1

4 ^{のとき⑵の結果から} a_n= 1³ⁿ⁻¹

4 = 1

4 =a

となり、すべての n ^について a_n=a ^{を満たす。}

よって a= 1 4