同じものを含む順列 同じものを含む順列 a
a,, a a,, a a,, b b,, b b,, c を 1 列に並べる⽅法は何通りあるか。 c を 1 列に並べる⽅法は何通りあるか。
K
K,, A A,, W W,, A A,, S S,, A A,, K K,, I の 8 ⽂字を 1 列に並べることを考える。 I の 8 ⽂字を 1 列に並べることを考える。
1
1 全ての⽂字を 1 列に並べる並べ⽅は全部で何通りあるか。 全ての⽂字を 1 列に並べる並べ⽅は全部で何通りあるか。
( ( ))
2
2 11 において 2 つの K が隣り合う並べ⽅は何通りあるか。において 2 つの K が隣り合う並べ⽅は何通りあるか。
(
( )) (( )) 3
3 11 において KK とAAA という並びを共に含む並べ⽅は何通りあるか。において KK とAAA という並びを共に含む並べ⽅は何通りあるか。
(
( )) (( )) 4
4 W W,, S S,, I がこの順に並ぶような並べ⽅は何通りあるか。 I がこの順に並ぶような並べ⽅は何通りあるか。
( ( )) N
N,, I I,, P P,, P P,, O O,, N の 6 ⽂字を 1 列に並べることを考える。 N の 6 ⽂字を 1 列に並べることを考える。
1
1 全ての⽂字を 1 列に並べる並べ⽅は何通りあるか。 全ての⽂字を 1 列に並べる並べ⽅は何通りあるか。
( ( ))
2
2 11 において 2 つの N が隣り合わない並べ⽅は何通りあるか。において 2 つの N が隣り合わない並べ⽅は何通りあるか。
(
( )) (( )) 3
3 22 において NN と PP という並びをどちらか⼀⽅は含まない並べ⽅は何通りあるか。において NN と PP という並びをどちらか⼀⽅は含まない並べ⽅は何通りあるか。
(
( )) (( )) 4
4 I I,, O がこの順に並ぶような並べ⽅は何通りあるか。 O がこの順に並ぶような並べ⽅は何通りあるか。
( ( )) 1
1,, 1 1,, 2 2,, 2 2,, 2 2,, 3 3,, 3 3,, 3 3,, 3 の9つの数字のうち 4 つを使って 4 桁の⾃然数を作る。 3 の9つの数字のうち 4 つを使って 4 桁の⾃然数を作る。
1
1 このような 4 桁の⾃然数はいくつあるか。 このような 4 桁の⾃然数はいくつあるか。
( ( ))
2
2 このうち 2200 より⼩さいものはいくつあるか。 このうち 2200 より⼩さいものはいくつあるか。
( ( ))
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同じものを含む順列 略解 同じものを含む順列 略解 a
a,, a a,, a a,, b b,, b b,, c を 1 列に並べる⽅法は何通りあるか。 c を 1 列に並べる⽅法は何通りあるか。 6!6! ==6060 3!
3!··2!2!
K
K,, A A,, W W,, A A,, S S,, A A,, K K,, I の 8 ⽂字を 1 列に並べることを考える。 I の 8 ⽂字を 1 列に並べることを考える。
1
1 ==33603360 (
( )) 8!8!
2!
2!··3!3!
2
2 == 840840 (
( )) 7!7!
3!
3!
3
3 5! 5! ==120120 (
( )) 4
4 ==560560 (
( )) 8!8!
3!
3!··3!3!··2!2!
N
N,, I I,, P P,, P P,, O O,, N の 6 ⽂字を 1 列に並べることを考える。 N の 6 ⽂字を 1 列に並べることを考える。
1
1 ==180180 (
( )) 6!6!
2!
2!··2!2!
2
2 -- ==120120 (
( )) 6!6!
2!
2!··2!2!
5!
5!
2!
2!
3
3 ==66 (
( )) 4!4!
2!
2!··2!2!
4
4 ==9090 (
( )) 6!6!
2!
2!··2!2!··2!2!
5
5 n n UU --nn NNNN∩∩PPPP ==180180--2424 ==156156 (
( )) (( )) (( )) 1
1,, 1 1,, 2 2,, 2 2,, 2 2,, 3 3,, 3 3,, 3 3,, 3 の9つの数字のうち 4 つを使って 4 桁の⾃然数を作る。 3 の9つの数字のうち 4 つを使って 4 桁の⾃然数を作る。
1
1 1 1++ ··22··22++ ·· CC ++ ··33 ==7171 (
( )) 4!4!
3!
3!
4!
4!
2!
2!··2!2! 33 22 4!
4!
2!
2!
2
2 ··44++3!3!++22++2!2!··33++22== 2828 (
( )) 3!3!
2!
2!
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