PDF 2009年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅱb〉

第１問

〔１〕 x ≥2 より s = log2x ≥1

y ≥2 より t = log2y ≥1 ……ア

8 £xy £16より log28 £log2xy = log2x + log2y £log216

すなわち, 3£s + t £4 (¤- s + 3 £t £- s + 4) ……

イ，ウ

また 

……

エ，オ

が成り立つ。

よって

m直線  ……①

s ≥1,t ≥1,- s + 3 £t £- s + 4が表す領域(下図網目部分) の共有点存在条件より

直線①が点(1,3) を通るとき すなわち,

s = 1,t = 3のとき ……カ，キ

g の最大値G

……ク，ケ

このとき log2x = 1 より x = 2 ……コ

log2y = 3 より y = 2³= 8 ……

サ

である。

= 7 2

= 1 + 2 ¥1 3 z= 1 s+t

2

t= - 1 s+z 2

z x y x y

s t

= + = +

= +

log2 log2 log2 log2

1 2 1

2

1 1 2

O x

s s = log2x

1 1 2

O y

t t = log2y

1 1 3 4

O 3 4

t = - s + zmax

1 2 - 1 s +

2 7 2 t

=

s

〔２〕 0 £ q< 2p

5 sin q- 3 cos 2q= 3 ……(＊) 5 sin q- 3(1 - 2 sin²q) = 3

よって,6sin²q+ 5 sin q- 6 = 0 ……シ，ス

(2 sin q+ 3)(3 sin q- 2) = 0 - 1 £sin q £1 より

……セ，ソ よって 0 £ q1< q2< 2pとすると,右図より

……タ，チ である。

また  より

よって  (……③) ……① ……

ツ

が成り立つ。

ここで,①より 

また q1+ q2= p より  よって nq1> q2が成り立つのは

すなわち n ≥4 のときである。

よってこれを満たす最小の自然数n = 4 ……

テ

である。

n 4

5 p£ 5 p

3 4

4

2 1 5

p<q = p-q < p

n n n

5 p< q¹ < 4 p

p q p

< <

5 ¹ 4

cos p cos cos

q p

< <

4 ¹ 5

< < + 2

2

5 3

1 5

4 cosq = 5 ,cosq = -

3

5

1 2 3

sinq = 2 3

2倍角の公式で sin qのみに統一!!

q₁ q₂ O

③  5

② 

第２問

C : y = 2x² ……①

点P(x,y) は点Q(u,v) に関して点A(1,- 2) と対称 であるから,

……

ア，イ

……②

……

ウ，エ

QがC上を動くとき①より v = 2u² ……③ が成り立つので

②,③より

よって D : y = (x + 1)²+ 2 = x²+ 2x + 3 ……④ ……オ，カ

①,④より 2x²= x²+ 2x + 3 x²- 2x - 3 = 0 (x + 1)(x - 3) = 0

x = - 1,3

よって 放物線CとDの交点のx座標はそれぞれ - 1,3 ……

キク，ケ

である。

また ④より y' = 2x + 2

したがって点R(- 1,2) におけるDの接線は y - 2 = 0•(x + 1)

y = 2 ……コ

点S(3,18) におけるDの接線は

y - 18 = 8(x - 3)

y = 8x - 6 ……サ，シ

y- x

= +

2

2 2 1

2

2

¥

ª º

u x

v y

= +

= -

Ï Ì ÔÔ ÔÔ

Ó ÔÔ ÔÔ

1 2

2 2 (-1,2)

A (1,- 2) O

Q C P y

x D

R (-1,2)

S (3,18)

O 2 -1 3

C y

x D

点(t,f(t)) における

y = f(t) の接線は y - f(t) = f'(t)(x - t)

S

点P,Rからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれK,Lと すると

……ス〜タ

これより

よって  のとき S(a) は最大値をとる。 ……チ，ツ

……⑤

④,⑤より

3x²+ 2x - 1 = 0 (x + 1)(3x - 1) = 0

x ®- 1より

……テ，ト

さらに の範囲で放物線D,直線PH,直線HRで囲まれた図形の面積をTと すると

1 3

5

£x£ 3

x= 1 3 x= -1 1

,3

x +2x+3= 4 x+ 3

10 3

2

y= 4 x+ 3

10 3

HR : y x

x - =

- +

+

( )

= ( + ) 2

50

9 2

5 3 1

1

4

3 1

a= 5 3

S a a a

a a

'( )=

(

- + +

)

= - ( - )( + ) 1

2 3 2 5

1

2 3 5 1

2

=

(

- + +

)

( + )

=

(

- + + +

)

1

2 2 3 1

1

2 5 3

2

3 2

a a a

a a a

S(a)= ¹ ∑ =

{ (

a + a+

)

- a

}

^∑{a^{- -( )}} 2

1

2 ² 2 3 2 ² 1

PH KL

底辺  高さ 

O 3

-1 y

x P

K H

a L C D

R

O 5

3 1 3

3 R

P

D C

y

-1 x

H

ª

⁵

º

3 50 , 9 2

O S(a)

Max 3 -1

-1

a 5 3

5 3

3 a

……ナ〜ノ

(注)

……

ナ〜ノ

としてもよい。

= 160 81

T x x dx x x dx

x x dx

x x

= ( + ) - = - + -

= - + -

= - + -

= ∑ + ∑

Ú Ú

Ú

1 3 5 3

1 3 5 3

1 3 5

3 2

3 2

1 3 5 3

3 2

1 1

3

1 3

4 3

1 3 1

3

4 3

1 3 1

3

1 3

2 3

1 3 1

3 4 3

2 3

4 3

ª º ª ºª º

”ª º ª º’

“ ª º ª º ‘

ª º ª º

= 160 81

T x x x dx x x dx

x x x

=

(

+ +

)

- + = + -

= È + -

Î ÍÍ

˘

˚

˙˙

= - + - - -

Ú

1

Ú

3 5

3 2

1 3 5

3 2

3 2

1 3 5 3

2 3 4

3

10 3

2 3

1 3 1

3

1 3

1 3 1

3 125

27 1 27

1 3

25 9

1 9

1 3

5 3

1 3

” ª º’ ª º

ª º ª º ª º

第３問

{an}

(1) 等比数列{bn} の 初項は  ……ア，イ

公比は  ……ウ，エ

したがって 公比 より

……オ〜ク

また より

……ケ，コ

= 1 3ⁿ²

b b b_{n n}

n

n n

1 2 3 5 2 1

1 3 5 2 1

1 2 1 2

1

3 3 3 3

1 3

1 3

º =

∑ ∑ B

=

=

-

+ + + +( - )

+ -

( )

º

1 3

1 9

1 3 3

1 3

1

2 2 2 1

bk

k

k k

= ∑ =

∑ =

-

- -

ª º

1

3 1 1

9 1 1

9

3

8 1 1

Tn 9

n

= n

- -

= -

” ª º ’ ª º

1 9 ® 1

1 = 3

1 9

ª º

2

b1 a2

1

= = 3

1 ¥ 3 1

¥ 3 1 ¥ 3 1

¥ 3 1 ¥ 3 1

¥ 3 a1, a2, a3, a4, a5, a6,B

b₁ b₂ b₃

= = =

1

¥ 9 1

¥ 9 1

¥ 9

a_n

n

= ∑

-

: 1 1

3

ª º

1

は 初項1,末項2n - 1 の 等差数列の和より  項数n

=

2

( + )

•

S

(2) cn= 2n•bnとおくと

よって 9cn + 1- cn= 2bn ……

サ，シ

(別) Acn + 1- cn= Bbn(A,Bは定数) とおくと

cn= 2nbn より  よって

両辺をbn(®0) で割ると

(2A - 18)n + 2A - 9B = 0

これがすべてのnについて成り立つことから

これから A = 9,B = 2 したがって 9cn + 1- cn= 2bn

よって

……① である。

ここで

= 8Un+ 9cn + 1- 9c1 ……② ……ス〜ソ

9 9 9

8 9 9

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1 1

c c c c c c c c

c c c

k k

k n

k k k

k n

n k

k n k

n k

n

k k

n

n +

=

+

=

+

=

=

=

=

+

-

( )= - = + - -

= + -

    Â

Â

ª

1

º

c +₂ c3+ B +c +n cn + 1

9 1 2 2 2

1 1 1

ck ck b b T

k n

k k n

k n k

n +

= = =

-

( )= = =

  Â

A

A B

- =

- =

Ï ÌÔÔ ÓÔÔ

2 18 0

2 9 0

A n( + )- n =B 2

9 1 2

A∑ 2 (n+ )bn - nbn =Bbn

9 1 2

c_n+₁ =2(n+1)b_n+₁ =2(n+1)∑ 1 b_n 9

c n b n b

n b b

c b

n n n

n n

n n

+ = ( + ) + = ( + )∑

= ∑ ∑ +

= ∑ +

1 2 1 1 2 1 1

9 1

9 2 2

9 1

9

2

9 (

ただし 

cn= 2n•bn)

{cn} が満たす漸化式

を作った！

S

= 0 がnの恒等式  n +

=    = 0 

¤

①,②より

2Tn= 8Un+ 9cn + 1- 9c1

よって 

jただし  J

……タ〜テ，ト〜ネ

= 27 - + · 32

24 27 32

1 9 n

n

n

n

n n

n

= -

∑ - ( + ) +

= - +

∑

-

1 8

3 4

3 4 3

2 1

3 6

1 8

27 4

24 27 4 9

2 2 1

” ’

ª º

T c n

c b

n = - n n = (n+ )

= =

+ ( + )-

3

8 1 1

9

2 1

3 2 2

1 2 1 1 1 1 3

ª º

, ,

U T c c

n

n n n

n n

= ( - + )

= - - ∑ ( + )

+ ∑

+

+

1

8 2 9 9

1 8

3

4 1 1

9 9 2 1

3 9 2

3

1 1

2 1

” ª º ’

第４問

(1)

= 0 - 0 - 0 + 1

(ただしOC^OA,OC^OB,OB^OA)

= 1 ……ア

であり

(ただし )

……イ，ウ

(別) 右図で点Cから辺ABに下ろした垂線の足 をHとすると

= 1 ……ア

であり

……

イ，ウ

GABC = 1

ª º

2 BA CH = 1

∑ ∑ 2 ∑ 2∑

(

5

)

^- 2 ⁼ 2

3 2

2

2

BC BA BC BA ABC

= BC BA BH

BC BA BH

= 2

L L L L

N N N N

∑ =

∑ ∑ = ∑

cos–

¥ 2 2

= 3 2

N^LBCN = 5,NBA^LN= 2,BC BA^L∑^L =1 GABC = 1 N^LN N^{2 L}N^{2 L L}

2 BC BA - BC BA∑

=

( ) ( )

^-

( )²

2 2

1

2 5 ²¥ 2 1

BC BA OC OB OA OB

OC OA OC OB OB OA OB

L L L L L L

L L L L L L L

N N2

∑ = - ∑ -

= ∑ - ∑ - ∑ +

( ) ( )

O

D C

y z

x

E B₁ B

A₁

A

- 2

2 1

1 u

v a 1 - a

始点をOにそろえる

A

H

B

C

5 5 2

2 2

(2) ……エ 点PがA1B1上:

……① また

点QがAE上:

……② ……オ，カ

(ただし, )

PとQが一致するとき u®o,v®o,u v であるから

①,②より u,vの係数を比較して b = c,a = 1 - c より

b = c = - a + 1 ……キ〜ケ

このとき  とかける。

よって 点E1(= P= Q) はAEをa : 1 - aに内分する。 ……

コ

同様にして a',b' (0 < a' < 1,0 < b' < 1) を用いると

点RがA1C1上:

点SがAD上:

とかける。

よって 2点R,Sが一致するとき であるから の 係数を比較して

a = 1 - a',b' = a' であるから  a' = 1 - a

したがって

となり

点D (= R= S) もDAを a : 1 - aに内分する。

OR^L =OS^L=OC^L+aCD^L+(1-a)CA^L

CD^L,CA^L CD^L®o,CA^L®o,CD^L?CA^L

OC^L CD^L CA^L

= +(1-a' ) +a' OC^L CD^L CA^L CD^L

= + +a' ( - ) OS OD DS OC CD DA

L L L L L L

= + =( + )+a' OC^L CD^L CA^L

= +a +b' OC^L BE^L CA^L

= +a +b'

OR OC1 C R1 OC BB1 C A1 1 L   L L Ò

= + =( + )+b' OP^L=OQ^L =OB^L+(1-a)u+av

?

u=BA^L ,v=BE^L

=OB^L+cu+

(

1-c

)

v OB^L

= +_v+_c

(

_u-_v

)

OQ^L =OE^L+cEA^L =(OB^L+BE^L)+c( BA^L-BE^L)

=OB^L+bu+av OB^L BE^L BA^L

= +a +b

OP OB B P OB BB B A1 L L  L L Ò

= ₁ + ₁ =( + ₁)+b ₁ BB^L₁ =aBE^L= av

B始点にそろえた 2通りを係数比較!

S

C始点にそろえた 2通りを係数比較!

S

D1

E₁ A (A₁) a a

GAE1D1@GAB1C1

(相似比a : 1)

さらにGA1B1C1∫GABCとGA1E1D1@GAED(相似比a : 1) に 注意すると

FB1C1D1E1= GA1B1C1- GA1E1D1

GA₁B1C1

……ス〜チ である。

また,

= (1 - a)²¥2 + 2a(1 - a) ¥1 + a²¥5

(ただし  )

= 5a²- 2a + 2

よって  ……ツ〜ト

である。

N^ÒB D_{1 1}N= 5a² -2a+2

NBA^LN=1,NBC^LN= 5,BA BC^L∑^L =1 NBA^LN² BA BC^{L L} N^LBCN²

2 2

1 2 1

=( -a) + a( -a) ∑ +a N^ÒB D1 1N² =N(1-a)BA^L+a^LBCN²

C y

x

z

a

E

A1 A

D E₁

B₁ B C₁ a

a

1 - a

1 - a O

a

a

1 - a 1 - a

D₁

= ³

(

-

)

2 1 a²

=

(

-

)

∑

(

-

)

∑

1 G

1 3

2

2

2

a a

ABC

=

=

” ª º ’

1- ∑ 1 a 2

GA1B1C1はGABCを A1Aだけ平行移動した ものである。(左下図)