【解答・採点基準】

(1)

1

２０２２年度第２回一橋大本番レベル模試・数学解答・解説・採点基準

全５問１２０分２５０点満点１（５０点）

【解答・採点基準】

50点 mを正の整数として, 正の整数nが相異なる素数p₁, p₂, , p_m^と

正の整数 ₁, ₂, ,_m^を用いてn= p₁^¹p₂^² p_m^^mと素因数分解されるとき, nの正の約数はp₁^¹p₂^² p_m^^m(ただし, k=1, 2, ,m^について_k^は0 _k _kを満たす整数)と表される。このうち,

1, 2, ,

k= m^について_kがすべて偶数となるとき, この約数は平方数となる。ここで, k=1, 2, ,m^について_k^を2で割った商を

k^{とする。このとき,}^約数p₁^¹p₂^² p_m^^mが平方数となるのは, 1, 2, ,

k= m^について_k^がすべて0, 2, 4, , 2_k^の_k+1^通りのいずれかとなるときであり,

( ) (

1 1

)(

2 1

) (

_m 1

)

S n =  +  +  +

となる。したがって, ^{S n}

( )

⁼⁸^{となるのは以下の}³^{つの場合である。}

[1] ₁+1,₂+1, ,_m+1^{のうち, 1}^個が8^で,^残りのm−1^個が1^の場合

対称性より

1 2

1 8, 1 1 1

7, 0

m m

  

+ = + = = + =

 = = = =

「₁^は14または15^」かつ「₂, ,_m^は1^」

としてよい。このとき, n=p A¹⁴ ^(ただし, p^{は素数で,} Aは1 以外の任意の平方数で割り切れないような正の整数)と表せて,

nの平方数である約数は

0 2 4 6 8 10 12 14

, , , , , , , p p p p p p p p

となり, 確かに^{S n}

( )

⁼⁸^となる。^p ^2, ^A ¹^より,

正の約数の条件

‥5点

平方数となる約数の 条件‥5点

左式‥5点

[1], [2], [3]に場合 分けして‥5点

(2)

14 14

2 16384 n= p A =

より, 常にn 5000を満たさない。

[2] ₁+1,₂+1, ,_m+1^{のうち, 1}^個が4で, 1個が2で, 残りの 2

m− ^個が1^の場合対称性より

1 2 3

1 4, 1 2, 1 1 1

3, 1, 0

m m

   

+ = + = + = = + =

 = = = = =

「₁^は6^または7^」かつ「₂^は2または3^」かつ「₃, ,_m^は1^」

としてよい。このとき, n= p q A⁶ ² (ただし, p q, ^{は相異なる素} 数で, Aは1以外の任意の平方数で割り切れないような正の整数)と表せて, nの平方数である約数は

0 0 2 0 4 0 6 0 0 2 2 2 4 2 6 2

, , , , , , ,

p q p q p q p q p q p q p q p q となり, 確かに^{S n}

( )

⁼⁸^となる。ⁿ⁼ ^{p q A}⁶ ²

( )

^{p q}³ ²^と

(

²

)

5000 71

n  より, p q³ 70となる場合のみを考えればよい。p 5^のときp q³ 5³=125となることに注意すると,

3 70

p q ^{となるのは,}

(

p q^,

) ( ) ( ) ( ) (

= 3, 2 , 2, 3 , 2, 5 , 2, 7

)

のときである。したがって, n= p q A⁶ ² となる場合で, n 5000 かつ^{S n}

( )

⁼⁸^{となるのは下表の}^{1 6 3 1 11}^{+ + + =} ^{(個)の場合であ}

る。

(

^{p q}^,

)

p q⁶ ²^の値 Aの値

( )

^{3, 2} 2916 1

( )

^{2, 3} 576 1, 2, 3, 5, 6, 7

( )

^{2, 5} 1600 ^{1, 2, 3}

(

^{2, 7}

)

3136 1

[3] ₁+1,₂+1, ,_m+1^のうち, 3^個が2で, 残りのm−3^個が1^の場合

対称性より

常に満たさない

‥5点

(

^{p q}^,

)

^{を列挙して}

‥5点

11個‥5点

(3)

3

1 2 3 4

1 1 1 2, 1 1 1

1, 0

m m

    

+ = + = + = + = = + =

 = = = = = =

「  ₁, ₂, ₃^は2または3^」かつ「₄, ,_m^は1^」としてよい。このとき, n=p q r A² ² ² (ただし, p q r, , ^は相異なる素数で, Aは1以外の任意の平方数で割り切れないような正の整数)と表せて, nの平方数である約数は

0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 2 0

0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2

, , , ,

, , ,

p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r

となり, 確かに^{S n}

( )

⁼⁸となる。[2]と同様に

( )

²

2 2 2

n= p q r A pqr より, pqr 70となる場合のみを考えればよい。p q rとしても一般性を失わないから, これを満たすのは

(

p q r^{, ,}

) (

= 2, 3, 5 , 2, 3, 7 , 2, 3, 11 , 2, 5, 7

) ( ) ( ) ( )

の場合のみである。したがって, n= p q r A² ² ² となる場合で, 5000

n かつ^{S n}

( )

⁼⁸^{となるのは下表の}^{4 2 1 1 8}^{+ + + =} ^(個)の

場合である。

(

^{p q r}^{, ,}

)

p q r² ² ²^の値 Aの値

(

^{2, 3, 5}

)

900 1, 2, 3, 5

(

^{2, 3, 7}

)

1764 ^{1, 2}

(

^{2, 3, 11}

)

4356 1

(

^{2, 5, 7}

)

4900 1

以上[1], [2], [3]より, 条件を満たすのは11 8 19+ = ^{(個)である。}

(答) 19^個

(

^{p q r}^{, ,}

)

^{を列挙して}

‥5点 8^個‥5^点

答‥5点 [別解]

1は平方数かつ正の整数nの約数であるから, nは平方数である約数を1個以上もつ。nの平方数である約数のうち最大のものを

( )

2 0

G G とする。このとき, 正の整数を用いてn=G²と表せる。以下, 背理法を利用して,

が1または「1個以上の相異なる素数の積」である

・・・① ことを示す。すなわち, がp²で割り切れるような素数p^が存在

[別解] 50点

(4)

すると仮定して矛盾を導く。このとき, 正の整数tを用いて =tp² と表せてn=t pG

( )

²となるが, nはG²よりも大きい平方数である約数

( )

pG ²をもち矛盾する。よって, ①が成り立つ。

次に, nの平方数である約数^g²

(

^g^⁰

)

^{について,}

g^は常にG^{の正の約数である} ^・・・② ことを示す。g²^はnの正の約数であるから, 正の整数 を用いて

n=g2と表せて,

2 2

G g

 = ・・・③

G 2

g





   =

  ・・・④

となる。以下, 背理法を利用して, 

 が整数であることを示す。す

なわち, 

が整数ではないと仮定して矛盾を導く。このとき①より,

がq^{でちょうど1}^{回割り切れて,}^かつがq^{で割り切れないよう} な素数qが存在する。このとき, G²,g²^{はいずれも}q^{でちょうど偶} 数回割り切れるから, G²はqでちょうど奇数回割り切れて, g² はqでちょうど偶数回割り切れるが, これは③に矛盾する。したがって, 

 ^{は整数である。これと} G

g が有理数であることと④から,

G

g は正の整数となる。以上のことから, ②が成り立つ。

また, G^{の正の約数}gについて, 正の整数uを用いてG=ug^と表せて, n=u g² ²となるから,

g2は常にnの平方数である約数である・・・⑤ が成り立つ。

以上, ②, ⑤より, nの平方数である約数と, G^{の正の約数の}2乗は1対1に対応するから, Gの正の約数の個数は^{S n}

( )

^{に一致する。}

したがって, 5000^{以下の正の整数}nのうち, G^{の正の約数の個数} が8個となるものの個数を求めればよい。以下, G^{を素因数分解し} た形で場合分けする。

[1] G= p⁷(p^{は素数)の場合} このとき,

②を示して‥5点

⑤を示して‥5点

G の正の約数の個 数に一致する‥5点

[1], [2], [3]に場合 分けして‥5点

(5)

5 n=G2≧G²= p¹⁴≧2¹⁴=16384 より, 常にn 5000を満たさない。

[2] G=p q³ (p q, は相異なる素数)の場合

2 2

n=G G ^とⁿ ⁵⁰⁰⁰

(

^⁷¹²

)

^より, ^G ⁷⁰^{となる場合のみ}

を考えればよい。p q³ 70^{となるのは,}

(

p q^,

) ( ) ( ) ( ) (

= 3, 2 , 2, 3 , 2, 5 , 2, 7

)

のときである。したがって, n 5000かつG^{の正の約数の個数} が8^{個となるのは下表の}1 6 3 1 11+ + + = (個)の場合である。

(

^{p q}^,

)

^G²^の値 ^^の値

( )

^{3, 2} 2916 1

( )

^{2, 3} 576 1, 2, 3, 5, 6, 7

( )

^{2, 5} 1600 ^{1, 2, 3}

(

^{2, 7}

)

³¹³⁶ 1

[3] G=pqr(p q r, , は相異なる素数)の場合

[2]と同様にG 70となる場合のみを考えればよい。p q r

としても一般性を失わないから, これを満たすのは

(

p q r^{, ,}

) (

= 2, 3, 5 , 2, 3, 7 , 2, 3, 11 , 2, 5, 7

) ( ) ( ) ( )

のときである。したがって, n 5000かつG^{の正の約数の個数} が8^{個となるのは下表の}4 2 1 1 8+ + + = (個)の場合である。

(

^{p q r}^{, ,}

)

^G²^の値 ^^の値

(

^{2, 3, 5}

)

900 1, 2, 3, 5

(

^{2, 3, 7}

)

1764 ^{1, 2}

(

^{2, 3, 11}

)

4356 1

(

^{2, 5, 7}

)

⁴⁹⁰⁰ 1

以上[1], [2], [3]より, 条件を満たすのは11 8 19+ = ^{(個)である。}

常に満たさない

‥5点

(

^{p q}^,

)

^{を列挙して}

‥5点

11個‥5点

(

^{p q r}^{, ,}

)

^{を列挙して}

‥5点 8^個‥5^点

(答) 19^個 ^答‥5^点

(6)

２（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 25点

( )

P X Y, と置くと, PにおけるCの接線の方程式は

(

X−2

)(

x− +2

) (

Y−2

)(

y−2

)

=1

である。三角形OAPの外心は辺OAの垂直二等分線上にあるから,

そのx座標は1

2^{である。また,}^三角形^OAP^{の外心は辺}^OP^の垂直

二等分線上にある。X Y, 0^{より, OP}^の傾きはY

( )

0

X  と表せ

る。したがって, OPの垂直二等分線は点 , 2 2 X Y

 

 

 ^{を通る傾き} X

−Y の直線であるから, その方程式は

2 2

X X Y

y x

Y

 

= −  − + である。X Y, ^は

(

^X⁻²

) (

²⁺ ^Y⁻²

)

²⁼¹

すなわち

2 2

4 4 7

X +Y = X+ Y−

を満たすことに注意すると, 三角形OAPの外心のy座標は

2 2

1

2 2 2

2

3 4 7

2

X X Y

y Y

X Y X

Y

X Y

Y

 

= −  − +

 

+ −

=

+ −

=

と求められる。よって, 三角形OAPの外心の座標は

1 3 4 7

2, 2

X Y

Y + −

 

 

 である。したがって, dは点と直線の距離の公式より,

外心のx座標‥5点

OP の垂直二等分 線の方程式‥5点

外心のy座標

‥5点

(7)

2

( ) ( )

( )

2 2

1 3 4 7

2 2 2 2 1

2 2

3 3 7

2 2 1

2 2

2 2 1

3 7 3

2

3 7 3

2

X Y

d Y

X Y

X X Y

Y

X Y

X Y X

Y

+ −

 −  − + −  − −

   

   

= − + −

= − − + − − −

− + − =

= − − −

= − +

と表せる。

(答) 3 7 3

2 d X

Y

= − + ^答‥10^点

(2)

以下, 3X 7 Y k

− = とおいて,

(

^X⁻²

) (

²⁺ ^Y⁻²

)

²⁼¹^の下で^k^のとり

うる値の範囲を調べる。Y 0より3X 7 Y k

− = は3X−kY− =7 0と

同値であり, これはXY^{平面上の直線を表す。}

(

^X⁻²

) (

²⁺ ^Y⁻²

)

²⁼¹^は^XY^{平面上の円を表し,}^{その中心は点}

(

^{2, 2}

)

^,^半径は1^{である。直線}³^X⁻^kY^{− =}⁷ ⁰^{がこの円と共有点を}

もつための必要十分条件は, 点

(

^{2, 2}

)

^{からの距離が}¹^{以下であるこ}

とから,

( )

²

2

3 2 2 7 3

k k

 −  − + − ^≦1

2

2 1 9 k k

 +

+ ^≦1

2k 1

 + ≦ ^k²⁺⁹

(

^k²^{+ }⁹ ⁰

)

^・・・①

である。①の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗しても大小関係は変わらず,

2k+12≦k²+9 4k2 4k 1

 + + ≦k²+9 3k2 4k 8

 + − ≦0

(2) 25点

XY 平面上の直線 を考える‥5点

①を導く‥5点

(8)

2 2 7 3

− − ≦k≦ 2 2 7

3

− +

が得られる。したがって,

5 4 7 6

− ≦ 3

k+2≦5 4 7 6 +

であり, 5 4 7 5 4 7

6 0 6

−   + かつ 5 4 7 5 4 7

6 6

−  + であるか

ら, dの値の範囲は

0≦d≦5 4 7 6 +

となる。

kの値の範囲

‥5点

(答) 0≦d≦5 4 7 6

+ 答‥10点

(9)

1

３（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 20点

点Pは

( ) ( )

( )

2

2 2

CP DP 5

OP OC OP OD 5

OP OC OD OP OC OD 5

1 1

OP OC OD OC OD OC OD 5

2 4

1 1

OP OC OD OC OD 5

2 4

OP

 −

 −  − −

 − +  +  −

 − + + −  −

 − + − −



( )

1 OC OD 2 4 2

OP 1 OC OD 2 2

− +

 − +

より, 点

(

^{7, 2, 4}

)

を中心とする半径2の球面上およびその内部を動く。

(答) 中心

(

^{7, 2, 4}

)

^,半径2

球のベクトル方程式‥10点

(左辺は2乗のまま

でも加点とする) 中心の座標‥5点半径‥5点

(1)[別解]

点Pの座標を^{P , ,}

(

^{a b c}

)

^{とおく。このとき}

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

   ⁽ ⁾   ⁽ ⁾ 

( ) ( ) ( )

2 2 2

CP DP 5

5, 1, 2 9, 3, 6 5

5 9 1 3 2 6 5

7 4 2 1 4 4 5

7 2 4 4

a b c a b c

a a b b c c

a b c

 −

 − − −  − − − −

 − − + − − + − − −

 − + − + −

より, 点

(

^{7, 2, 4}

)

^{を中心とする半径}²の球面上およびその内部を動く。

(答) 中心

(

^{7, 2, 4}

)

, 半径2

(1)[別解] 20点

球の方程式‥10点

中心の座標‥5点半径‥5点

(2) (2) 30点

(10)

点Mから平面OABに下ろした垂線の足を点Hとおくと, 実数 ,

s tおよび一次独立な2つのベクトルOA, OBを用いて

( )

OH OA OB , 2 , 3

s t

s t s t

= +

と表される。また, MH OA, MH OB⊥ ⊥ が成立するので,

( )

( ) ( )

( )

MH OA 0 MH OB 0

OH OM OA 0 OH OM OB 0

7 2 2 2 0 7 3 3 4 0 5 11 0

10 19 0 13 12

, ,

7 7

s t s

s t t

s t s t s t

  =



 =



 −  =

 

−  =



+ − + − =

  + − + − = + − =

  + − =

 

 =  

となる。したがって, 点Hの座標は 25 26 36 , , 7 7 7

 

 

 ^{である。以上よ} り,

2 2 2

MH OH OM

25 7 26 2 36 4

7 7 7

4

= −

     

=  −  + −  + − 

=

であるため, 平面OABと点Pの距離lのとり得る値の範囲は, 4 2− l 4 2+ 2 l 6

点Hの座標‥6点

線分MH‥6点

平面OABと点Pの距離の範囲‥6点 M

H

O B

A P

(11)

3 となる。ここで, △OABの面積は,

( )

( )( ) ⁽ ⁾

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 OA OB OA OB 2

1 1 2 0 1 0 3 1 1 2 0 0 3 2

1 5 10 1 2

7 2

− 

= + + + + −  +  + 

=  −

=

であるため, 四面体OABPの体積V の値の範囲は,

1 7 1 7 7

2 6 7

3 2  ^V 3 2  3 V である。

(答) 7

3 V 7

△OABの面積

‥6点

答‥6点

(2)[別解]

平面OABの方程式は6x−3y−2z=0と表される。平面OABと点 Mの距離は, 点と平面の距離の公式より,

( ) ( )

² ²

2

6 7 3 2 2 4 28 7 4

6 3 2

 −  − 

= = + − + −

となるため, 平面OABと点Pの距離lのとり得る範囲は, 4 2− l 4 2+ 2 l 6

となる。ここで, △OABの面積は,

( )

( )( ) ⁽ ⁾

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 OA OB OA OB 2

1 1 2 0 1 0 3 1 1 2 0 0 3 2

1 5 10 1 2

7 2

− 

= + + + + −  +  + 

=  −

=

であるため, 四面体OABPの体積V の値の範囲は,

1 7 1 7 7

2 6 7

3 2  ^V 3 2  3 V である。

(2)[別解] 30点平面OABの方程式

‥6点

平面 OABと点M の距離‥6点平面OABと点Pの距離の範囲‥6点

△OABの面積

‥6点

(答) 7

3 V 7 答‥6点

(12)

４（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15点

実数k^{を用いて直線}OP^{の方程式を}y=kx^{と表したとき,}^曲線C^と直線OP^{の共有点の}x座標は ^{f x}

( )

⁼^kx^{を満たす。よって,} ³^次方程

式

( )

3 2

3 2 0

f x kx

x x k x

=

 − + − =

はx=0,aを解にもち, もう1つの解をx=bとすると, 解と係数の関係より,

0 3

3 a b

b a

+ + =

 = −

となる。したがって, 曲線C^と線分OP^が点O, P以外の共有点をもつのは

0 b a 0 3 a

  − ^かつ3− a a

3 3

2 a

   のときである。

(答) 3 2 a 3

左式‥5点

3−a^‥5^点

答‥5点

(1)[別解1]

直線OP^{は原点と点}^P

(

^{a f a}^,

( ) )

^{を通るため,}^直線^OP^{の方程式は}

( )

(

¹

)(

²

)

y f a x a

y a a x

=

 = − −

と表せる。よって, 曲線C^と直線OP^{の共有点の}x座標は

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

 

( )( )

1 2

1 2 1 2 0

3 0 0, , 3

f x a a x

x x x a a

x x a x a

x a a

= − −

 − − − − − =

 − + − =

 = −

(1)[別解1] 15点

左式‥5点

3−a^‥5^点

(13)

2

となる。したがって, 曲線C^と線分OP^が点O, P以外の共有点をもつのは

0 − 3 a a

3 3

2 a

   のときである。

(答) 3

2 a 3 答‥5点

(1)[別解2]

実数k^{を用いて直線}OP^{の方程式を}y=kx^{と表したとき,}^曲線C^と直線OP^{が接するのは,}

( )( )

(

²

)

1 2

3 2 0

x x x kx

x x x k

− − =

 − + − =

より,

「x²−3x+ − =2 k 0がx=0^{を解に持つ」}

02 3 0 2 0 2

k k

 −  + − =

 = の場合と,

「x²−3x+ − =2 k 0がx=0^{以外の重解を持つ」}

「

3 2 1

2 4

x k

 −  = +

 

  ^がx=0^{以外の重解を持つ」}

1 k 4

 = −

の場合であるから, 点Pが下図の実線部分にあるとき, 曲線C^と線分OP^が点O, P以外の共有点をもつ。

(1)[別解2] 15点

左式‥5点

2, 1

k= −4‥5点

(14)

x y

O

したがって, 曲線C^と線分OP^が点O, P以外の共有点をもつのは

3 3

2 a のときである。

(答) 3

2 a 3 答‥5点

(2)

(1)のとき, 曲線C^と線分OPで囲まれた部分は下図の斜線部分であ

る。この面積を^{S a}

( )

^とする。

x y

O

(2) 35点 2

y= x

( )

:

C y= f x

1 y= −4x

3 3

2, 8

 − 

 

 

( )

^{3, 6}

( )

:

C y= f x

P a

y=kx 3−a

(15)

4

( ) ( )( )

( )

3 2

3

3 3

f x kx x x a x a

x x a ax

− = − − +

= − + −

であるから,

( )  ( )   ( ) 

 ( )   ( ) 

( )

3

0 3

3

0 0

4

3 2

0 4 3

3 2

0

4 3 2

2 3

4 2

2 3

4 2

1 9 27

18 27

4 2 2

a a

a

a a

a

S a f x kx dx f x kx dx

f x kx dx f x kx dx x a a

x x

x a a

x x

a a a a

−

= − + − −

= − − + −

−

 

= − − + 

 

−

 

+  − + 

 

= − + − + −

 

となる。よって,

( )

( ) ( )

( )

   ( ) 

3 2

2

27 36 27 2

1 2 27 72 54

2

1 2 3 12 18

2

3 6 3 2 6 3 2

2

S a a a a

a a a

 = − + − +

= − − + −

= − − − +

 

= − −  − + − − となるから,

3 6 3 2 3 2

1 2 3 2





− 

と3 +6 3 2より, (1)の範囲で^{S a}

( )

の増減表は下表のようになる。

a 3

2

  

  6 3 2−

( )

³

( )

S a − 0 +

( )

S a 最小

したがって, 曲線Cと線分OPで囲まれた部分の面積^{S a}

( )

^が最小

となるaの値は6 3 2− ^である。

aを用いて被積分関 数を表して‥5点

( )

S a の立式‥5点

( )

S a ‥5点

( )

S a ‥5点

因数分解‥5点

増減表‥5点

(答) 6 3 2− ^答‥5^点

(16)

５（５０点）

【解答・採点基準】

点P, Qの相対的な位置関係を考える。これらの点は1^{秒ごとに隣の} 点に移動するから, 1^秒経つと, Qから見てP^{は同じ位置に留まる} か, あるいは反時計回りまたは時計回りに2^{つ隣に移動する。ここ} で問題文より, 時刻0では, P^はQから反時計回り, 時計回りどちらで数えても4つ隣である。したがって, 帰納的に考えると, n秒後にはP, Q^{は同じ点にあるか,} P^がQの2^{つ隣にあるか,} P^がQの4 つ隣にあるかのいずれかである。

(1) (1) 30点

線分PQが正八角形の外接円の直径となるとき, P^はQの4^つ隣にある。n秒後にP^がQの2^{つ隣にある確率を}r_nとすると

n n n 1

p +q + =r ・・・① となる。ここで, n秒後からn+1秒後までのP, Q^{の移動を考え,}^確率p_n,q_n,r_nの遷移を求める。

[1] n秒後にP, Q^{が同じ点にあるとき}

[i] n+1秒後にP, Qが同じ方向に移動するとき 1

n+ 秒後にもP, Qは同じ点にある。このように移動する確率は

2 2

2 1 5

3 3 9

  +  =

   

    である。

[ii] n+1秒後にP, Qが異なる方向に移動するとき

1

n+ 秒後にはP^はQの2つ隣にある。このように移動する確率は 2 1 4

2  =3 3 9である。

[2] n秒後にPがQの2つ隣にあるとき

n+ 秒後にもP^はQの2つ隣にある。このように移動する確率は

2 2

2 1 5

3 3 9

  +  =

   

    である。

[ii] n+1秒後にP, Qがいずれも近づく方向に移動するとき

1

n+ 秒後にはP, Qは同じ点にある。このように移動する確

P, Qの相対的な位 置関係で3通りに分 けて‥5点

, ,

n n n

p q r の遷移を 考える方針‥5点

(17)

2 率は2 1 2

3 3 =9である。

[iii] n+1秒後にP, Qがいずれも遠ざかる方向に移動するとき

1

n+ 秒後にはP^はQの4つ隣にある。このように移動する確率は2 1 2

3 3 =9である。

[3] n秒後にP^がQの4^{つ隣にあるとき}

n+ 秒後にもP^はQの4つ隣にある。このように移動する確率は

2 2

2 1 5

3 3 9

  +  =

   

    である。

[ii] n+1秒後にP, Qが異なる方向に移動するとき

1

n+ 秒後にはP^はQの2つ隣にある。このように移動する確率は 2 1 4

2  =3 3 9である。

以上, [1], [2], [3]より, p_n₊₁,q_n₊₁をp_n,q_n,r_nで表すと以下のようになる。

1

5 2

9 9

5 2

9 9

n n n

p p r

q q r

+

 = +



 = +



ここで, ①よりr_n = −1 p_n−q_nとなる。これより, p_n₊₁,q_n₊₁をp_n,q_n で表すと

( )

1

5 2 1 2 2

9 9 1 3 9 9

n n n n n n

p₊ = p + −p −q = p − q + ・・・②

( )

1

5 2 2 1 2

9 9 1 9 3 9

n n n n n n

q₊ = q + −p −q = − p + q + ・・・③ となる。

(答) ₁ 1 2 2 ₁ 2 1 2

3 9 9, 9 3 9

n n n n n n

p₊ = p − q + q₊ = − p + q +

1

pn₊ を p_n,q_n,r_n で 表して‥5点

1

qn₊ をp_n,q_n,r_nで表 して‥5点

答‥10点 (各5点×2) (2)

問題文より, p₀ =0,q₀ =1である。②+③より

(2) 20点

(18)

( )

1 1

1 2 2 2 1 2

3 9 9 9 3 9

1 4

9 9

n n n n n n

n n

p q p q p q

p q

+ + + = − +   + − + + 

   

= + +

1 1

1 1 1

2 9 2

n n n n

p₊ q₊ p q 

 + − =  + − 

 

となる。これより, 数列 1

n n 2 p q

 + − 

 

 ^は初項

0 0

1 1 1

2 0 1 2 2

p +q − = + − = , 公比1

9の等比数列であるから

1 1 1

2 2 9

n

n n

p +q − =   

 

1 1 1

2 9 2

n

n n

p q  

 + =    + ・・・④ となる。また, ②−③より

( )

1 1

1 2 2 2 1 2

3 9 9 9 3 9

5 9

n n n n n n

n n

p q p q p q

p q

+ − + = − +   − − + + 

   

= −

となる。これより, 数列



pn−qn



^は初項p₀−q₀ = − = −0 1 1, 公比5 9 の等比数列であるから

1 5 9

n

n n

p −q = −     ・・・⑤ となる。以上, ④, ⑤より, 求める確率p_nは

1 1 1 1 5

2 2 9 2 1 9

1 1 1 5 1

4 9 2 9 4

1 2 5 9 4 9

n n

n

n n

n

p

      

=     + −    

   

=   −   +

   

−  +

= 

となる。

(答) 1 2 5 9 4 9

n n

p −  +

= 

左式を導いて‥5点

n n

p +q をn ^{の式で} 表して‥5点

n n

p −q を n ^{の式で} 表して‥5点

答‥5点

(2)[別解]

問題文より, p₀ = p₁=0である。②より

(2)[別解] 20点

(19)

4

1 1 2 1

9 3 9 3

1, 1

2 2 2 2

n n n n n n

q = − p₊ + p + q₊ = − p₊ + p₊ + が導かれる。これらを③に代入して整理すると

2 1 1

2 1

2 1 1

9 3 2 1 9 3 2

1 1

2 2 9 3 2 2 9

2 5 8

3 81 81

5 1 1 5 1

9 9 9 9 9

1 2 5 1 2

9 9 9 9 9

n n n n n

n n n

n n n n

p p p p p

p p p

p p p p

+ + +

+ +

+ + +

 

− + + = − + − + + +

 = − +

 − − =  − − 

  

  − − =  − − 

となる。これより, 数列 ₁ 5 1

9 9

n n

p₊ p

 − − 

 

 ^は初項 ¹ ⁰

5 1 1

9 9 9

p − p − = − ,

公比1

1 1

5 1 1 1 1

9 9 9 9 9

n

n n n

p₊ − p − = −     = − ₊ ・・・⑥

となる。また, 数列 ₁ 1 2

9 9

n n

p₊ p

 − − 

 

 ^は初項 ¹ ⁰

1 2 2

9 9 9

p − p − = − , 公比

5

1 1

1 2 2 5 2 5

9 9 9 9 9

n n

n n n

p₊ − p − = −     = − ₊ ・・・⑦ となる。以上より, ⑦−⑥を計算して整理すると

1 1 1 1

1

1 2 5 1 2 5 1

9 9 9 9 9 9

4 1 1 2 5

9 9 9

1 2 5 9 4 9

n

n n n n n n

n

n n

p p p p

p p

+ + + +

+

    

− − − − − = − − − 

   

 − = − 

−  +

 =

 となる。

数列

 

pn ^の3項間 漸化式を導いて

‥5点

左式を導いて‥5点

(答) 1 2 5 9 4 9

n n

p −  +

=  ^答‥5^点

【解答・採点基準】

２０２２年度 第２回 一橋大本番レベル模試・数学 解答・解説・採点基準

全５問 １２０分 ２５０点満点 １（５０点）

【解答・採点基準】

( ) (

)(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) (

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

) (

) ( ) ( ) ( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) (

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

) (

) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

２０２２年度第２回一橋大本番レベル模試・数学解答・解説・採点基準

全５問１２０分２５０点満点１（５０点）

２（５０点）

３（５０点）

   ⁽ ⁾   ⁽ ⁾ 

( )( ) ⁽ ⁾

( )( ) ⁽ ⁾