正則性について

正則性について

戸瀬 信之

， 年 月 日

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

SIin L ll Part^{o l .}

基本定理

◆ ⇣

定理 ~a₁, . . . ,~a_{`</sub> 2K<sup>n</sup> が線型独立であるとします．このとき A:= (~a<sub>1</sub> . . . ~a<sub>`})!· · ·!(~e₁ . . . ~e_`) となる行基本変形が存在します．

✓ ⌘

証明は`に関する帰納法を用います．

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

t.io

^い

が

^、

慧

.EE

^{い しこミ}主

音

、一

〇

一

=

川

lyg が

^{. に}

注意 j 瓷 o.io で

* 。

`= 1

のとき

~a16=~0_のとき~a1= 0 BB

@

0 a0i

1 CC

A, ai 6= 0 _{と表現できます．}

0 BB

@

0 a0i

1 CC A

!(i)~b:=⇣ai⌘_(ii)

!

ai

0 0

!

(iii)

!

10

0

!

=~e₁

ただし以下の行基本変形を用いました．

1r!ir, jr+ = 1r⇥

✓ bj

a_i

◆

(j= 2, . . . , n), 1r⇥= 1 a_i

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

a

FAT

「

正則

。

A _-

ぼ がり

。

> X ^°

[ 0

^{0 行}

期 変形

一一

bj

^{の たから}

辻本

^行子(1と

は

_行

.

かい

た

本行が

正則

<→ ←

min

`

まで とします．

A= (~a₁ . . . ~a_{`</sub> ~a<sub>`+1})!· · ·! 0 BB BB BB BB

@

1 c₁

1 c_{`</sub> c<sub>`+1}

c_n 1 CC CC CC CC A

このとき

c`+1

cn

!

6

=~0 となります．これからどうするか自分で表現しましょう．

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

et^、

行動 も

^城分

₀

⁼

職 髟

eti成分

-

鬨 Os

=t →

たこ

^{ー い}

た

^{- . -}

cet

、

「 いただく

と い

ない

^ー い

た

^{- . -}

eee

_{_} *

定理 の応用

◆ ⇣

定理 ~a₁, . . . ,~a_{`</sub> 2K<sup>n</sup> が線型独立であるとします．このとき P A= (~e<sub>1</sub> . . . ~e<sub>`})

を満たす（n_{次）正則行列}P _{が存在します．}

✓ ⌘

問題~a₁, . . . ,~a_{`</sub>2K<sup>n</sup> が線型独立であるとします．このとき~a<sub>`+1}, . . . ,~a_n2Kⁿ _{が存在して}

~a₁, . . . ,~a_{`</sub>,~a<sub>`+1}, . . . ,~a_n

が線型独立となります．これを定理 を用いて証明しましょう．

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

in

JET

_a 」

p c _{i E S} ) ⁼

A

^-

EEI

^-

En

⁾

=In

-

重

^{底の 延長。}

たいこ げた いっ た

⁼

が で

_、^と

恐

定理 の応用

◆ ⇣

定理 ~a₁, . . . ,~a_n2Kⁿ が線型独立であるとします．このとき A= (~a₁ . . . ~a_n)

は正則であることが分かります．

✓ ⌘

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

AE Milk )

A

正則 (

^{AE =8 お i}

)

^-

Titan

^LI.

-

定理

で

恐い な 器 で 呈し 点も 熱

定理 の応用

◆ ⇣

定理 n_{次正方行列}A= (~a₁ . . . ~a_n)2M_n(K) _に対して A_は正則,⇣

A~v=~0)~v=~0⌘

✓ ⌘

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

JT

^{へ 自明}

解

^しかない

と

her _CA) ⁼

1

⁸

3

"

は

E

心

_;

AE

⁼

か }

⇐)

が

、

一一

、

En

^は LI .

定理 の応用

◆ ⇣

定理 n_{次正方行列}A= (~a1 . . . ~an)2Mn(K) に対して以下は同値です．

Aは正則である．

あるX 2M_n(K)_に対してAX =I_n あるX 2Mn(K)_に対してXA=In

✓ ⌘

)(i) A~v=~0_{とすると両辺に}X_{を掛けると}

~0 =X~0 =XA~v=In~v=~v

)(i) Xが正則であることが分かります．このときAX =I_nからA=X ¹_が従い，A_も 正則であることが分かります．

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

pot

^{I XE Mn(IK) AX=XA=I、}

5

Pan

^{。 i}

) が

^「

断

^・

べ

^政

と 正明

⁼

正則

○

^{一 一}

-

Xに対して Ci_{) ci )}を使う。

次元 宀

選 A

^に

も 正方 行 が 1

d.

ⁿ

he

CA

)

^{= n -}

d

ⁱⁿ

In

_CA

)

he CA

) ⁼

log

^{' -) に}

い た と

も

( AT

⁼

が お が ) In ぐい CA ) 4 1 1

こと を

^{二 h}

こと で

Thieves しっとd m V = dmw いい FA : 心 単射→ が. FA : 心 . 全射→ 。心

ヨ

AX

⁼

In .ms た

:

全射

^{。 も}

で

^e

心 で

^こ

味 が :

○ 影 に だ が 沙 第 ら だ

xE

.

=

が とおく

、

AE

⁼

AX で

^二 _{I 、}

ここ で

- IF

_a ^:

全 単射

G

^-

Fi ! ! 心

^で

心

給 型

○

G

⁼

F

_× ^{ヨ XE}

Milk

⁾

FA

^・

G

⁼

G OF

a ⁼

Id

心

^ris

AX

⁼ _{× A} ⁼

I

_.

.

定理 の応用

定理 の`= 1のときの証明を用いると次の定理 を示したことになります．これは重要です．

◆ ⇣

定理 m_行n_列の行列A_に対して~a₁ 6=~0 _{ならば，ある}m_{次正則行列}P_{が存在して} P A=

0

@

1 b₂ · · · b_n

0 0

B

1 A

✓ ⌘

戸瀬 信之 正則性について ， 年 月 日

T

^{- _}

た"

だ も ない

^{。 」}