母関数、分布の再生性
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
∫
∑
∞ +
∞
−
（モーメント 母関数） 連続型
） 階乗モーメント母関数
dxx f tx tX
E
k X P t t
E t
M k
k X
X
) ( ) exp(
)]
[exp(
( ) (
] [ )
(
離散型
① 離散型
階乗モーメント
)]1 )...(
2 )(
1 ( [
)...(
1 ( [ lim ] [
lim ] [ lim
1 1
1
+
−
−
−
=
−
=
= → →
→
n X X
X X E
X X E dt t
E d t
dt E d
t X n n t
X n n
t X −n+1)tX−n]
連続型 lim [exp( )] lim [ exp( )] lim [ [ ]
0 0
0
n n t
n n t
n
t tX E X X
dt E d tX
dt E
d = =
→
→
→ nexp(tX)]= E
これより平均μ、分散σ2は次のように求まる。
離散型：μ =E[X]=lim ( ),
1 M t
dt d
t→ X
μ
2μ
−2 2 1 2 2
2 [ ]
μ
lim ( )σ
= − = +→ M t
dt X d
E X
t
連続型：μ=E[X]=lim ( ),
0 M t
dt d
t→ X
2 2
) (t −μ d M
2 X 0 2 2
2 [ ] μ lim
σ = − =
→ dt X
E t
Y
X, Y
② が独立な確率変数のとき、X +
)]
[exp(
)]
exp(
) [exp(
))]
( [exp(
) (
t M t M
tX E
tY tX
E Y X t E t M
Y X Y
X
=
のモーメント母関数は ( ) ( )
積になる
)]
[exp(tY
= E
= +
+ =
) , (n p Bi
) ,..., 2 , 1 , 0
(x n
x =
− =
=
×
= n
x
n
x
x n x x n x n x x n x
X t t C p q C pt q pt
M
0 0
( )
( )
(
=npq
σ
2Y
X, Bi(n, p (m p
● 離散型分布の階乗モーメント母関数
（１）二項分布
分布関数 f(x)=n Cxpxqn−
母関数
∑ ∑
= =
− +q)n
①
μ
=np,② が独立でそれぞれ二項分布 ), Bi , )に従うとき、X +Y は
に従う。 二項分布の再生性
) , (n m p Bi +
m n
Y t pt q
M ( )=( + ) + )
) (
X Y
X t M t
M + ( )= (
（２）ポアソン分布 P λ
分布関数
λ
−λ= e x x
f
x
) !
( (x=0,1,2,...)
母関数
∑
∞∑
=
∞
=
− =
=
0 0
{ ( ) !
(
x x
x x
X e x
t x t
M
λ
λλ
− = −)}
1 ( exp{
! } )x
t
t e λ
λ
λ σ μ
= 2 =X ( 1), ( 2)
①
λ
Poλ
Po に従うとき、X+Y は (
λ
1λ
2)②独立な確率変数 ,Y がそれぞれ Po +
)}
1 )(
exp{(
) ( ) ( )
( 1 2 −
に 従う。 MX+Y t =MX t MY t =
λ
+λ
t 分布の再生性（３）幾何分布 G(p)（初めての成功が出現するまでの失敗の回数の分布）
1 ....)
3 , 2 , 1 , 0 ( )
(x = pq x= p+q=
f x
母関数 qt
qt p p pq t t
M
x x x
x x
X =
∑
× =∑
∞ = −=
∞ −
= ( ) 1
) (
1 1 0
① 2
, 2
p q p
q =
= σ
μ
) , (k p NB
,...) 2 , 1 , 0 ( )
(x p q = + −1 C p q x=
f x k x k x x k x Hx
) ( ) , 1
( p G p
NB =
分布の再生性はない。再生性は次の負の二項分布で成立する。
（４）負の二項分布 （ｋ回の成功が出現するまでの失敗の回数の分布）
（k は重複組み合わせ）
=k H
ｋ＝１のときは幾何分布になる。
母関数 k
x
x k x k x
X qt
q p p H t t
M )
(1 )
(
0 × = −
=
∑
∞=
∑
∞=
− −
=
0
) 1 (
x
k x
x
kH s s s=qtと置けば上式を得る。
（証明） を示せば
∑
∞=
− = + + + =
−
0 2
1 1 ...
) 1 (
x
sx
s s s
∑
∞=
−
− = − − − +
−
×
k x
k x
k x x x x k s
s) ( 1)( 2)...( 1)
1 ( )!
y k x
の両辺をｓに関してｋ回微分すると
− k 1
(
とすると
− =
∑
∞∑
=
∞
=
− =
−
+
− +
= +
−
0 ( 1)! 0
) 1 )....(
1 )(
) ( 1 (
y y
y y k y
k s H s
k
y k
y k
s y が成り立つ。
① 2
, 2
p kq p
kq =
= σ
μ
X NB(k,p),NB(m,p) X +Y )
p m
② 独 立 な 確 率 変 数 ,Y が そ れ ぞ れ に 従 う と き 、 は ,
(k
NB + に従う。 X Y X Y k m qt t pt
M t M t
M + +
= −
= )
(1 ) ( ) ( )
( 分布の再生性
●連続型分布のモーメント母関数
（５）指数分布 Exp(λ)
) 0 (
) ≥
− x x 確率分布密度 f(x)=λexp( λ
P(X > x)=exp(−λx)
母関数
)
exp[
) exp(
) exp(
)
( 0 0
≥
− ≥
=
=
−
×
=
∫
∞∫
∞t t
dx x x
t t
MX
λ 0
(
] ) ( −
− t x dx
λ λ
λ λ
λ λ
① 2 12 1,
σ λ μ = λ =
) , (
分布の再生性はない。再生性は次のガンマ分布で成立する。
（６）ガンマ分布 Ga α λ
分布密度 xα−1e−λx (x≥0) )
) ( (x = Γ f
α
α
λ
ただし
α ＞
0、 Γ =∫
0∞ − − Γ = ）1 , ( ) (
)
(α yα e ydy n n−1)! (n
は自然数
母関数
t
y x t dx
x t
≥
=
−
−
λ
λ λ
ただし
) ) ((
} ) (
dy t e t y
x dx
e x e
t M
y x tx
X
= − Γ
= −
Γ − Γ =
=
∫
∫ ∫
∞ − −
∞ − − ∞ −
λ λ α
λ λ
α λ α
λ
α α
α
α α λ
α α
) ) (
( ) 1 (
) exp{
( )
) ( (
0 1
0 0
1 1
① λ
α λ
λ λ
α λ λ
μ λ α
= −
= −
→
→0 ( ) lim0 (
limdt t
d
t t
α =
× −
−
2 1
) ) (
t t 、
2 2
2 ( )
) ) 1 (
λ α λ
α λ
λ α
α
α − =
− +
t +
Y
X, ( 1, ), ( 2
0 2 2
2 0 2
lim ( )
( ) (
lim
α
λ α λ
σ λ
α − == −
→
→ dt t
d
t t
② が独立なガンマ分布
α λ
Gaα
,λ
) X+Y )2,
Ga にそれぞれ従うとき、 は
(
α
1 +α λ
Ga に従う。（注意：パラメーター
λ
が共通でなくてはならない）2 1
2 ( )
)α α α
1( ) ( ) ( ) ( )
( α
λ λ λ
λ λ
λ +
+ = −
−
= −
=M t M t t
t
MX Y X Y
t t
離散型 連続型 初めて起こる 幾何分布 ⇔ 指数分布 ⇓ ⇓ ｋ回起こる 負の二項分布
（７）正規分布 N(
μ
,σ
2)⇔ ガンマ分布
分布密度関数 }
2 ) exp{ (
2 ) 1
( 2
2
2 σ
μ πσ
− −
= x
x f
母関数
2 } exp{1 2 }
exp{1 2 }
) exp{ (
2 1
2 } ) exp{ (
2 ) 1
(
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
t t t
t t dx
x x dx e
t
MX tx
μ σ
μ σ σ
σ μ πσ
σ μ πσ
+
= +
− ×
− −
=
− −
=
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
μ、 分散
① 平均 σ2
) , ( ), ,
(μ1 σ12 N μ2 σ22
N X+Y
) ,
(μ1+μ2 σ12 +σ22 N
② 独立な確率変数X,Yがそれぞれ に従うとき、 は
に従う。 分布の再生性
} ) (
) 2(
exp{1
2 } exp{1 2 }
exp{1 )
( ) ( )
(
2 1 2 2
2 2 1
2 2 2
2 1
2 2 1
t t
t t
t t t
M t M t
MX Y X Y
μ μ σ
σ
μ σ
μ σ
+ + +
=
+
× +
=
+ =
