２０２１年一橋大学・本番レベル模試・数学解答・解説・採点基準

(1)

２０２１年一橋大学・本番レベル模試・数学解答・解説・採点基準

全５問１２０分２５０点満点

１（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15 点

とおくとき, である。よ

って, ①の左辺を変形すると,

となる。したがって, ①をのみを用いて表すと,

となる。

(答)

をそれぞれで表して‥6 点

（各 3 点×2）

(答)‥9 点 (2)

(1)より,

(2) 35 点

と変形して‥10 点 ,

s m n t m n= + = - ¹

( )

^, ¹

( )

2 2

m= s t+ n= s t-

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

6 6 11 5

1 1 1 1

6 6 11 5

2 2 2 2

3 3 11 5

2 2

2 2 2 2

6 8 3

m n m n

s t s t s t s t

s st t s st t s t s t

st s t

- - -

ì ü ì ü

= ×í + ý - ×í - ý - × + - × -

î þ î þ

= + + - - + - + - -

= - -

, s t 6st- -8s 3t=2021

6st- -8s 3t=2021

, m n

, s t

( )( )

6 8 3 2021

2 1 3 4 4 2021 2 1 3 4 2025

st s t

s t

- - =

Û - - - =

Û - - =

(

^{2 1 3 4}^s^-

)(

^t^-

)

⁼²⁰²⁵

(2)

2

となる。ここで, は整数であるため, はそれぞれ整数である。また, であるため, である。さらに, より, はの倍数ではない。

以上より, であることを用いると, 考えられる組み合わせは,

に限られる。このとき,

であり, は整数であるため, である。以上より, 正の整数は,

と求まる。

‥ 7 点

を求める ‥8 点

(答) (答)‥10 点

,

s t 2s-1, 3t-4

( )

2 1 2s- = m n+ -1 0> 3 4 0t- >

( )

3 4 3t- = t-2 2+ 3t-4 3

4 2

2025=3 5×

(

^{2 1, 3 4}s- t-

) (

= 2025, 1 , 405, 5 , 81, 25

) ( ) ( )

( )^, ^1013, ⁵ , 203, 3 , 41,( ) ²⁹

3 3

s t =æçè ö÷ø æçè ö÷ø ,

s t

( ) (

^{s t}^, ⁼ ^{203, 3}

)

, m n

( )

1 103

2

1 100

2

m s t

n s t

= + =

= - =

4 2

2025=3 5×

, s t

103, 100 m= n=

(3)

3

２（５０点）

【解答・採点基準】

与式を変形すると,

となる。ここで, , とおくと, はともに実数である。このとき, と表され,

が得られる。以上より,

について各次数ごとに係数を整理して‥10 点

を立式して‥5 点

( ) { ( ) ( ) }

{ ( ) } ( )

1 2

0

1 1

2

0 0

1

1 f x sf s xf s px x ds

x x f s p ds sf s ds

= - + - +

= + - + -

ò

ò ò

{

( )

}

1

a=

ò

0 f s -p ds b=

ò

0¹sf s⁽ -1⁾ds ,

a b ^{f x}

( )

^{= + +}^x² ^{ax b}

{ ( ) }

( )

{ }

( )

1 0

1 2

0

1

3 2

0

1 1 3 2 1 1 3 2

a f s p ds s as b p ds s as b p s

a b p

= -

= + + -

é ù

=êë + + - úû

= + + -

ò ò

( )

( ) ( )

{ }

( ) ( )

{ }

( ) ( )

1 0

1 2

0

1 2

0

1

4 3 2

0

1

1 1

2 1

1 1 1

2 1

4 3 2

b sf s ds

s s a s b ds

s s a s a b ds

s a s a b s

= -

= - + - +

= + - + - +

é ù

=êë + - + - + úû

ò ò ò

( ) ( )

1 1 1

2 1

4 3 2

1 1 1 12 6 2

a a b

a b

= + - + - +

= - +

1 1 3 2

1 1 1 12 6 2 2 2 2

3 3 1

2

a a b p

b a b

a b p

a b

ì = + + -

ïïí

ï = - +

ïî

ì - =- +

Û íïï

ï + =

ïî

x

( )

{ }

1 2

a=

ò

0 s + +as b -p ds

( ) ( )

{ }

1 2

0 1 1

b=

ò

s s- +a s- +b ds

(4)

4 となる。ここで,

より, の最小値はである。よって,

であるため, の最小値は, のとき最大となる。このとき,

であるため, である。

をを用いて表して‥10 点 (各 5 点×2)

をで表して

‥5 点

が最大となるを求めて‥5 点

を求めて

‥10 点

(答)

6 3

5 5

2 1

5 30

a p

b p

ì =- +

Û íïï

ï = -

ïî

( )

²

2

1 1 2

2 4

f x x ax b

x a a b

= + +

æ ö

=çè + ÷ø - +

( )

f x

m

¹ ²

m=-4a +b

2

1 4

1 6 3 2 1

4 5 5 5 30

9 19 37

25 9 300

9 19 5

25 18 18

m a b

p p

p

=- +

æ ö æ ö

=- ç- + ÷ +ç - ÷

è ø è ø

æ ö

=- ç - ÷-

è ø

æ ö

=- çè - ÷ø +

( )

f x

m

¹⁹

p=18

6 19 3 2 5 18 5 3 2 19 1 7 5 18 30 18 a

b

=- × + =-

= × - =

( )

² ² ⁷

3 18 f x =x - x+

, a b p

m

p

m

p

( )

f x

( )

²

19 2 7

18, 3 18

p= f x =x - x+

(5)

5

３（５０点）

【解答・採点基準】

領域の位置関係は,

[1] がに包含される場合 [2] がに包含される場合 [3] [1], [2]以外の場合の通り考えられる。

[1] がに包含される場合

このようになるのは,

≦

≦ ( がともに正より )

≦

のときである。図よりだから, このときの

の最大値はとなる。

[1]となる条件

‥3 点

‥3 点 ,

A B

A B B A

3 A B

x y

O

a 2

b

Ûa 1

2a !a b, 1

b= a

a2

\ ¹

(

⁰

)

2 !a>

2

4 2 2

2

S æ a ö a

=ç ÷ × =

è ø

S 1

2 2

× 2=

2 2

S= a 2

a 2

a

2 - a

b b

-b

-b 2 b

A a B

(6)

6 [2] がに包含される場合

このようになるのは,

≧

のときである。図よりだから, このとき

のの最大値はとなる。

[3] [1], [2]以外の場合

すなわちのときである。

このときのの最

⼤値‥4 点

[2]となる条件

‥3 点

このときのの最

⼤値‥4 点

[3]となる条件

‥3 点 B A

x y

O

2

a b

2

Û a 1 1

a b a

æ = ö

ç ÷

è! ø

a2

\ ²

(

!^a^>⁰

)

2 2

2

1 4 2 2

S 2b b

= × = =a

S 2

2= 2

1 2

2<a < 2

S

2

S 2

= a

S 2

a 2

a

2 - a

2 - a b

b

-b -b

B A

(7)

7 図より,

である。ここで, より, 相加・相乗平均の関係から

≦

が得られる。この不等式の等号成立条件は

であり, これはを満たすため, この範囲におけるの最大値はとなる。

以上, [1]～[3]より, の最大値はである。

を計算‥6 点

相加・相乗平均の関係を正しく適用

‥6 点

等号成立条件が満たされることに言及‥5 点

(答) 答‥10 点 x

y

O

( )

2 2

1 2 4

2 2

2 4 2 2

1 1

2 4 2

S a a b

a ab b

a b

a a

ìæ ö ü

ï ï

=íç ÷ - × - ý×

è ø

ï ï

î þ

=- + -

æ ö æ ö

=- çè + ÷ø+ çè! = ÷ø

2 0

a >

S ² 1₂

2 2 a 4 2 4 2 4

- × ×a + = -

( )

2 2

1

1 0

a a

=

\ = ! >

1 2

2<a < 2

S 4 2 4-

S

4 2 4- 2

a 2

b- a

2 a

2 2 2

a a

b a b

æ ö

-ç - ÷= -

è ø

A

B b

b

(8)

8

４（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 25 点

点が半直線上にあることより, 実数 (≧ )を用いて

と表せる。すると, より

( ≧ )

となる。ここでと仮定すると上式にてとなり矛盾するためと分かり,

が得られる。よって点の座標をとおくとき,

となる。

(答)

などとおく‥4 点

を説明

‥5 点

‥6 点

答‥10 点 (1)[別解]

点が半直線上にあることより, 実数 (≧ )を用いて

と表せる。すると, より

(1)[別解] 25 点

などとおく‥4 点

Q OP k 0

OP!!!"=kOQ!!!"

OP OQ 1× = OP OQ 1

OQ OQ 1 k

× =

Û × =

!!!" !!!"

OQ2 1

\k !!!" =

!k 0 OQ!!!" =0

0 1= OQ!!!" ¹0

2

1 OQ k= !!!"

Q

(

^{X Y Z}^{, ,}

)

( )

2

2 2 2

OP OQ 1 OQ OQ

1 , ,

k

X Y Z X Y Z

=

= ×

+ +

!!!" !!!"

!!!"

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P X , Y , Z

X Y Z X Y Z X Y Z

æ ö

\ çè + + + + + + ÷ø

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P X , Y , Z

X Y Z X Y Z X Y Z

æ ö

ç + + + + + + ÷

è ø

OP!!!"=kOQ!!!"

OQ!!!" ¹0

2

1 OQ k= !!!"

Q OP l 0

OQ!!!"=lOP!!!"

OP OQ 1× =

OQ=lOP

!!!" !!!"

(9)

9

( ≧ )

が得られるため, (ただし点は原点と異なるため )とおくと

と表せる。ゆえにとなり, とお

くとき

が成り立つ。この式をそれぞれ乗して足し合わせると

が得られるため, が保証され,

となる。

(答)

に⾔及

‥5 点

‥3 点

答‥10 点

(2)

与えられた平面上の点はを満たすため, 点がこの平面

(2) 25 点 OP OQ 1

OP lOP 1

× =

Û × =

!!!" !!!"

OP2 1

\l !!!" =

!l 0

( )

P , ,p q r P

2 2 2 0

p +q +r ¹

2 2 2

l 1

p q r

= + +

2 2 2

OQ 1 OP

p q r

= ×

+ +

!!!" !!!"

( )

Q X Y Z, ,

2 2 2

X p

p q r

Y q

p q r

Z r

p q r

ì =

ï + +

ïï

í = + +

ïï ï =

+ + î

3 2

2 2 2

X Y Z 1

p q r

+ + =

+ +

2 2 2 0

X +Y +Z ¹

( )

2 2 2

p p q r X X

X Y Z

q p q r Y Y

X Y Z

r p q r Z Z

X Y Z

ì = + + =

ï + +

ïï = + + =

í + +

ïï = + + =

ï + +

î

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P X , Y , Z

X Y Z X Y Z X Y Z

æ ö

\ çè + + + + + + ÷ø

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P X , Y , Z

X Y Z X Y Z X Y Z

æ ö

ç + + + + + + ÷

è ø

OP ¹0

!!!"

2 2 2

l 1

p q r

= + +

2 2 2

1

X Y Z

p q r

+ +

= + +

1

x y+ =2 P

(10)

10 上を動くとき(1)より

・・・(＊) かつ

かつが満たされる。よって点の軌跡は

球面から原点を除いた部分

となる。

(＊)を立式‥5 点

球面の方程式

‥10 点

「原点を除く」

(答) 球面 (ただし原点を除く) ‥10 点

2 2 2 2 2 2

1 2

X Y

X Y Z +X Y Z =

+ + + +

2 2 2

2X 2Y X Y Z

Û + = + + X²+Y²+Z² ¹0

(

^X ¹

) (

² ^Y ¹

)

² ^Z² ²

\ - + - + =

(

^{X Y Z}^{, ,}

) (

^¹ ^{0, 0, 0}

)

( )

Q X Y Z, ,

(

^x^-¹

) (

²⁺ ^y^-¹

)

²⁺^z² ⁼²

(

^x^-¹

) (

²⁺ ^y^-¹

)

²⁺^z² ⁼²

(11)

11

５（５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 25 点

カードの取り出し方は全部で通りあり, それらは同様に確からしい。

であり, は整数であるから, がで割り切れる事象とがで割り切れる事象は等しい。したがって, がで割り切れる確率を求めれば十分である。以下, 各カードに書かれた数字をで割ったときの余りに着目して考える。各カードに書かれた数字は, で割ったときの余りから

グループグループグループ

のグループに分けることができる。がで割り切れるとき, がすべて同じグループの数字である事象と, すべて異なるグループの数字である事象が考えられる。その場合の数は

(通り) である。以上より, 求める確率は

である。

(答)

がで割り切れる事象とがで割り切れる事象は等しい‥6 点

で割ったときの余りに着⽬

‥5 点

で割り切れるときの事象の説明

‥4 点

通り‥5 点

答‥5 点

(1)[別解]

カードの取り出し方は全部で通りあり, それらは同様

(1)[別解] 25 点

10P3=720

( ) ( )

( )

1 2 3 1 2 3

1 2

100 10 99 9 3 33 3

N M a a a a a a

a a a a

- = + + - + +

= +

1 2

33a +3a N 3

M 3 M =a₁+a₂+a₃

3

3 3

A!0, 3, 6, 9 B 1, 4, 7! C!2, 5, 8

3 a₁+a₂+a₃ 3

1, 2, 3

a a a

(

4 3P +3 3P +3 3P

) (

+ 4 1 3 1 3 1C × C × C 3! 252

)

× =

252 7 720=20

7 20

N 3

M 3

3

252

10P3=720

(12)

12

に確からしい。は百の位が , 十の位が , 一の位がである整数となるから, がで割り切れるとき, その各位の数の和がで割り切れる。すなわちがで割り切れる事象とがで割り切れる事象は等しいから

がで割り切れる確率を求めれば十分である。ここで, 取り出したカードを袋の中に戻した場合, すなわち

に重複を許す場合を考える。このとき,

はからの値をとり, このうちで割り切れるものは

の通りである。次に, に重複がある場合を考える。

[i] のすべてが等しいときこのとき, であり,

であるからはの値によらずで割り切れる。したがって, がで割り切れる事象の場合の数はのとり得る値の数に等しく, 通りである。

[ii] のうちつだけが等しいとき

まず, である場合を考える。このとき,

であるから, がで割り切れる条件は, がで割り切れることである。この条件をみたすの順列は, であることに注意すると

である。したがって, のときが

で割り切れる事象の場合の数は通りである。また, のとき

であり, のとき

である。よって, 対称性よりこれらの場合に

がで割り切れる事象の場合の数はそれぞれ通りである。

がで割り切れる事象とがで割り切れる事象は等しい‥6 点

重複を許した場合から重複がある場合を除く方針

‥5 点

[i]のとき通り

‥3 点

1 2 3

100 10

N = a + a +a a₁ a2

a3 N 3

(

= + +a a1 2 a3

)

3 N 3 M 3

1 2 3

100 10

N = a + a +a 3

1, 2, 3

a a a 100a1+10a2+a3

0 999 3

0, 3,!, 999 334 _{a a a}₁_, ₂_, ₃

1, 2, 3

a a a

1 2 3

a =a =a

1 2 3 1 1

100a +10a +a =111a =3 37× a

1 2 3

100a +10a +a a₁ 3

1 2 3

100a +10a +a 3

a1 10

1, 2, 3

a a a 2

1 2 3

a =a ¹a

1 2 3 1 3 1 1 3

100a +10a +a =110a +a =3 36× a +2a +a

1 2 3

100a +10a +a 3

1 3

2a +a 3 _{a a}₁_, ₃

1 3

a ¹a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0, 3 , 0, 6 , 0, 9 , 1, 4 , 1, 7 , 2, 5 , 2, 8 , 3, 0 , 3, 6 , 3, 9 , 4, 1 , 4, 7 , 5, 2 , 5, 8 , 6, 0 , 6, 3 , 6, 9 , 7, 1 , 7, 4 , 8, 2 , 8, 5 , 9, 0 , 9, 3 , 9, 6

1 2 3

a =a ¹a 100a₁+10a₂+a₃ 3 24

1 3 2

a =a ¹a

( )

1 2 3 1 2 1 2 1 2

100a +10a + =a 101a +10a =3 33a +3a +2a a+

2 3 1

a =a ¹a

( )

1 2 3 1 2 1 2 1 2

100a +10a + =a 100a +11a =3 33a +3a + +a 2a

1 2 3

100a +10a +a

3 24

N 3

M 3

10

(13)

13

以上より, のうちつだけが等しいときがで割り切れる事象の場合の数は

(通り) である。

以上[i], [ii]より, がで割り切れるとき, に重複がある場合は

(通り)

である。したがって, がで割り切れる事象の場合の数は (通り)

であり, 求める確率は

である。

(答)

[ii]のとき通り

‥3 点

通り‥3 点

答‥5 点

(2)

がで割り切れるのは, ≦ より, のときに限る。このとき, の組み合わせは,

である。一方, がで割り切れるのは, がで割り切れ, かつがまたはのときである。つまり, 条件をみたす

の組み合わせは, 上にあげた組み合わせのうちまたはを含むもの, すなわち

である。これら通りの組み合わせに対し, はまたはの通りに定まりとの順列は (通り)考えられるため, 条件をみたす場合の数は

(通り) である。以上より, 求める確率は

である。

(2) 25 点

がで割り切れるときの組み合わせ‥6 点(完答)

条件をみたすときの組み合わせ

‥6 点(完答)

通り‥6 点

1, 2, 3

a a a 2

1 2 3

100a +10a +a 3 24 3 72× =

1 2 3

100a +10a +a 3 _{a a a}₁_, ₂_, ₃

10 72 82+ =

N 3 334 82 252- =

252 7 720=20

7 20

72

252

M 15 M =a₁+a₂+a₃ 7 8 9 24+ + = 15

M = a a a₁, ₂, ₃

{ } { } { } { } { }

0, 6, 9 , 0, 7, 8 , 1, 5, 9 , 1, 6, 8 , 2, 4, 9 , 2, 5, 8 , 2,6, 7 , 3, 4, 8 , 3, 5, 7 , 4, 5, 6

N 15 _a₁+_a₂+_a₃ 3

a3 0 5

1, 2, 3

a a a 0 5

{

0, 6, 9 , 0, 7, 8 , 1, 5, 9 , 2, 5, 8 , 3, 5, 7 , 4, 5, 6

} { } { } { } { } { }

6 a₃ 0 5 1

a1 a2 2!

( )

^{1 2! 6 12}^× ^× ⁼

12 1 720=60

M 15

12

(14)

14

(答) ₁ 答‥7 点 60

２０２１年 一橋大学・本番レベル模試・数学 解答・解説・採点基準