情報数学 I-A 講義のポイント No.3
復習 No.2
直積集合
X×Y ≡ {(x, y) ; x∈X, y∈Y} 添え字の集合J の各要素αに
J ∋α 7→ Xα を対応させて作られる集合 集合族A ≡ {Xα; α∈J}
直積集合∏
α∈J
Xα
例１)J ={1,3,5}のとき，
集合族A ≡ {X1, X3, X5} 直積集合 ∏
α∈J
Xα=X1×X3×X5
例２)J =N(自然数の全体)のとき，
集合族A ≡ {X1, X2, X3,· · · } 直積集合 ∏
α∈J
Xα= ∏∞
k=1
Xk =X1×X2×X3× · · · 実数Rの部分集合
閉区間[a, b]≡ {x∈R; a5x5b}=線分ab 開区間(a, b)≡ {x∈R; a < x < b}
半開区間(a, b]≡ {x∈R; a < x5b}
半開区間[a, b)≡ {x∈R; a5x < b}
例３)J =N(自然数の全体)のとき，
集合族A ≡ {A1, A2, A3,· · · } ただし，An≡(1
n,3−1n)
(n= 1,2,3,· · ·) 和集合 ∪
α∈J
Aα=
∪∞ k=1
Ak = (0,3),共通集合 ∩
α∈J
Aα=
∩∞ k=1
Ak = (1,2)
写像(mapping) f :X →Y
集合Xの各元xに集合Y の1つの元yを対応させる規則f のことをXか らY への写像という。
domf 写像f の定義域という。
ranf ≡ {f(x) ; x∈dom f} 写像fの値域という。
とくに，dom f =Xのとき，写像fの値域は，f(X)≡ {f(x) ; x∈X}
で表される。
(1) A ⊂ X に対して，f(A) ≡ {f(x) ; x∈A}を，Aのf による像と いう。
(2)B ⊂Y に対して，f−1(B)≡ {x∈X; f(x)∈B}を，Bのf による 原像という。
写像の種類
(1)単射(1対1，one-to-one, injection)
(*)∀y∈ranf に対して，∃1x∈X s.t. y=f(x) (**)∀x, x′ ∈domf に対して，x̸=x′ ⇒ f(x)̸=f(x′) (2)全射(上への，onto, surjection)
(*)ranf =Y
(**)∀y∈Y に対して，∃x∈X s.t. y=f(x) (3)全単射(上への1対1，one-to-one onto, bijection) (*)全射かつ単射
補題 1 f :X →Y
A⊂B ⇒ f(A)⊂f(B)
補題 2 J =N (自然数の全体)のとき，集合族 A ≡ {A1, A2, A3,· · · },集合 族B ≡ {B1, B2, B3,· · · }
Aα⊂Bα (∀α∈J) ⇒ ∪
α∈J
Aα⊂ ∪
α∈J
Bα
補題3 J =N(自然数の全体)のとき，集合族A ≡ {A1, A2, A3,· · · },集合 族B ≡ {B1, B2, B3,· · · }
Aα⊂Bα (∀α∈J) ⇒ ∩
α∈J
Aα⊂ ∩
α∈J
Bα
定理4 (1.2) A1, A2⊂X, B1, B2⊂Y, f:X →Y に対して次が成立 する。
(1) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2),
講義 (No.3) の内容
定理 5 (1.2) A1, A2⊂X, B1, B2 ⊂Y, f:X →Y に対して次が成立 する。
(1) f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) ;
(2) A1⊃A2 のとき，f(A1\A2)⊃f(A1)\f(A2) ;
(3) f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩ f−1(B2)
(4) B1⊃B2 のとき，f−1(B1\B2) =f−1(B1)\f−1(B2) ; (5) A1⊂f−1(f(A1)), f(
f−1(B1))
=B1∩f(X), f(
A1∩f−1(B1))
= f(A1)∩B1
f :X →Y が単射 ⇒ f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2)
f :X →Y が単射 ⇒ f(A1\A2) =f(A1)\f(A2) 合成写像
f :X →Y, g:Y →Zが写像のとき，g◦f :X →Zをgとf の合成写 像という。g◦f(x)≡g(f(x))
例)X=Y =Z=R
f(x)≡logx, g(x)≡ |x| とするとき，g◦f(x) =|logx|, f◦g(x) = log|x|
命題6 (1) 写像f :X →Y, g:Y →Zに対して，合成写像g◦f が単射 ならばf も単射である。
(2) 写像f :X →Y, g:Y →Zに対して，合成写像g◦f が全射ならば gも全射である。
直積集合
添え字の集合 J の各要素αにJ ∋α 7→ xα∈Xα を対応させる写 像f（すなわち，f(α) = xα (∀α∈J)）の全体を ∏
α∈J
Xαとかき，集合族 A ≡ {Xα; α∈J}の直積集合という。このfは，直積集合の要素
∏
α∈J
xα または (xα)α∈J
で表せる（すなわち，同一視できる）。xαをf のα−座標という。
射影
対応Pβ: ∏
α∈J
Xα→xβ を ∏
α∈J
Xα から Xβ への射影という。
べき集合 直積集合 ∏
α∈J
Xα に対して，Xα=X (∀α∈J) のとき，∏
α∈J
Xα を XJ と表し，X を底とし，Jを指標とするべき集合（あるいは配置集合）
という。とくに，Xを２元集合とし，J =Aとすると，2Aは，Aのすべて の部分集合からなる集合族と考えることができる。
