原 典 を 利 用 し た 高 次 方 程 式 の 授 業 に 関 す る 一 考 察
― 「H o r n e r 法 」「 数 学 九 章 」「 整 関 数 作 図 器 」 を 通 じ て ―
筑 波 大 学 大 学 院 修 士 過 程 教 育 研 究 科 森 本 貴 彦
１ ． は じ め に
２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法
３ ． 授 業 概 要 (1) 環 境
(2) 目 標 (3) 内 容
４ ． 結 果 ・ 考 察
５ ． お わ り に
要 約
2003 年 か ら 新 設 さ れ る 「 数 学 基 礎 」 で 数 学 史 が 利 用 さ れ る こ と を ふ ま え 、 本 研 究 で は 数 学 基 礎 以 外 の 科 目 で 数 学 史 を 取 り 入 れ 原 典 解 釈 と 追 体 験 を す る こ と で 、 数 学 基 礎 の 目 標 で 述 べ ら れ て い る 「 数 学 と 人 間 の か か わ り 」 や 「 興 味 ・ 関 心 を 高 め る 」 に い か に 影 響 し 、 科 目 内 容 の 理 解 に ど う つ な が る か に つ い て 考 察 を 行 っ た 。 高 次 方 程 式 に 関 す る 原 典 解 釈 と 追 体 験 を 行 う 授 業 を 通 し て 、 生 徒 の 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 が 高 ま る こ と が 確 認 で き 、 さ ら に 「 数 学 九 章 で の 解 法 」 や 「 整 関 数 作 図 器 に よ る 解 法 」 と ２ つ の 違 っ た 解 法 を 解 釈 し 追 体 験 す る こ と で 、 高 次 方 程 式 の 理 解 も 促 進 す る こ と が 確 認 で き た 。
１ ． は じ め に
「 分 数 の 計 算 が で き な い 大 学 生 が い る 」 と 報 じ ら れ た が 、 筆 者 は 、 こ れ は 算 数 ・ 数 学 を 受 験 の た め の 教 科 と し て 捉 え 、 算 数 ・ 数 学 そ の も の に 興 味 ・ 関 心 を 示 し て い な い 生 徒 が 多 い か ら で は な い か と 考 え る 。こ の 興 味 ・ 関 心 と い う 点 に つ い て は 、 高 等 学 校 で ２ ０ ０ ３ 年 か ら 新 設 さ れ る 「 数 学 基 礎 」 の 目 標 で も 「 数 学 と 人 間 の か か わ り や 、 社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 理 解 さ せ 、 数 学 に 対 す る 興 味 ・ 関 心 を 高 め る と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の 良 さ を 認 識 し 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る 。」 と 述 べ ら れ て い る 。 こ の 目 標 内 の 「 数 学 と 人 間 の か か わ り 」 と 「 興 味 ・ 関 心 を 高 め る 」 の ２ 点 に 関 し て は 、 原 典 解 釈 と 追 体 験 に よ る 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 が 目 標 達 成 の た め に 有 効 で あ る こ と が 、 高 橋(2001)、 伊 藤 (2001)、 熊 田(2001)、 臼 田(2001)に よ っ て 既 に 示 さ れ て い る 。
し か し 、 筆 者 は 恩 田(1999)が 「 数 学 史 の 扱 い は 、 生 徒 の 興 味 ・ 関 心 を 喚 起 す る の に 役 立 つ の か も し れ な い が 、「 数 学 基 礎 」 と い う １ つ の 科 目 で 扱 う べ き も の で
は な い と 思 わ れ る 。」 と 指 摘 す る よ う に 、 興 味 ・ 関 心 を 持 続 し 、 さ ら に 高 め て い く に は 、 数 学 史 を 他 の 科 目 で も 扱 う 必 要 性 が あ る と 感 じ て お り 、 ま た 数 学 基 礎 以 外 の 科 目 で 数 学 史 利 用 の 際 に も 、 恩 田(1999)、 礒 田 ・ 土 田(2001)や 礒 田(2001)の 立 場 か ら 、 原 典 を 用 い た 数 学 史 指 導 が 有 効 で あ り 、 原 典 利 用 に 関 し て は 、 生 徒 が 解 釈 す る こ と が 重 要 で あ る と 考 え る 。
以 上 を ふ ま え て 、 通 常 他 の 数 学 科 目 で 取 り 上 げ ら れ て い る 内 容 を 題 材 と し た 原 典 を 利 用 し た 授 業 の 結 果 、 生 徒 は 数 学 史 と そ の 科 目 内 容 を 比 較 し な が ら 今 の 数 学 を 意 識 し 、 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 が ど の よ う に 変 化 し て い る か 、 ま た 科 目 内 容 に つ い て の 理 解 が い か に 変 わ っ て い る か に つ い て 考 察 す る 。
２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法
研 究 目 的 … 数 学B(2003年 か ら は 数 学 Ⅱ)で 扱 わ れ る 高 次 方 程 式 に 関 す る 原 典 を 用 い 、 生 徒 が 原 典 を 解 釈 し 、 人 の 営 み と し て の 数 学 を 意 識 す る こ と で 、 生 徒 は 昔 と今 の 高 次 方 程 式 の 解 法 を 比 較 し な が ら 今 の 数 学 を 意 識 し 、 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 は ど の よ う に 変 化 す る か 、 さ ら に 高 次 方 程 式 へ の 理 解 は い か に 変 化 す る か に つ い て 考 察 す る 。
研 究 方 法 … 上 記 の 目 的 を 達 成 す る た め に 、 以 下 の 課 題 を 設 定 し 、 事 前 ・ 事 後 ア ン ケ − ト 、 授 業 テ キ ス ト と 授 業 を 記 録 し た ビ デ オ に 基 づ き 考 察 を 行 う 。 課 題 １ … 生 徒 が 親 近 感 を 示 す で あ ろ う 中 国 ・ 東 洋 の 高 次 方 程 式 に 関 す る 原 典
を 解 釈 し 、 独 自 の 方 法 を 追 体 験 す る こ と に よ り 、Horner 法 と の 比 較 を 通 し て 今 の 数 学 を 再 認 識 す る こ と が で き る か 。
課 題 ２ … 高 次 方 程 式 を 解 く た め の 作 図 器 を 解 釈 し 、Cabri GeoetryⅡ を 用 い た 追 体 験 を す る こ と に よ り 、 今 と は 大 き く 違 っ た 解 法 を 体 験 す る こ と で 、 今 の 数 学 と 比 較 し 再 認 識 す る こ と が で き る か 。
課 題 ３ … 課 題 １ 、 課 題 ２ を 通 し て 自 分 た ち が 学 ん で い る 数 学 を 意 識 し 、 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 は ど の よ う に 変 化 す る か 。
課 題 ４ … 課 題 １ 、 課 題 ２ を 通 し て 高 次 方 程 式 に 対 す る 考 え 方 を 見 直 し 、 高 次 方 程 式 に 対 す る 理 解 を 促 進 す る こ と が で き る か 。
３ ． 授 業 概 要 (1) 環 境
① 対 象
茨 城 県 私 立 高 校 ２ 年 生 １ ８ 名
② 期 間
平 成 13 年 12 月 17日 6 時 間 目 18日 5 時 間 目
19日 1 時 間 目 の 計 ３ 時 間 (事 前(平 成 13年 12 月 15 日 2 時 間 目)に
Cabri GeometryⅡ の 指 導 会 実 施)
③ 準 備
コ ン ピ ュ − タ(Windows)、Microsoft Power Point、
Cabri GeometryⅡ 、 ビ デ オ プ ロ ジ ェ ク タ − 、
事 前 ア ン ケ − ト 、 事 後 ア ン ケ − ト 、 授 業 テ キ ス ト 、 参 考 プ リ ン ト
(2) 目 標
中 国 ・ 東 洋 の 高 次 方 程 式 に 関 す る 原 典 と し て 「 数 学 九 章 」、 高 次 方 程 式 を 解 く た め の 作 図 器 に 関 す る 原 典 と し て 「 デ ィ ド ロ の 『 百 科 全 書 』」 を 題 材 と し 、 解 釈 と 追 体 験 を 通 し て 、 今 の 数 学 を 意 識 し 、 高 次 方 程 式 に 対 す る 理 解 を 促 進 す る 。
(3) 内 容
① Cabri GeometryⅡ 指 導 会
普 段 Cabri GeometryⅡ を 利 用 し て い な い の で 、Cabri GeometryⅡ を 使 っ た 授 業 を 円 滑 に 進 め る た め に 、 １ 時 間 を 用 い て 、 取 り 消 し 、 点 の 作 図 、 直 線 の 作 図 、 線 分 の 作 図 、 垂 線 の 作 図 、 平 行 線 の 作 図 、 点 の 移 動 、 直 線 の 移 動 、 ト レ − ス を と る な ど の 方 法 に つ い て 指 導 を 行 っ た 。
② １ 時 間 目(Horner法 と 数 学 九 章 の 解 釈 と 追 体 験)
・ x4−15x3+2x2−25x−75=0 を Horner 法 で 解 く こ と を 事 前 課 題 と し て い た が 、 授 業 者 が 生 徒 の 状 況 か ら 判 断 し 、Horner 法 が 組 み 立 て 除 法 そ の も の で あ る こ と を 生 徒 に つ か ま せ る こ と を 意 図 し た 発 問 を 行 い な が ら 、PowerPointを 用 い て Horner 法 の 理 解 を 進 め た 。 (こ こ で は 、 生 徒 の 方 か ら 組 み 立 て 除 法 と い う 言 葉 を 引 き 出 せ な か っ た が 、 こ れ ま で の 学 習 の 中 で 同 様 の 方 法 を 行 っ た こ と が あ る と 認 識 さ せ る こ と は で き た 。)
・ x4−15x3+2x2−25x−75=0の 解 が 15と な る 過 程 を 再 検 討 し 、Horner 法 に つ い て 気 付 い た 点 を 生 徒 に 発 言 さ せ た 。 そ の 中 で 、x−10で 割 っ た そ れ ぞ れ の 商(図 １ の 下 線 部)の 最 高 次 係 数 に 注 目 す る 発 言 か ら 、 Horner 法 の 特 徴 が 次 数 を 下 げ て 高 次 方 程 式 を 解 く 方 法 で あ る こ と を お さ え た 。 さ ら に 、 時 代 認 識 を き っ ち り す る た め 、Horner 法 を 考 え 出 し た 時 代 が 17 世 紀 で あ る こ と を つ か ま せ た 。
・ 数 学 九 章 が 書 か れ た 当 時 の 中 国 の 算 木 を 用 い た 記 数 法(図 ２ 参 照) を 事 前 課 題 と し て い た の で 、PowerPoint 上 に 同 様 の 数 を 示 し て 、 そ の 数 が い く つ で あ る か を 答 え さ せ な が ら 、当 時 の 数 の 表 し 方 を 生 徒 に 体 験 さ せ た 。
【 対 話 １ 】
教 師 ：「 ど ん な 数 字 を 表 し て い ま す か ？ 」 生 徒 ：「 … ？ 」
教 師 ：「 左 か ら 2,0,0,1,1,2,1,5で す ね 。」
教 師 ：「 で は 、 こ の 数 字 は い く ら を 表 し て い ま す か ？ 」
生 徒 ：「852。」
教 師 ：「 そ う で す ね 、 順 に 8, 5,2、852 を 表 し て い ま す ね 。」
・ 原 典 と し て 扱 う 数 学 九 章 に つ い て 、13世 紀 に 秦 九 韶 に よ っ て 書 か れ た も の で あ る こ と な ど を 生 徒 に 紹 介 し た 。
・ 数 学 九 章 の 中 で 記 さ れ て い る 高 次 方 程 式(図 ３ 参 照)を 、 原 典 に 記 さ れ て い る 規 則(方 程 式 の 定 数 項( 実 と 呼 ん だ)を 第 ２ 層 に お き 、 得 数(方 程 式 を 解 い て 得 る こ と の で き る 数)で あ る 商 を 最 上 層 に お く 。 以 下 、 上 か ら 下 へ 順 次 x の １ 次 項 、 ２ 次 項 …(そ れ ぞ れ を 廉 と 呼 ん だ)と な ら べ 、 最 下 層 に 最 高 次 項 の 係 数( 隅 と 呼 ん だ)を お く こ と や 商 は 必 ず 正 と し 、 定 数 項 す な わ ち 実 の 符 号 は 必 ず 負 と し て お り 、 そ れ 以 外 の 係 数 に つ い て は 、 正 負 を 問 わ ず 、 図 の 中 で 従 は 正
を 表 し 、 益 は 負 を 表 す こ と)に つ い て の 記 述 を も と に −x4+763200x2
−40642560000=0 と 表 記 さ せ た 。
【 図 ２ 】算 木 を 用 い た 記 数 法
【 図 ３ 】
方 程 式 x4−15x3+2x2−25x−75=0 は 、10 と 20 の 間 に 解 が あ る と わ か る 。
x4−15x3+2x2−25x−75 を x−10 で 割 る と 、(x−10)( x3−5x2−48x−505)−5125=0 x3−5x2−48x−505 を x−10 で 割 る と(x−10){( x−10)( x2+5x+2)−485}−5125=0
【 図 １ 】Horner 法 解 説(Horner 法 の 最 初 の み 示 す 。 以 下 同 様 の 手 順 で 進 め る)
・ こ の 方 程 式 が 、 土 地 の 面 積 を 求 め る 過 程 で 作 ら れ た も の で あ る こ と を 紹 介 し 、 数 学 九 章 で の 高 次 方 程 式 の 解 法 を 最 初 は 原 典(図 ４ 参 照) そ の も の を 用 い て 解 釈 さ せ た 。 そ の 後 生 徒 の 進 み 具 合 か ら 判 断 し 、 日 本 語 に 訳 し た も の を 用 い て 解 釈 を 進 め た 。(写 真 １ 参 照)
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨
・ 数 学 九 章 で の 高 次 方 程 式 の 解 法 を 図 ５ の よ う な ４ 次 方 程 式(x4−15x3 +2x2−25x−75=0)を 例 と し て 追 体 験 さ せ た 。(写 真 ２ 参 照)
【 写 真 １ 】 数 学 九 章 で の 方 法 を 解 釈
【 図 ４ 】 数 学 九 章 で の 高 次 方 程 式 の 解 法
(解 法 の 最 初 の み 示 す 。 以 下 同 様 の 手 順 で
○
21ま で 進 め る)・ 追 体 験 後 に 、Horner 法 と 数 学 九 章 で の 解 法 を 比 較 し 、 同 様 の 方 法 が 行 わ れ て い る こ と を 結 論 と し て １ 時 間 目 を ま と め た 。
【 対 話 ２ 】
教 師 ：「 こ の 方 法 を 通 じ て 、 何 か 感 じ る こ と は あ り ま す か ？ 」
生 徒 ：「 商 を 10に し て い る 」
教 師 ：「 そ う だ ね 。最 初 は 1 0に し て い る ね 。こ の 方 法 、 ど こ か で 見 た ？ 」 生 徒 ：「Horner」
教 師 ：「 そ う ！Horner の 方 法 だ ね 。」
③ ２ 時 間 目(高 次 方 程 式 を 解 け る 作 図 器 を 解 釈 し 、Cabri GeometryⅡ を 用 い て 追 体 験 す る)
(２ 時 間 目 は 原 典 に 忠 実 に ２ 次 方 程 式 の 解 法 に つ い て 行 っ た)
・ デ ィ ド ロ の 『 百 科 全 書 』 に つ い て 、18世 紀 の フ ラ ン ス を 代 表 す る 百 科 事 典 で あ る と い う 紹 介 を 行 い 、 写 真 で デ ィ ド ロ の 『 百 科 全 書 』 を 提 示 し た 。
・ デ ィ ド ロ の『 百 科 全 書 』で 示 さ れ て い る 作 図 器(図 ４ 参 照)に つ い て 、 原 典 と 英 語 訳(図 ７ 参 照)を 用 い て 紹 介 を 行 っ た 。
【 図 ５ 】
【 写 真 ２ 】 数 学 九 章 で の 方 法 を 追 体 験
【 図 ６ 】 デ ィ ド ロ の 『 百 科 全 書 』 で 示 さ れ て い る 作 図 器
【 図 ７ 】 作 図 器 の 紹 介(英 語 訳)
【 対 話 ３ 】
生 徒 ：「 な ぜ 道 具 を 使 う ん で す か ？ 」 教 師 ：「 う 〜 ん 、 そ れ は い い 質 問 だ ね 。」
・ 作 図 器 の 構 造 と 使 い 方 に つ い て 、 原 典 と 英 語 訳 を 用 い て 解 釈 さ せ 、 授 業 者 が 生 徒 の 状 況 か ら 判 断 し 、 日 本 語 訳 を 配 布 し 、 解 釈 を さ ら に 進 め た 。(写 真 ３ 参 照)
・ 原 典 に 示 さ れ た 作 図 器 の 構 造 図(図 ８ 参 照)を も と に 作 成 し た Cabri GeometryⅡ の フ ァ イ ル(図 ９ 参 照)を 用 い て 、x2+2x+1=0 を 例 と し て 作 図 器 の 使 い 方 を 追 体 験 さ せ た 。
・ 作 図 器 を 使 っ て 方 程 式 の 根 が 求 め ら れ る と い う こ と を 再 度 確 認 し て 、原 典 の 記 述 を も と に 高 次 方 程 式 の 根 を 作 図 器 を 用 い て 解 く と い う こ と に 注 目 さ せ た 。
(次 の 時 間 で は ３ 次 に つ い て チ ャ レ ン ジ す る こ と を 伝 え 、そ の た め の 準 備 と し て 、 さ ら な る 道 具 の 解 釈 を 宿 題 と し た 。)
【 写 真 ３ 】 作 図 器 を 解 釈 す る
【 写 真 ４ 】 作 図 器 の 使 い 方 を 追 体 験 す る
【 図 ９ 】
【 図 ８ 】 原 典 に 示 さ れ た 作 図 器 の 構 造 図
④ ３ 時 間 目(３ 次 方 程 式 を 解 け る 作 図 器 を 自 ら 作 り 、 作 図 器 の 理 解 を 進 め 、 ３ 時 間 全 体 の ま と め を す る)
・ 前 時 の 復 習 と 作 図 器 に つ い て の 解 釈 を 進 め る こ と を 意 図 し て 、 Cabri GeometryⅡ で 作 図 器 を 表 現 し た も の(図 ９ 参 照)を 用 い て 、
−2x2+3x+2=0を 解 か せ た 。
・ こ れ ま で の ２ 次 方 程 式 を 解 く こ と が で き る 作 図 器 に 対 す る 解 釈 と 追 体 験 を 基 に 、作 図 器 に 用 い ら れ て い る 考 え 方 を つ か ま せ る た め 、 ３ 次 方 程 式 を 解 く こ と の で き る 作 図 器 を Cabri GeometryⅡ を 用 い て 作 成 さ せ た 。(写 真 ５,６ 参 照)
【 対 話 ４ 】
生徒：「 こ れ は 100 次 も で き る ん で す か ？ 」 教 師 ：「 で き る よ 。」
生 徒 ：「 全 部 作 ら な い と い け な い ん で す か ？ 」
教 師 ：「 そ う だ ね 。」
生 徒 ：「 応 用 は す ぐ で き そ う ！ 」 教 師 ：「 す ば ら し い じ ゃ な い で す か 。」
・ 授 業 者 が 生 徒 の 状 況 か ら 判 断 し 、 途 中 ま で 授 業 者 主 導 で 作 図 器 を 作 成 さ せ た 。
・ ・ 生 徒 の 理 解 が 進 み 、 生 徒 が 自 ら 作 成 し て い る こ と が 確 認 で き た の で 、 生 徒 に 発 表 さ せ な
・ が ら 作 成 を 完 了 さ せ た 。
・
・ 作 成 し た 作 図 器 を 用 い て 、 ３ 次 方 程 式 が 解 け る こ と を 確 認 さ せ た 。
・ 作 図 器 の 構 造 を ま と め 、２ 次 の 曲 線 が １ 次 で 描 け る こ と に 注 目 さ せ る 。
・ ３ 時 間 ト − タ ル し て 、次 数 を 下 げ て 考 え る と い う 観 点 で 、Horner 法 ・ 数 学 九 章 ・ 整 関 数 作 図 器 を つ な げ 、 ま と め と し た 。
【 写 真 ５ 】 原 典 か ら ３ 次 の 作 図 器 を 考 え る
【 写 真 ６ 】 ３ 次 の 作 図 器 を 作 成 し て い る
４ ． 結 果 ・ 考 察
事 前 ・ 事 後 ア ン ケ − ト と 生 徒 の 各 時 間 終 了 後 の 感 想 の 抜 粋 を 結 果 と し て 示 す 。
１ 時 間 目 終 了 後 の 感 想
① そ ん な 昔 か ら 方 程 式 が 解 か れ て い る と は 思 わ な か っ た 。 昔 の 式 を 理 解 し よ う と し て も 難 し い こ と が わ か っ た 。
② 難 し か っ た 。 で も あ れ が あ っ て 数 学 が 進 歩 し た か も っ て 思 っ た 。
③ お も し ろ か っ た 。 も っ と い ろ ん な や り か た を た め し た い 。
④ Horner の 方 法 の や り 方 を 実 は 今 日 ま で よ く 理 解 し て い な か っ た け ど 、今 日 でや り 方 は わ か っ た 。
⑤ 中 国 の 数 学 の 意 外 性 を 感 じ た 。
⑥ 数 学 九 章 は や り 方 が 難 し か っ た 。 今 ま で 全 く 見 た こ と も な か っ た 中 国 の 数 字 と か が で き て よ か っ た 。 昔 の 中 国 人 は す ご い と 思 っ た 。
２ 時 間 目 終 了 後 の 感 想
⑦ 最 初 あ ん な 機 械 で 計 算 な ん て で き ん の か よ − と 思 っ た け れ ど 、 で き る と わ か っ た の で 、 す ご か っ た 。
⑧ 機 械 で 方 程 式 を 解 け る と は 思 わ な か っ た 。 今 ま で の 解 き 方 と 違 っ て グ ラ フ を 描 い て 求 め る の で 、 よ り よ い も の だ と 思 っ た 。
⑨ 使 っ て い て 難 し い 道 具 だ っ た け れ ど 、 グ ラ フ(放 物 線 な ど)が 描 け て 、 答 え が で た と き は 感 動 し た 。 フ ラ ン ス 人 は 偉 大 だ 。
⑩ 本 当 に 道 具 を 使 っ て 計 算 が で き る と わ か っ て 昔 の 人 は す ご い と 思 っ た 。 ２ 次 関 数 が 直 線 だ け で 描 け る と は 、 知 ら な か っ た 。
事 前 ・ 事 後 ア ン ケ − ト の (1)数 学 は 好 き で す か ？
a好 き b ど ち ら か と い え ば 好 き cふ つ う d ど ち ら か と い え ば 嫌 い e嫌 い (2)そ れ を 選 ん だ 理 由
と い う 問 い へ の 回 答 の 変 化(以 下 、 事 前 → 事 後 の 形 で 表 す)
⑪(1)に 対 し 「c」 (1)に 対 し 「b」
(2)に 対 し 「 得 意 じ ゃ な い か ら 」 (2)に 対 し 「 意 外 と 楽 し い か ら 」
⑫(1)に 対 し 「c」 (1)に 対 し 「b」
(2)に 対 し 「 解 け れ ば い い け ど 、 (2)に 対 し 「 解 い て い る の は 嫌 い で は わ か ら な い の が 多 い か ら 」 な い か ら 」
以 下 、 こ の 結 果 と 授 業 中 の 対 話 を 基 に 、 課 題 １ 〜 課 題 ４ に つ い て 考 察 を 行 う 。
課 題 １ … 生 徒 が 親 近 感 を 示 す で あ ろ う 中 国 ・ 東 洋 の 高 次 方 程 式 に 関 す る 原 典 を 解 釈 し 、 独 自 の 方 法 を 追 体 験 す る こ と に よ り 、Horner 法 と の 比 較 を 通 し て 今 の 数 学 を 再 認 識 す る こ と が で き る か 。
ま ず 、 ３ ． 授 業 概 要(3)内 容 で の 【 対 話 １ 】(以 後 、【 対 話 ○ 】 と 表 す)で は 、 当 時 の 中 国 の 数 文 化 を 解 釈 し 追 体 験 す る と と も に 、【 対 話 ２ 】 で は 、 生 徒 は 当 時 の 中 国 の 高 次 方 程 式 の 解 法 を 解 釈 し 追 体 験 し 、 今 の 数 学 に 近 い Horner 法 と の 比 較 を 行 っ た 結 果 、 や っ て い る こ と は 同 じ だ と 感 じ て い る 。 つ ま り 、 今 や っ て い る 数 学 を 再 認 識 で き て い る と 考 え ら れ る 。
さ ら に 、 事 後 ア ン ケ − ト の ⑬ や １ 時 間 目 終 了 後 の ① の 感 想 か ら 、 生 徒 が 当 時 の 中 国 の 独 自 の ス タ イ ル を 解 釈 し 、 そ の 結 果 と し て す ご い や 難 し い と い う 感 想 を 示 し て い る と 考 え ら れ る 。 以 上 の 結 果 と 、 事 後 ア ン ケ − ト で の ⑭ や １ 時 間 目 終 了 後 の ⑤ や ⑥ の 感 想 か ら 、 当 時 の 数 学 と 今 の 数 学 を 比 較 し て い た の で は な い か と 考 え ら れ る 。 そ の 結 果 と し て ② の よ う な 感 想 を 持 つ 生 徒 が い た の で は な い か と 考 え ら れ る 。
事 後 ア ン ケ − ト の 「 あ な た は 中 国 の 数 学 に つ い て 、 ど の よ う な イ メ ー ジ を 持 っ て い ま す か ？ 」 と い う 問 い へ の 回 答
⑬ 数 学 九 章 、 １ ３ 世 紀 か ら す ご い 。(算 木 に よ る 記 数 法 を さ し て)独 自 の ス タ イ ル を 持 っ て い た 。
⑭ す ご い け れ ど 、 わ か り に く い 。
事 後 ア ン ケ − ト の 「 こ の 授 業 を 通 し て 変 わ っ た こ と な ど が あ れ ば 、 自 由 に 書 い て 下 さ い 。」 と い う 問 い へ の 回 答
⑮ 昔 の 人 の 方 が 数 学 に つ い て よ く 知 っ て い る 。
⑯ 高 次 方 程 式 は い ろ い ろ な 解 き 方 が あ り ま し た 。 い ろ ん な こ と 学 び ま し た 。
⑰ 新 し い 発 見 が で き て お も し ろ か っ た 。
⑱ Horner の 方 法 は い ろ ん な こ と に 役 立 っ て い る の だ と 分 か っ た 。
⑲ 方 程 式 に つ い て 、 ず い ぶ ん 昔 か ら い ろ い ろ な 人 が 工 夫 し て と き 方 を 考 え て い た の だ な と 思 っ た 。
⑳ カ ブ リ の 使 い 方 が 分 か る よ う に な っ た 。
課 題 ２ … 高 次 方 程 式 を 解 く た め の 作 図 器 を 解 釈 し 、Cabri GeoetryⅡ を 用 い た 追 体 験 を す る こ と に よ り 、 今 と は 大 き く 違 っ た 解 法 を 体 験 す る こ と で 、 今 の 数 学 と 比 較 し 再 認 識 す る こ と が で き る か 。
ま ず 、【 対 話 ３ 】 か ら 、 フ ラ ン ス の 当 時 の 数 学 を 理 解 し よ う と し て い る と 考 え ら れ 、【 対 話 ４ 】 で は 、 フ ラ ン ス の 当 時 の 解 法 を 作 図 器 の 解 釈 を も と に 追 体 験 す る 中 で 、 作 図 器 、 つ ま り 当 時 の 解 法 を 理 解 し 、 自 分 の 知 っ て い る 数 学 を 意 識 し 、 結 び つ け る こ と で 、 さ ら な る 発 展 を 今 の 数 学 で 考 え よ う と し て い る と 考 え ら れ る 。 ま た 、 ２ 時 間 目 終 了 後 の ⑦ の 感 想 は 、 今 の 数 学 を 基 に し て で き ん の か よ − と 思 っ て い た が 、 生 徒 が 作 図 器 を 解 釈 し 、 作 図 器 を 用 い た 解 法 を 追 体 験 す る こ と を 通 し て で き る と わ か り 、 今 の 数 学 を 問 い 直 し て い る と 考 え ら れ る 。 さ ら に 、 ２ 時 間 目 終 了 後 の ⑧ の 感 想 は 、 作 図 器 に よ っ て 描 か れ る 曲 線 を 自 分 の 知 っ て い る 数 学 と 照 ら し 合 わ せ グ ラ フ と 判 断 し 、 自 分 が 知 っ て い る 解 法 と 比 較 し て よ り よ い も の と し て い る と 考 え ら れ る 。
課 題 ３ … 課 題 １ 、 課 題 ２ を 通 し て 自 分 た ち が 学 ん で い る 数 学 を 意 識 し 、 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 は ど の よ う に 変 化 す る か 。
１ 時 間 目 終 了 後 の ③ や ⑥ の 感 想 、 ２ 時 間 目 終 了 後 の ⑨ や ⑩ の 感 想 、 事 後 ア ン ケ
− ト の ⑮ の 感 想 の よ う に 、 解 釈 や 追 体 験 を 通 し て 昔 の 人 の す ご さ を 感 じ る こ と で 感 動 し て い る 面 が 見 ら れ る 。さ ら に 、⑪ や ⑫ の 事 前 ・ 事 後 ア ン ケ − ト の 変 化 、 特 に 理 由 の 変 化 に 着 目 す る と 、 楽 し い や 嫌 い で は な い と い う 言 葉 を 使 っ て い る こ と か ら 、 数 学 に 興 味 ・ 関 心 を 示 し た と 考 え ら れ る 。
課 題 ４ … 課 題 １ 、 課 題 ２ を 通 し て 高 次 方 程 式 に 対 す る 考 え 方 を 見 直 し 、 高 次 方 程 式 に 対 す る 理 解 を 促 進 す る こ と が で き る か 。
１ 時 間 目 終 了 後 の ③ や ④ の 感 想 、 ２ 時 間 目 終 了 後 の ⑧ の 感 想 、 事 後 ア ン ケ − ト の ⑯ や ⑰ や ⑱ や ⑲ の 感 想 か ら 、 生 徒 が 今 知 っ て い る 高 次 方 程 式 の 解 法 と つ な が る Horner 法 や 数 学 九 章 で の 高 次 方 程 式 の 解 法 と 生 徒 が 今 知 っ て い る 高 次 方 程 式 の 解 法 と 大 き く 異 な っ た 作 図 器 を 用 い た 高 次 方 程 式 の 解 法 を 解 釈 し 、 追 体 験 す る こ と で 、 高 次 方 程 式 へ の 理 解 も 進 ん だ と 考 え ら れ る 。 こ こ で 、 事 後 ア ン ケ − ト の ⑯ や ⑰ の 感 想 か ら 、 ２ つ の 異 な っ た ア プ ロ − チ を 行 っ て い る こ と で 、 多 様 な 考 え 方 を も ち 、 理 解 の 促 進 を 助 け て い る と 考 え る こ と が で き る 。
５ ． お わ り に
こ の 研 究 で は 、「 数 学 基 礎 」 の 中 で 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 を 行 う こ と で 、 生 徒 の 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 が 高 ま っ た 際 に 、 数 学 基 礎 以 外 の 科 目 に も 生 徒 が 一 次 文 献 で あ る 原 典 を 解 釈 し 、 当 時 の 考 え 方 を 追 体 験 す る 方 法 で 、 数 学 史 を 利 用 し て い く こ と で 、 興 味 ・ 関 心 の ど の よ う に 変 化 す る か 、 さ ら に 科 目 内 容 の 理 解 は ど の よ う に 変 化 す る か を 考 察 し た 。
今 回 の 授 業 を 通 じ て 、 生 徒 自 身 は 昔 と 今 の 数 学 と を 比 較 し つ つ 、 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 を 高 め 、 生 徒 が 今 知 っ て い る 解 法 と つ な が る 解 法 と 生 徒 が 今 知 っ て い る 解 法 と 大 き く 異 な っ た 解 法 と い う ２ つ の 異 な っ た ア プ ロ − チ を 解 釈 し 追 体 験 す る こ と で 、 科 目 内 容 へ の 理 解 も 進 ん だ と 考 え ら れ る 。 た と 考 え ら れ る 。
し か し 、 今 回 の 授 業 で は 、 ２ 時 間 目 の Cabri GeometryⅡ の 使 い 方 に 問 題 が あ っ た と 考 え て い る 。 作 図 器 解 釈 の 際 に 作 図 器 の 動 き の イ メ − ジ が つ か め な い 生 徒 が 多 く 、 追 体 験 に Cabri GeometryⅡ を 使 っ た こ と で 、 事 後 ア ン ケ − ト の ⑳ の 感 想 に 見 ら れ る よ う に 、Cabri GeometryⅡ の す ご さ が 目 立 っ て し ま い 、 作 図 器 そ の も の の 追 体 験 が で き た か ど う か 疑 問 が 残 る 。 作 図 ツ − ル を 用 い る こ と で 生 徒 の 理 解 は 増 す で あ ろ う が 、 こ の 授 業 の 中 で 原 典 解 釈 や 追 体 験 と い か に 共 存 さ せ て い く か が 今 後 の 課 題 と 考 え る 。
謝 辞
研 究 授 業 を 行 う に あ た っ て 、 私 立 茗 渓 学 園 の 尾 島 義 之 先 生 、 黒 澤 紀 久 先 生 を は じ め 、 数 学 科 の 先 生 方 に 貴 重 な ご 意 見 、 ご 協 力 を い た だ き ま し た 。 厚 く 御 礼 申 し 上 げ ま す 。
註 １
本 研 究 は 、 筑 波 大 学 学 内 プ ロ ジ ェ ク ト 研 究 （ 助 成 研 究 Ｂ ： 研 究 代 表 者 礒 田 正 美 ）「 イ ン タ ー ネ ッ ト 上 の 数 学 博 物 館 の 開 発 ・ 評 価 研 究 」 の 一 貫 と し て 行 わ れ た 。
註 ２
授 業 の 詳 細 、 並 び に 資 料 は 次 に 掲 示 し て い る 。 http://www.mathedu-jp.org
参 考 文 献
・ 文 部 省(1999)． 高 等 学 校 指 導 要 領
・ 高 橋 秀 樹(2001)． 高 校 数 学 に お け る 数 学 史 の 導 入 に 関 す る 一 考 察 ： ア ポ ロ ニ ウ ス の 問 題 の 解 法 を 通 し て ， 世 界 の 教 育 課 程 改 革 の 動 向 と 歴 史 文 化 志 向 の 数 学 教 育 ： 代 数 ・ 幾 何 ・ 微 積 For All プ ロ ジ ェ ク ト の 新 展 開 ，p143-p160
・ 伊 藤 賢 二 郎(2001)． 数 学 観 を 変 容 さ せ る 数 学 史 の 効 果 ： 中 世 代 数 史 を 用 い 、 数 学 を 文 化 と し て 捉 え る こ と を ね ら っ て ， 世 界 の 教 育 課 程 改 革 の 動 向 と 歴 史 文 化 志 向 の 数 学 教 育 ： 代 数 ・ 幾 何 ・ 微 積 For All プ ロ ジ ェ ク ト の 新 展 開 ，p174-p184
・ 熊 田 真 一(2001)． 文 化 と し て の 数 学 学 習 に 関 す る 一 考 察 ： 方 程 式 の 解 の 公 式 の 歴 史 解 釈 を 通 し て ， 世 界 の 教 育 課 程 改 革 の 動 向 と 歴 史 文 化 志 向 の 数 学 教 育 ： 代 数 ・ 幾 何 ・ 微 積 For All プ ロ ジ ェ ク ト の 新 展 開 ，p185-p194
・ 臼 田 要 介(2001)． 生 徒 の 数 学 観 を 変 容 さ せ る た め の 数 学 史 の 活 用 に つ い て ：「 カ バ リ エ リ の 定 理 」 の 教 材 を 通 し て ， 世 界 の 教 育 課 程 改 革 の 動 向 と 歴 史 文 化 志 向 の 数 学 教 育 ： 代 数 ・ 幾 何 ・ 微 積 For All プ ロ ジ ェ ク ト の 新 展 開 ，p222-p235
・ 恩 田 洋 一(1999)． １ 次 文 献 を 利 用 し た 数 学 史 教 育 に 関 す る 一 考 察 ：「 数 学 基 礎 」 に 関 連 し て ， 修 士 論 文 ， 筑 波 大 学 ， つ く ば 市 ， 茨 城 県 ．
・ 礒 田 正 美 ・ 土 田 知 之(2001)． 異 文 化 体 験 を 通 じ て の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ， 第 25 回 日 本 科 学 教 育 学 会 年 会 論 文 集 ，p497-p498
・ 礒 田 正 美(2001)． 数 学 的 活 動 論 、 そ の 解 釈 学 的 展 開 ， 第 34 回 日 本 数 学 教 育 学 会 論 文 発 表 会 論 文 集 ，p223-p228
・ ジ ョ − ジ ・G・ ジ ョ − ゼ フ(1996)． 非 ヨ − ロ ッ パ 起 源 の 数 学 ， 講 談 社 ，p199-p206， p271-p275
・ 王 雲 五 編 四 庫 全 書 珍 本 別 輯 数 学 九 章 二
・ 銭 宝 琮 編(1990， 川 原 秀 城 訳)． 中 国 数 学 史 ， み す ず 書 房 ，p168-p172
・ ENCYCLOPEDIE：SUITE DU RECUEIL DE PLANCHES，SUR LES SCIENCES，
LES ARTS LIBERAUX，ET LES ARTS MECHANIQUES，AVEC LEUR EXPLICATION．TOME XⅡ
・ ENCYCLOPEDIE：NOUVEAU DICTIONNAIRE， POUR SERVIR DE
SUPPLEMENTAUX DICTIONNAIRES DES SCIENCES， DES ARTS ET DES METIERS，PAR UNE SOCIETE DE GENS DE LETTERS．TOME SECOND
・ ENCYCLOPEDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNE DES SCIENCES DES ARTS ET DES METIERS：Nouvelle impression en facsimile de la premiere edituion de 1751-1780．Volume 33．14E33Nr.33
・ ENCYCLOPEDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNE DES SCIENCES DES ARTS ET DES METIERS：Nouvelle impression en facsimile de la premiere edituion de 1751-1780．Volume 19．p832-p835
・ PHILOSOPHICAL TTRANSACTIONS，GIVING SOME ACCOUT OF THE Present Undertakings，Studies，and Labours，OF THE INGENIOUS，IN MANY
Considerable Parts of the WORLD．P240-p253
・John Fauvel・Jan van Maanen 編 ．History in Mathematics Education．p213-p232
・ Wei-Chi Yang・Yahya Abu Hasan編 ．Computer Technology in Mathematical Research and Teaching．P140-p141
・ 黒 田 稔(1927)． 数 学 教 授 の 新 思 潮 ． 培 風 館 ．P299-p300
