採点基準数学（文系・理系）

(1)

1/4

第 2 回 11 月阪大本番レベル模試（2018 年 11 月 4 日実施)

採点基準数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（100点満点）

第1問（30点満点）

(1)（配点15点）

 頂点A,Cのいずれかに移動することに気付き，それぞれの遷移の確率を示して9点

 p₂,p₃を求めて6点(各3点) (2)（配点10点）

 点Pが頂点Cにある確率が1p_nであることを述べて3点

 漸化式の立式の説明と答えに7点 (3)（配点5点）

 答えに5点

(1)（配点12点）

 Cの頂点Pの座標をa b,で表して4点

 PをD₁上の点として

t

で表して4点

 答えに4点 (2)（配点8点）

 Cの方程式をtで表し，面積

S

₁を求める定積分の式が立てられて2点

 途中の計算と答えに6点 (3)（配点15点）

 Sをtで表して6点

 Sの増減を調べて6点

 Pの座標を求めて3点

(1)（配点10点）

 背理法で証明する方針を立て， q

 p

32 q

 p

 

  

 

 

3 4 (p q, は互いに素な自然数)とおいて4点

 証明できて6点

(2)

2/4 (2)（配点10点）

 log₂a,log₂b,log₂c,log₂dから3個を取り出して和を考えた4つの数をA B C D, , , のように設定できて3点

 log₂a,log₂b,log₂c,log₂dいずれかの小数部分をaなどと設定して3点

 証明できて4点 (3)（配点15点）

 log₂a,log₂b,log₂c,log₂dの小数部分を

a

と設定し，3 個の数の和が整数になることから log₂●の形の現れない関係式を導いて4点

 上記のaに対し,a , ,1 2

0 3 3が必要であることを導いて6点

 a , ,1 2

0 3 3^に対し，a(またはb c d, , のいずれか)が有理数となるのはa0に限ることを述べて3点

(3)

3/4

【理系】（250点満点）

(1)（配点20点）

 PAQqを導いて10点

 AP²をqで表して5点

 答えに5点 (2)（配点30点）

 Sをqで表して6点

 Sをqで微分して6点

 p

q

0 2^で

dS

dq 0となるqをcos , p a 1 a

4 0 2^{のように設定できて}⁶^点

 Sの増減について述べ，最大値をもつことを示して6点

 答えに6点

(1)（配点20点）

 g a cos cos

q q

b a

   



2 1を導いて7点

 g a cos  isin 

q q

b a

    

 ^{(複号同順)を導いて}⁷^点

 wをa b g, , で表して4点

 wa

,

w b,wgを述べて4点

 問題文のzの方程式をwの方程式に直し，さらに分母を払って6点

 wを消去し，a b g, , の関係式を導いて6点

(1)（配点10点）

 A_n_₁ aA_nをaで表して4点

 A_n_₁ aA_nを因数a² a1で括り出せて4点

 残りの説明に2点 (2)（配点12点）

 {x_n}の漸化式を導いて3点

 数学的帰納法で証明する方針が立てられて3点

 上記の方針の下，n1のときを示せて3点

 nkの仮定の下，nk1での証明ができて3点

(4)

4/4 (3)（配点12点）

 背理法で証明する方針の下，x₁,x₂をそれぞれx₁ pA x,₂  pB p( は素数

,

A B, は整数)のように設定し，さらにa 1(pA )

2 1 を求めて6点

 x₁, ,x₂ aを消去し，p A B, , の間に成り立つ等式を導いて3点

 数学的帰納法で証明する方針が立てられて2点

 n k(1)での成立の仮定の下，n k1のときを証明するのに，背理法の仮定

, (

,

, )

k k

x_₁ pA x _₂ pB pは素数 A Bは整数のように設定できて4点

 x_kがpの倍数となることを示して8点

(1)（配点20点）

 全事象を把握し，状態の推移に関する場合の数(または確率)をそれぞれ求めて10点

 p₁を求めて4点

 p₂を求めて6点 (2)（配点30点）

 途中に黒球1個，白球2個の状態がないときとあるときの2つの場合分けができて4点

 途中に黒球1個，白球2個の状態がない場合の確率を求めて4点

 途中に黒球1個，白球2個の状態がある場合，黒球が2個のままで推移する回数と黒球が1個のままで推移する回数をk l,などで設定できて4点

 上記のk l,の範囲から黒球1個，白球2個の状態がある場合の確率をΣで表せて8点

 途中に黒球1個，白球2個の状態がある場合の確率を求めて4点

 n1の場合の確認と答えに6点

(1)（配点20点）

 f x( )を求め，f x( )の概形が描けて5点

 V₁を求める式が立てられて5点

 途中の計算と答えに10点 (2)（配点30点）

 V₂ V₁においてaを消去してtのみの形で表せて10点

 V₂ V₁をtの関数とみて，0t1での増減を調べて10点

 最大となるV₂ V₁の値，およびaの値に10点(各5点)

採点基準 数学（文系・理系）

第 2 回 11 月阪大本番レベル模試 （2018 年 11 月 4 日実施)