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2020 年 第一回東工大模試 採点基準 数学
第 1 問 ( ６０点満点 )
(1) (配点20点)
l が単調に減少する数列であることを示して5点
l が整数であるか調べて5点 (値の列挙のみで整数であるかに言及のな いものは不可)
l で が整数にならないことを示して5点 l 答えで5点(答えだけは不可)
(2) (配点30点)
l が の倍数であることが必要条件であることを示して10点
l 以外で題意が成立しないことを示して10点(正しい論理で の候補を有限個 に絞れていれば可)
l 答えで10点(答えだけは不可) (3) (配点10点)
l が整数であることを示して5点 l ≧ のとき が整数でないことを示して5点
{ }
an1, 2, 4, 5, 10
a a a a a
10 n> an
1 n+ 3
2, 5, 8
n= n
1, 2, 3
b b b
n 4 bn
2
第２問 ( ６０点満点 )
(1) (配点20点)
l 接線 の方程式に5点 l を求めて5点 l 答えに10点 (各5点) (2) (配点40点)
l を立式して10点 (各5点)
l を の式で表して10点 (各5点) l から を全て消去して10点
l を求めて5点
l 答えに5点
! a b ab+ ,
1, 2
S S
1, 2
S S t, ,a b
1 2
S -S a b,
2
1 2 4 4
S -S = t +
3
第 3 問（ 60 点満点）
(1)(配点35点)
● などとおき, の実数解に関する条件に言い換えて5点
● を求めて5点 ● を求めて5点
● が の実数解に含まれるか議論して5点
● のとき を示して5点
● ≦ のとき条件を満たさないことを示して5点
● を正しく図示して5点 (2)(配点25点)
● 共有点の座標を両方求めて5点 ● 接線の方程式を求めて5点
● 求める距離が となることを示して5点
● に関する増減を正しく示して5点 ● 答えに5点
( )
ax2 2 bf x e bx
= - +a f x
( )
=0( )
xlim f x
®±¥
( )
0f x 1
= ± a f x
( )
=0b 1
a> b 2 a=e
b
a 1
( )
a b,3
8
8 1
d a
= a + d
4
第 4 問 ( ６０点満点 )
(1) (配点15点)
l 頂点 と頂点 の対称性に言及して5点 l 答が正しく書けて10点(完答)
(2) (配点25点)
l ①～③式を正しく導いて( について同値の式が記述されていれば可)‥5点(完答) l の値( )を2つ求めて‥5点(完答)
l のときの を正しく求めて‥5点
l のときの を正しく求めて‥10点(各5点×2) (3) (配点20点)
l 数列 の一般項を正しく求めて‥5点
l 数列 の一般項を正しく求めて‥5点 l 確率の和が であることを用いて‥5点 l 答が正しく書けて‥5点
(3)[別解]
l 数列 の一般項を正しく求めて‥5点
l 数列 の一般項を正しく求めて‥5点 l 数列 の一般項を正しく求めて‥5点 l 答が正しく書けて‥5点
B C
a b d, , b b =2,- -1d
b =- -d 1 a b d, , b =2 a b d, ,
( )
{
an+2bn+ -1± 5 dn}
{ }
dn1
( )
{
an+2bn+ -1± 5 dn}
{ }
dn{ }
pn5
第５問 ( ６０点満点 )
(1) (配点20点)
l , , のうち 式を正しく示せて10点 (5点×2) l 正しく証明出来て10点 (ただし, 「直線 」のように垂心 が三角形の頂点
と一致する場合を考慮していない場合は5点とする。) (2) (配点40点)
l 点 から平面 におろした垂線の足を点 としたとき,
となることを利用する方針に10点
l となることを示せて10点 ( または
を示してもよい。)
l を示せて10点
l 正しく証明出来て10点 (2)[別解1] (配点40点)
l となるような 座標空間を考える方針に10点 l 点 から平面 におろした垂線の足を点 としたとき, 実数 を用いて
と表せることを示せて10点
l , , のいずれか1つを示せて10点 l 正しく証明出来て10点
(2)[別解2] (配点40点)
l 点 から平面 におろした垂線の足を点 としたとき, と おいて10点
l 実数 を用いて と表せることを示せて10点
l , , のいずれか1つを示せて10点 l 正しく証明出来て10点
(2)[別解3] (配点40点)
l 点 から平面 におろした垂線の足を点 としたとき, と変形して10点
l を示せて10点 BC HA 0× =
!!!" !!!"
CA HB 0!!!" !!!"× =
AB HC 0× =
!!!" !!!"
2
HA H A, B, C
O ABC H¢
(
OH!!!!" !!!!"¢+H A¢) (
× OH!!!!" !!!!"¢+H B¢)
=OA OB!!!" !!!"× H A H B¢ × ¢ =-OH¢2!!!!" !!!!" !!!!" 2
H B H C¢ × ¢ =-OH¢
!!!!" !!!!" !!!!"
H C H A¢ × ¢ =-OH¢2
!!!!" !!!!" !!!!"
H A H B H B H C H C H A¢ × ¢ = ¢ × ¢ = ¢ × ¢
!!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
( ) ( ) ( )
A , 0, 0 , B 0, , 0 , C 0, 0,a b c xyz
O ABC H¢ k
OH k k k, , a b c
æ ö
¢=çè ÷ø
!!!!"
BC H A 0× ¢ =
!!!" !!!!"
CA H B 0× ¢ =
!!!" !!!!"
AB H C 0× ¢ =
!!!" !!!!"
O ABC H¢ OH!!!!"¢=sOA!!!"+tOB!!!"+uOC!!!"
k OH k2OA k2OB k2OC
a b c
¢= + +
!!!!" !!!" !!!" !!!"
BC H A 0× ¢ =
!!!" !!!!"
CA H B 0× ¢ =
!!!" !!!!"
AB H C 0× ¢ =
!!!" !!!!"
O ABC H¢
CA H B CA OB CA OH× ¢ = × - × ¢
!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
CA OB 0× =
!!!" !!!"
6
l , , のいずれか1つを示せて10点 l 正しく証明出来て10点
BC H A 0× ¢ =
!!!" !!!!"
CA H B 0× ¢ =
!!!" !!!!"
AB H C 0× ¢ =
!!!" !!!!"
