数
第 1問 (酉 己 点 30)
〔1 〕 ガ≧ 2 , ノ ≧ 2 , 8 ≦ り ≦ 1 6 の とき, z = l o g 2 V 労 + l o g 2 ノの最大値 を求 めよう。
S = 1 0 g 2 χ, す = l o g 2 ノ とお くと, s , サ , s 十 けの と り得 る値 の範 囲はそれ ぞれ
s ≧ ア , け ≧匡王: 王 トロ ≦s 十 け ≦□
となる。 また
z = 目 s 十 ″
脚 立" 組 ギ E 豆三コ戸 = E 亘三コ 碇 き最大値 目
を
塩 O 吹 聴 川は, = 匡 王王コ 押 = E 至
= コ 碇 き最対 直 目 を と る。
(数学 Ⅱ第 1問 は 6ベ ー ジに続 く。)
公 口
的 学
全
H
数学 Ⅱ
〔2〕 0≦ θ<2π の範囲で
5 s l l l θ‑ 3 c o s 2 θ= 3 … … ……… …… (*) を満 たす θにつ いて考 え よ う。
方 程 式 ( * ) を s i n θを用 いて表す と シ 動 物 + 5 韻n θ―
□ = 0
とな る。 したが って, ‑ 1 ≦ s i n θ≦ 1 よ り
飼=目
であ り, 0 ≦ θ< 2 π の範囲で この等式 を満たす θの うち,小 さい方 を θl, 大 きい方 を θ2 とす ると
的 = …
である。
θlに つ いて不等 式E至 =コ カゞ成 り立 つ。 ッ に 当て は まる もの を,
次の◎〜⑤のうちから一つ選べ。
◎ 0 < θ l < 者 ① 祐< θl< 十 ② 千< θl< キ
③十< θ l < 者 ④ 者< θl< 寺 ⑤ 寺< θl< 考 ただし ,必要なら ば,次の値
C° S裏 戸 =1+√ 丁 π
, C O S 豆√ 6+72
= 4を用 い て もよ い。
さ らに,不 等式 夕,θl>θ 2を 満たす 自然数 銘の うち最小 の ものは テ である。
‑ 6 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 6 )
数学 工
第 2問 御 点 30
放物線 ノ= 2 ィ2 を C,点 (1,‑2)を A と す る。
点 Q ( 7 , υ ) に関 して, 点 A と 対称な点 を P ( χ, ノ) とす ると
χ 十 ア ノ ウ
, υ=
である。
二つ の放物線 σと Dの 交点 を Rと Sと す る。ただ し,χ 座標 の小 さい方 を R とす る。点 R , S の ィ座標 はそれ ぞれ キ ク , 匡 重王コ で,点 R,Sに お ける 放物線 D の 接線 の方程式はそれぞれ
ノ= ヨ , ノ = ロ ガ □
である。
(数学 Ⅱ第 2問 は次ベー ジに続 く。)
初 =
線 放 物 つ は と す る と Ｄ を
□ 印 咽
が ダ ９ Ｑ
Ｏ
ノ
エ立 つ 成 り カ
数 学 H P を 放物線 D 上 の点 とし, P の メ座標を αとお く。P か らィ軸に引いた垂線 と 放 物線 C と の交点 を H と す る。 キ ク < α < □ の とき, 三 角形 P 1 l I く の面積 S ( α) は
勁= 歯 ( □が中 □ か□ )
申生 的 =昌嘘報塩 0
α=￨ ッ ￨の
とき,直 線 HRと 放 物 線 Dの 交 点 の うち,Rと 異 な る点 の
加
昌
転 … , 昌 勤 ≦
昌
殖 激 物
線 D と 直線 P H お よび直線 H R で 囲まれた図形の面積 は
キ三三三; で
ある。
‑ 9 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 9 )
数学 田
第 3問 佃 点 20
座標平面 にお いて, 原 点 0 を 中心 とす る半径 1 の 円 σl 上の 2 点 P , Q に 対 し て, 線 分 P Q 上 の点 N を P N : N Q = 4 : 1 と な る よ うに とる。た だ し, P と Q が一致す る ときは, N は P , Q と 同 じ点 とす る。
( 1 ) 点 P , Q の 座標 をそれぞれ ( c o s α, s i n α) , ( c o s β, s i n β) とす る。 ここで, 0 ≦ α< 2 π , 0 ≦ β< 2 π とす る。 この とき, 点 N の 座標 ( X , y ) は
とな る の で, 点 P , Q を 円 C l 上 で動 か す とき, ズ2 + y 2 の と り得 る値 の 範 囲 ヤよ
目勢的
である。
(数学 Ⅱ第 3間 は次ベー ジに続 く。)
数 学 H ( 2 ) 点 P , Q を 円 C l 上で動かしたとき, 点 N は 不等式
ロダ… … …→
が表す領域全体 を動 くことを示そ う。
点 Q(cos β,shl β)を 固定 し,点 Pを Cl上 で 1周 させ た とき,点 Nの 4ブt跡 は,点
T圏萌昌飾り
を中心 とす る半径
: 言 三計
の円 Q で ある。
さ ら に, 点 Q を C l 上で 1 周 さ せ た と き, T は 原 点 を 中 心 と す る 半 径
昌
呼 咋 抑 紳 確 Q 帥 車 ユ
円 C 2 が 通過 してできる図形は, 上 の不等式 ( * ) が 表す領域 と一致す る。
十‑ 11 ‑一
( 2 6 0 5 ‑ 1 1 )
数学 H
第 4問 側 点 20
P ( 労) を3 次 の 整 式 と し, α, う, ごは 実 数 で あ り, α キ 0 と す る。P ( メ) を 5 αχ2 ̲ 防 十 ごで割 った とき, 商 は 一方+ 2 で , 余 りは 2 χ‑ 4 で あるとす る。
( 1 ) P ( 労) は メー ア で 割 り切れ る。そ の商は
イウ エガ十E 王 三 王 トー□ 十回
で あ る。
ま た, P ( χ ) を ( 5 労‑ 2 ) ( メ ー 1 ) で 割 っ た と き の 余 りが 4 ガで あ る とす る と, か と ごヤよαを用 いて
う= ク α―□ , び= □ α十□
と表 され る。
(数学 Ⅱ第 4問 は次ベ ージに続 く。)
数学 H
以下ではD= ク α―[ケヨ,び=[コヨα十[サヨとする。
( 2 ) 3 次 方程式 P ( χ) = 0 が 0 と 異なる三つの解 をもつ とき, そ れ ら三つ の解 の 逆数 の和は αを用 いて表す と
4 ‑
ス α 一
□
である。
( 3 ) 3 次 方程式 ′( ィ) = 0 の 一つの解 の逆数が 1 + 筋 ( 力は正 の実数) である とす
る。 この とき,三 つの解 の逆数 の和 は
:三 三]で
あ り,α の値 は チ と
な る。 した が って,た の値 は ツ で あ る。
‑ 1 3 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 1 3 )
問題と解答は、独立行政法人 大学入試センターホームページより転載しています。
ただし、著作権上の都合により、一部の問題・画像を省略しています。
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