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第 2 回 11 月九大本番レベル模試 （2019 年 11 月 4 日実施)
採点基準 数学（文系・理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（200点満点）
第1問（50点満点）
（1）（配点11点）
f x( )を微分し，増減表を示して7点
答えに4点(各2点)
（2）（配点30点）
a 1≤
3のとき，不適なことを述べて6点
の値で場合分けし， a
a
<1<
3 ，0<a≤1それぞれ条件式を求めて16点(各8点)
答えに2点
正しく図示して6点
（3）（配点9点）
面積を求める積分式を立式できて5点
途中の計算と答えに4点 第2問（50点満点）
pnをnの式⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝(n− )(n− )(n− )•⎛ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟ •⎛ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟n− ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
4 4
1 2 3 1 2
6 3 3 で表して20点
pn+1−pnを(9−n)を因数にもつように整理できて13点
考え方と答えに17点
2/4 第3問（50点満点）
（1）（配点11点）
条件より，a=0またはb=0またはc=0となることを述べて2点
a=0，b=0，c=0それぞれについてどのような三角形になるかを述べて6点
答えに3点
（2）（配点19点）
条件式の左辺を因数分解し，a=bまたはb=cまたはc=aとなることを述べて4点
a=bのとき，AB•
(
CA+CB)
=0となることを導いて3点 a=bのとき，Cと辺ABの中点を結んだ直線は辺ABの垂直二等分線となることを示し，
CA=CBとなることを述べて6点
ほかの場合についても述べ，答えに6点
（3）（配点20点）
条件式を因数分解し，a+ + =b c 0またはa2+b2+c2 −ab−bc−ca=0となることを述べ4点
a+ + =b c 0は成り立たないことを正しく示して7点
a2+b2+c2 −ab−bc−ca=0のとき，13
{
(a−b)2+(b−c)2 +(c−a)2}
=0と式変形を行い，a=bかつb=cかつc=aとなることを述べて5点
考え方と答えに4点
第4問（50点満点）
（1）（配点12点）
1024，1023それぞれを2進法で表して8点(各4点)
答えに4点(各1点)
（2）（配点13点）
f n( )=2より，
2 ≤ d n ( ) ≤ 10
となることを述べて2点 d n( )=k+1
(
k=1 2, ,,9)
としたとき，f n( )=2となるnの個数がkとなることを示して5点
考え方と答えに6点
（3）（配点25点）
f n( )=9より，d n( )=9 10, となることを述べて2点
d n( )=9のとき，自然数nの総和を求める式が立式できて6点
d n( )=10のとき，nは9個となることを述べて4点
d n( )=10のとき，自然数nの総和を求める式が立式できて9点
答えに4点
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【理系】（250点満点）
第1問（50点満点）
（1）（配点14点）
f x( )を微分して8点
増減表を示し，答えに6点
（2）（配点15点）
C y: = ±f x( )と導いて3点
Cの概形を示して3点
面積を求める積分式を立式し，適切な置換積分を行って5点
途中の計算と答えに4点
（3）（配点21点）
D2の概形を示して4点
V1を求めて7点
V2を求める積分式が立式できて3点
V2を求めて5点
答えに2点
第2問（50点満点）
（1）（配点11点）
条件より，a=0またはb=0またはc=0となることを述べて2点
a=0，b=0，c=0それぞれについてどのような三角形になるかを述べて6点
答えに3点
（2）（配点19点）
条件式の左辺を因数分解し，a=bまたはb=cまたはc=aとなることを述べて4点
a=bのとき，AB•
(
CA+CB)
=0となることを導いて3点 a=bのとき，Cと辺ABの中点を結んだ直線は辺ABの垂直二等分線となることを示し，
CA=CBとなることを述べて6点
ほかの場合についても述べ，答えに6点
（3）（配点20点）
条件式を因数分解し，a+ + =b c 0またはa2+b2+c2 −ab−bc−ca=0となることを述べ4点
a+ + =b c 0は成り立たないことを正しく示して7点
a2+b2+c2 −ab−bc−ca=0のとき，13
{
(a−b)2+(b−c)2 +(c−a)2}
=0と式変形を行い，a=bかつb=cかつc=aとなることを述べて5点
考え方と答えに4点
4/4 第3問（50点満点）
（1）（配点15点）
出た目(1であるとき，3か5であるとき，偶数であるとき)による確率をそれぞれ求めて3点
答えに12点(各4点)
（2）（配点8点）
( )
n
n n
r p r p
⎛ ⎞⎟ −
⎜ ⎟
− = − •⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
1
1 1
2 2 1
2 と導いて5点
証明できて3点
（3）（配点8点）
rnを消去し，pn, ,qn pn+1,qn+1などの式で表して4点
途中の計算と答えに4点
（4）（配点19点）
操作の回数がn回で終える事象について説明し，sn =5pn−1
6 を導いて5点
(3)で求めた漸化式の式変形を2通り行って6点
pnの一般項求めて6点
答えに2点
第4問（50点満点）
c f t dt( )
−
=
∫
11とおき，c>0となることを述べて7点
c2を求めるために，f t( )= t2−cの概形について考察して10点
cの値で場合分けをし，それぞれのc2を積分で求めて20点(各10点)
0<c<1としたとき，与式を満たすcは存在しないことを示して8点
cの値と答えに5点
第5問（50点満点）
z
2, z
3をそれぞれ求めて4点（各2点） P P P1 3 2 p
∠ =
2となることを示して8点
3点P ,P ,P1 2 3を通る円Cの方程式を求めて9点
全ての自然数nに対して zn −1 = 2が成り立つことを数学的帰納法で証明する方針をたて，
, ,
n=1 2 3のときは成り立つことを述べて11点
( ) ( )
( ) ( )
k k
k
k k
z z
z + z z
− −
− =
− −
2 1
3 3
1 2 2 となることを導いて7点
zk+1−1 = 2となることを示して8点
証明できて3点
