統計力学II（2007）試験問題
試験日2月1日 時間09:15-10:45 教室9-249 科目名 統計力学II 担当 後藤（3-335B）
【注意】途中の計算を必ず書け。結果だけの解答は採点出来ない。A4手書メモ1枚持込可。
1. 三次元の箱に入った自由電子のフェルミ波数kFを求めよ。但し、単位体積あたりの電子数をnとする。
次に、このkFを使い、フェルミ波長、フェルミ運動量、フェルミ速度、フェルミエネルギー、フェルミ周波 数、フェルミ温度、の各式を表せ。ヒント─スピン自由度は2だ。
2. 分散関係ε =υ0 p を持つスピン½の粒子が、長さLの細線に閉じ込められている。単位長さあたりの 粒子数をnとして、状態密度D0とフェルミ波数kF及びフェルミエネルギεFを計算式を示して求めよ。
ヒント─ 粒子数保存の式nL=
∫
0εF D0dε からkFやεFが求まる。それから、この問題ではエネルギーと 波数k = p hの関係に注意せよ。スピンに加え、進行方向の自由度も（± pのいずれの粒子も同じエ ネルギεを持つ）存在することも忘れるな。3. 前問の結果を使って化学ポテンシャルµの温度依存性を求めよ。
ヒント─粒子数保存の式nL=D0
∫
0∞e(ε−dµ)εβ +1や、変数変換e(ε−µ)β =z、そして 部分分数分解の公式(
z+11)
z=1z−z1+1などを使え。4. 化学ポテンシャルの温度依存性をグラフに描け。そしてkBTが０から12εFまで変化したときに、µが大 体何％くらいずれるか評価せよ（有効数字１桁で良い）。ヒント─e≈2.7である。
5. 内部エネルギーEの温度依存性をゾンマーフェルトの公式で計算し、比熱C =∂E ∂T も求めよ。
6. 体積V の三次元の箱に閉じ込められたN 個のスピンゼロのボソンについてボースアインシュタイン凝 縮が起きるかどうか考えよう。状態密度はD
( )
ε = A ε で与えられるとする。但しA=Vm32 2π2h3で ある。温度を下げて行くと、µはどのように変化するか説明せよ。ヒント ─ 粒子数保存の式
( )
( )
∫
∞ − −= 0 ε µ β 1 ε ε e
d
N D
∑ ( )
∞
=
=
~
1 32
2
2 3 n
n
n
A eβµ
β
π や、ツェータ関数の定義
( ) ∑
∞
=
= −
~ 1 n
n z
ζ z を使え。そして解答がヒントとしてほとんど与えられていることに感謝せよ。
7. 前問で、積分から求めた粒子数
( )
( )
∫
∞ − −= 0 ε µβ 1 ε ε e
d
N D の値が保存される限界の温度TCと、Nとの関係を
求めよ。
8. 熱エネルギーε =kBTでランダム運動する粒子は、運動量の不確定性δp= 2mε を持つ。すると、不 確定性原理δxδp ≈hから、この粒子の座標の不確定性はδx=h 2mkBT と求められる。
このδxと、前問で得たTCとN との関係式から求めた粒子の平均間隔a=
(
V N)
1 3を比較し、ボースアインシュタイン凝縮が起きる条件について述べよ。
ヒント ─ 素直にaにTCを代入して比較するだけだ。実は、aとδxは同じ程度の大きさになる。
u 感想をどうぞ。
統計力学II（2007）試験問題略解
試験日2月1日 時間09:15-10:45 教室9-249 科目名 統計力学II 担当 後藤（3-335B）
1. kF =3 3π2n,
m k 2
2 F 2 F = h
ε ,
B F F
T kε
= ,
h
F F
ν =ε , pF=hkF,
F F
2 k λ = π ,
m kF
F = h υ
2.
( )
εε πυ π υ
ε ε ε π
ε π
π d
d L d L
d p d d L
d k d L k Ld S
D3
2 1h h
h
0
0 1
0
2 1
2 2 2
2 2 1 2
2 + = = = − =
F 0 0 0
2
F ε
υ ε π
ε
h d L D
nL=
∫
= 0( )
F F0
2
2 Lk
L k υ π υ
π =
= h
h より、kF =πn 2, εF =υ0p=υ0hπn 2 3. = 0
∫
0∞ ( − ) +3 1 2 1z
e D d
nL ε µεβ
( )
∫
∫
∫
+ = + ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ = += =∞
=
∞
=
= − z z
dz dz D
z D z
dz dz d
D z z
e
z 1
1 1 1 1
1 0
0 0
0 β β
ε
µβ
ε ε
∫
⎜⎝⎛ − + ⎟⎠⎞= dz
z z D
1 1
0 1
β = D
(
z−(
z+) )
zz==∞e−β0 log log 1 µβ
∞
=
=−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= +
z
e
z z
z D
β0 log 1 µβ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− +
= −−
log 1 1 log
0 µβ
µβ
β e
e
D ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= −µβ−µβ
β e
e
D 1
log
0 = Dβ0 log
(
1+eµβ)
µβ
β = + +
∴enL D0 1 e
(
1)
log 0 B
B −
=
∴µ k T enLDk T
前問の結果より、nL=D0εFであるからµ =kBTlog
(
eεF kBT −1)
4. 低温では確かにµ ≈kBTlog
(
eεF kBT)
=εFになる。もう少し近似を上げると、µ =kBTlog
(
e−εF kBT(
1−e−εF kBT) )
=εF+kBTlog(
1−e−εF kBT)
ここでlog
(
1−x)
≈−xLであるから、µ ≈εF −kBTe−εFkBT絶対零度での勾配は∂µ ∂T =
(
−kB−εF T)
e−εF kBT ≈0(
T →0)
なので原点では水平。2 F BT = 1 ε
k とすると、µ =εF−12εFe−2となって6～7％くらいしかずれない。
【注意】実は二次元では低温では殆ど変化しないのだ！
5. = 0
∫
0∞ ( − ) + β 1µ ε
ε ε e D d
E であるから、これに公式
( ) ( )
∫
0+∞f ε g ε dε( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 L 4 4
4 3
4 4 4
4 2
1− ′ − −
+ ′′
=
=
∞ +
∞
∫
−B 2 2
6
2 2
1
T k
d f
G G
π
ε µ ε ε µ
µ
を当てはめれば、 0 2 0 2
(
B)
26
2 D k T
D
E µ π
+
≈ , C D0kB2T
2
3
≈π
注意）µ =εF+kBTe−εF kBTは、低温ではほとんど定数であることに注意。
6. βを大きくして行くとµ <0なので和の中身はどんどん小さくなる。これに対抗して N を一定に保つた めに、µ→0と変化する。
7. 限界点ではµ =0であり、そこでは、
( )
32 2 c32 ζ
β π
N = A
( ) ( )
322 3 C B 3
2 2 3
2 π 2 ζ
π
T k m
V
= h
0 0.1 0.2 0.3
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1
kBT/εF
µ(T)
2D: kBT log(exp(εF/kBT)−1) 3D: εF −(π2/12)T 2/εF
( )
32 2 3 2C B
2 ζ
π ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
h T k
V m であるので、
( )
32 2 3 2 C B2 ζ
π ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
∴ h
T mk V
N
8.
( )
32 1 32 1 2 C B 3
1
2 ζ
π
−
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
h T mk N
a V
( )
32 1 3C B
2π ζ T mk
= h
( )
32 1 3C
2 B ζ
πmk T
= h
となってδx =h 2mkBT とほとんど同じ。よって、粒子の波動関数の広がりδxが温度を下げると大きく なって行って、隣の粒子に達したところでボースアインシュタイン凝縮が起こる。
-5 0 5
-2 -1 0 1 2
a=(V/N)1/3
δx=h/δp∝T −1/2 x
