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統計力学II（2008）試験問題・略解

試験日1月30日 時間09:15-10:45 教室3-348 科目名 統計力学II 担当 後藤（3-335B）

【注意】途中の計算を必ず書こう。結果だけの解答は採点出来ない。A4手書メモ1枚持込可。

1. 長さLの細線に閉じ込められた電子の状態密度が π ε

1 2

h m

L となることを示そう。

【略解】分散関係

m k 2

2

h2

ε = ^より、 dk

m d k

h2

ε =

状態密度は、電子の運動方向（左・右）とスピンを考慮して、

π ε ε ε

π

π k^d

m d L

d k d L k

L d 2 2 ₂

2 2 2

= h

=

⋅

⋅ ε

π ε

m d Lm

2

2 2

2 h h

=

( )

ε ε π

ε

m d L

D 43 42 1h

= 2

2. 続いてフェルミエネルギーε_F及びフェルミ波数k_Fを求めよう。

【略解】 絶対零度では =

∫

0^F

( )

⁼

∫

0^F

2 ^ε

ε

ε ε ε π

ε d ^{L m d}

D

N h 2 2 ε^F

π_h m

= L

よって、

2

F 2 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

L N m πh

ε さらに、

L N m m

k

2 2 2

F h

h ₌ π

, L

k N

F 2

=π

∴ ～粒子間隔の逆数程度

※粒子数Nを書き忘れていたので板書で追加しました。

3. 続いて化学ポテンシャルµの低温での温度依存性を求めよう。

ヒント─Sommerfeldの公式

∫

0^+∞f

( ) ( )

^{ε g ε dε} =^G

( )

^µ +^π6

( ) ( )

^{kBT 2G}′′ ^µ +_L

2 を使い、

さらに µ =ε_F+∆µとおいて∆µは非常に小さいとして展開してみよう。

【略解】粒子数保存の式より、N =

∫

0^∞ D

( ) ( )

ε f ε dεに対して、g ≡D, G⁼

∫

0^µDd^εとおけば、

( )

µ π

( ) ( )

k T D µ G

N ≈ + ′

∴ ² _B ²

6 となるから、µ=ε_F+∆µを代入すると、

(

ε +∆µ

)

+π

( ) (

′ε +∆µ

)

= _F ² _B ² _F

6 k T D

G

( ) ( )

( )

( ) ( ( )

ε

( )

ε µ

)

µ π ε ε

ε

′′ ∆

′ + +

′ ∆ +

= _{F F} ² _B ² _{F F}

6

F

D D

T k G

G

D N3 123 2

1

ここで、^{N =G}

( )

^ε_F 及び、上式の最後の項は温度の高次のべきになることに注意して、

( ) ( ) ( )

F

( )

³

2 B 2

F 6 k T D OT

D

N + ∆ + ′ +

= ε µ π ε

( ) ( )

^{B 2}

( )

_F^F

2

6 ε

ε µ π

D T D

k ′

−

=

∆

∴

ここで、一次元では先ほど求めたように

( )

ε ^Bε

D = なのであるから、

( )

₃₂

2ε

ε ^B

D′ =−

( )

F 2 3 F 2 B 2

F 6 2ε ε

ε π

µ= + k T ^{B B}

∴

( )

F 2 B 2

F 12ε

ε +π ^{k T}

=

一次元では、化学ポテンシャルは温度を上げると増えるのだ。理由は、高エネルギーの方が状態密 度が小さいため、入りにくくなるからである。

4. 面積Aの平面に閉じ込められた光子のエネルギー密度u

( )

ε =D

( ) ( )

ε f_B ε を求めよう。

【略解】分散関係はε _=chkであるから、微分は_dε _=chdk であり、さらに、

偏波方向によるモード数2に気をつけて、

( )

⁼

⋅ ² ₂ 2 2

π k A d

( )

⁼

⋅ ₂

2 2 2

π πkdk

A =

π k d k

A = ε =

ε π ε

π c ^d

A d k

d dk k A

h ε =

π

ε d

c A c

h

h ^π

( )

^Acε_h ^{2 dε}

光子の化学ポテンシャルはゼロなのでエネルギー密度は、

( )

^{, =}π

( )

^{2 εβ1−1}

ε ε

c e T A

u h

※エネルギー密度と言いながら、εが書いていませんでしたので、u

( )

ε =D

( ) ( )

ε f_B ε を 計算した人もεD

( ) ( )

ε f_B ε を計算した人もどちらも正解にし

ます。

5. 上問で、ε →0及びε →∞にした場合の極限ではどのよう な関数に漸近するか？

ヒント─ u

( )

ε のε 依存性を、u

( )

0 ~定数、u

( )

∞ ~0より、もう 少し詳しく求めよ。

ε

( ) ( )

ε f ε D

β ε 1

eεβ

εβ

− 1

1

【略解】ε →0で

( )

εβ ^εβ εβ

ε

∝ +

∝ +

1 1

u 2 、 ε →∞で _εβ

u∝e1

6. u

( )

ε をグラフにして見よう。極値があるかどうかに注意しよう。

【略解】 ~ −1− =0

∂

∂ _εβ εβ _εβ

ε ^{e e}

u より、極値となる条件は

εβ

εβ

= − 1 e 1

両辺をグラフにすると、右上図のように、ε =0でのみ成立しそう。

しかし、ε =0では分母もゼロになるので、結局

( )

0 ≠0

∂

∂ ε

u である。

よって、右下図のように、ε ₌₀から有限の勾配で単調減少する。

7. 電子が通常のε= ^h₂²_m^k2 ではなく、^{ε= ∆2 +}

( )

^h₂²_m^{k2 2}という分散関係を持つとしよう。

ここで∆は正の定数、mは電子の質量であり、電子は三次元空間を運動するものとする。

単位体積あたりの状態密度を求め、ε _>∆の範囲でグラフに描いてみよう。

【略解】 ^ε

( )

_ε ^k_ε^dk

m m

d k d

d _m^k

3 2 4 2

4 2 4

2 2

2 4

2 1

2

2 h h

h ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

∆

= より、 _{4 3}

2 2

k m d

k d

h ε ε ⁼

( ) ( )

π ^{ππ ε ε π ε ε π ε ε π ε} m _ε ^dε

d m k d m

k m d k

d dk k k

S d

2 2 2 4 2

2 4

2 2 3

4 2 2 2 3

2 3

3

2 1 2

2 1 2

8 2 4 1 2

2

∆

−

=

=

=

⋅

= +

∴

h h h

h

^{2 3}

(

^{2 2}

)

¹⁴

2 3

∆

= −

ε ε ε π

d m

h

8. 上問で、ε →∞の領域では状態密度はどのような関数形に漸近するか？

【略解】上問の結果より直ちに、D

(

ε →∞

)

≈ _{2 3} 2 3

π h ε

m であり、通常の三次元金属の状態密度である。

落ち着いて考えれば、ε →∞^{では分散の式は、}

( )

m k m

k

2 2 2

2 2 2

2 h

h =

ε ≈ であり、自由電子の分散と一致しているのだ。

※お察しの通り、超伝導状態の電子にヒントを得て作題しましたが、超伝導の準粒子は、フェルミエネ ルギーをエネルギーの原点ε =0にとり、ε の範囲は正負両側です。

( )

^ε

D

ε

∆