採点基準 数学（文科系・理科系）

第 1 回 7 月東北大本番レベル模試 （2020 年 7 月 18 日実施)

採点基準 数学（文科系・理科系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（200点満点）

第1問（50点満点）

(1)（配点20点）

 C₁上の点( ,t t² 1)における接線の方程式を求め，一般形に直して6点

 上記の接線がC₂に接することを式で表し，tの値を求めて10点

 答えに4点 (2)（配点30点）

 C₁上の点( ,t t² 1)における接線がC₂と異なる2点で交わる条件を不等式で表し，t²(または

t)のとり得る値の範囲を求めて8点

 2点で切り取られる線分の長さが最大になるのは，C₂の中心( , )0 1 とこの接線との距離dが最 小になるときであることを述べて4点

 上記のdに対して，d²  7

4が成り立つことを示し，等号が成り立つときのt²(またはt)の値を 求めて8点

 C₂の中心( , )0 1 とこの接線との距離の最小値を求めて3点

 2点で切り取られる線分の長さの最大値を求めて7点

第2問（50点満点）

(1)（配点26点）

 最初に箱に入っている球の個数を求めて3点

 それぞれの玉を区別したとき，2回で取り出す取り出し方の総数を求めて6点

 1回目，2回目に取り出した玉をx₁,x₂としたとき，3 x₁ x₂ 2nを述べて5点

 x₁ x₂ 2nとなるx₁,x₂とその場合の数を求めて6点

 答えに6点 (2)（配点12点）

 (1)のx₁,x₂に対して，x₁ x₂ 2n1となる場合の数を求めて6点

 答えに6点 (3)（配点12点）

 (1)のx₁,x₂に対して，x₁ x₂ 2n2となる場合の数を求めて6点

 答えに6点

第3問（50点満点）

(1)（配点20点）

 x 1

0 2のとき，被積分関数の絶対値記号を外して3点

 x 1

0 2^{のときの答えに7点}

 1 x

2 1のとき，被積分関数の絶対値記号を外して3点

 1 x

2 1^{のときの答えに7点} (2)（配点30点）

 f x( )を x 1

0 2^と1 x

2 1に分け，正確に表記できて10点

 f x'( )を x 1

0 2^と1 x

2 1に分け，正確に表記できて10点

 f x( )の増減を調べ，x 1

3で極大かつ最大であることを述べて5点

 答えに5点

第4問（50点満点）

(1)（配点30点）

 点C,Dの位置ベクトルを求めて5点

 点Eの位置ベクトルをパラメータtなどを用いて表して5点





CE

を上記のtと

 

a,b

を用いて表して5点



 

CDCE 0

からtの値を求めて11点

 答えに4点 (2)（配点20点）

 点Fを線分BC,DE上の点とし，パラメータa

, b

などを用いてそれぞれ表して10点(各5点)

 途中の計算と答えに10点

【理系】（300点満点）

第1問（50点満点）

(1)（配点10点）

 方程式①をx

 x1

の2次方程式に変形できて5点

 途中の計算と答えに5点 (2)（配点10点）

 (1)で求めたtの値から2つのxの2次方程式を求めて5点

 答えに5点 (2)（配点30点）

 題意の4次方程式をtの2次方程式で表して4点

 上記のtの2次方程式の1つの解をaのように表したときaの値の範囲を求めて6点

 題意の4次方程式のすべての解が実数となる条件を述べて5点

 上記のtの2次方程式の左辺をf t( )のようにおき，そのグラフが満たすべき条件を述べて5点

 途中の計算と答えに10点

第2問（50点満点）

(1)（配点10点）

 すべての場合の数を求めて3点

 V 0となるときのx₁～x_nに関する説明に5点

 答えに2点 (2)（配点15点）

 V1となるときのx₁～x_nに関する説明に11点

 答えに4点 (3)（配点25点）

 V 2となるときのx₁～x_nに関する説明に16点

 途中の計算と答えに9点

第3問（50点満点）

(1)（配点15点）

 ba1,bacを導き，さらにbが3以上の奇数であることを述べて5点

 aが奇数とすると，矛盾することを示して5点

 答えに5点 (2)（配点11点）

 a^{2 2}b c1を満たす素数a b c, , が存在すると仮定して3点

 (ab1)(ab1)cから矛盾を導いて5点

 証明の結論を述べて3点

(3)（配点24点）

 題意の式をa b^{2 2} k c( k)と変形し，a b^{2 2}の正の約数を正しく列挙して5点

 kとckの組合せを正しく列挙して5点

 上記からcを求めて5点

 答えに9点

第4問（50点満点）

(1)（配点35点）

 A ( , ),B (0 6 2 3 0, ),C (2 3 0, )などのように設定して5点

 上記の設定とP ( , )x y とおいたとき，x² (y1)²  25を導いて10点

 領域の境界の点D ,

  

 

 

 

 

5 3 7

2 2 ^{を求めて5点}





OP

が最大となるとき，最小になるときについてそれぞれ述べて10点(各5点)

 答えに5点 (2)（配点15点）

 (1)の設定の下， BA BP

 

をx y, で表し，さらに直線2 3x6y12 kが直線ADと平行 であることを述べて5点

 上記のkが最大となるとき，最小となるときを考え，答えを求めて10点

第5問（50点満点）

(1)（配点19点）

 f x( )xlog(x1)のようにおいたとき，0x2でf x( )が単調増加であることを示し，

さらにf( )0  0からf x( )0を述べて7点

 g x( )log(x )

   

x x

    

1 2

1 2 ^{のようにおいたとき，}0 x2でg x( )が単調増加であること を示し，さらにg( )0 0からg x( )0を述べて7点

 上記の証明のもと，結論を述べて5点 (2)（配点31点）

 (1)から，0 x 2のとき，不等式

cos cos cos

log( )

x x x

x x

x x x

  

 









  

 

 

2

2

1 1 1

1 1

1 2

が成り立つことを述べて6点

 上記の不等式の左辺と右辺の極限値を求めて15点

 はさみうちの原理から答えを求めて10点

第6問（50点満点）

(1)（配点10点）

 部分積分法を用いて答えを求めて10点(積分定数がないときは7点) (2)（配点30点）

 x 0のときのf x( )を求めて5点

 x p

 

0 2 ^のときのf x( )を求めて15点

 p x

2  ^のときのf x( )を求めて5点

 答えを整理して5点 (3)（配点10点）

 すべての実数xに対し，f x'( )が単調増加であることを示して5点

 残りの証明に5点