H = − (p2 2 3xp 2 (x (p eA) e () (0,0 () - Sophia

解析力学定期試験 2006, 7/21, 1100-1230, 9-353

全ての問題において途中の計算も記して下さい。

1. 正準変換

ハミルトニアン ²

(

^{p2 2 3xp 3x2}

)

H =m − + を正準変換

⎩⎨

⎧

+

−

=

+

=

θ θ

θ θ

cos sin

sin cos

p x

P

p x

X （但しθは定数）に

よって変換し、θを上手く取ると、実は極めて良く知られた運動と等価であることを示そう。

2. 荷電粒子に対するラグランジアンとハミルトニアン

静電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン^H

( )

^{xr,pr =}

(

^{p eA}

)

^e

( )

^x

m

r r

r− ²+

φ

2

1 について、磁場

(

0,0,B₀

)

、

電 場

(

E0^,0,0

)

の 場 合 の 式 を 書 い て み よ う 。 次 に 対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ア ン を 定 義 式

( )

^{x p H}

( )

^{x p}

L r,

υ

r = r⋅

υ

r− r, r から計算してみよう。さらにオイラー・ラグランジュの式から運動方 程式も導出してみよう。注意)ラグランジアンはpは含んではいけない。

3. 基準振動

二つの質点が右図のように両側の壁とバネで繋がれ、一次元調和振動をしているとする。

この系のラグランジアンを書き下し、次に運動方程式を導き、基準振動数を求めよう。

さらに、m=M の場合について基準座標も求めよう。

4. 位相空間

図に示すようなポテンシャル中を一次元運動する質量mの質点について、まず、ハミルトニ アンを書き下そう（ヒント─ _xの範囲について場合分けが必要だ）。

次に位相空間における(x, p)の軌跡を描こう。質点のエネルギーE (運動エネルギーとポテンシ ャルエネルギーの和)がE<mgh, E=mgh, E >mgh

の各場合について何本か描いて見よう。

m M

k k k

h x

0 +L/2

−

L/2

−

L +L

解析力学定期試験 2006, 7/21, 1100-1230, 9-353

【解答】

1) 3

φ

=

π

と置けば、

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

− +

= +

=

2 2

3 2 3 2

p P x

p X x

なので、

( )

4 8 3 2

3

2 ₂ 2 _{2 2} ²

m P P x m

xp m p

H = − + = ⋅ = となり、

これは自由な質点と等価。

2) Ar =B₀

(

−y 2,x 2,0

)

,

φ

=−E₀xと置くと、 p y p x x y eE x eB

m p

H ^{x y} ₀

2 2 0

2

4 2

2

1 ⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + + +

−

=

ラグランジアンへの変換は与えられた定義式に

m A e p p

H r r

r r = −

∂

=∂

υ

を代入して、

( ) υ ( υ ) υ ( )

^m

υ

^e

φ

^m

υ

^eA

υ

^e

φ

A m e m x

L r r = r+ r ⋅r− r ²− = ²+ r⋅r− 2

1 2

, 1 となる。具体的に与えられた静電磁場の

場合は、^{L m eB}

(

^y x ^x y

)

^eE0^x 2 0

2 2

1 + − + +

=

υ υ υ

オイラーラグランジュの式に代入すると運動方程式は

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

=

− + 2 0 2 0

0 0 0

y x

x y

eB m

m eB eE

υ υ υ υ

&

&

3) 各質点の位置ずれをx,yとすると ^{2 2 2}

( )

^{2 2}

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1mx My kx k x y ky

L= & + & − − − −

E.-L.方程式

( )

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

−

− +

∂ =

− ∂

∂

∂

=

−

−

−

−

∂ =

− ∂

∂

∂

0 0 y M ky y x y k

L dt

d y L

x m y x k x kx

L dt

d x L

&&

&

&&

& より、 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

y x y

x

β β

α α

2 2

&&

&& 、但し

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= M k

m k

β α

対角化して

(

2

α

−

λ )(

2

β

−

λ )

−

αβ

=0^より

λ

²−2

( α

+

β ) λ

+3

αβ

=0^なので、

( α β ) ( α β ) αβ λ

= + ± + ² −3

∴

新しい座標系では、 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

Y X Y

X

λ λ

0 0

&&

&&

なので、基準振動数は、

ω

_{± =}

λ

_±

解析力学定期試験 2006, 7/21, 1100-1230, 9-353

固有ベクトルを ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ B

A と置くと、2

α

_A−

α

_B=

λ

_±A, ∴B= ⎜⎝⎛

( α

−

β ) ( α

+

β )

−

αβ

⎟⎠⎞A

α

³

1 2

m

β

α

= と置けば、∴B=

( )

m

α

A=mA

α

1 なので、 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

y x Y

X

1 1

1 1 2

1 (規格化はしなくとも可)

4)

( )

( )

( )

( )

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

<

<

⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

<

+

= +

=

2 2

2 2 1

2 2 2

2 2 2

2

x L m

p

L x L L

mgh x m p

x L m mgh

p

x m mgU H p

より、穴の底と外側ではE=Hの軌跡は水平線になる。

穴の中の右斜面上では _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= 2 1

2

2

mgh m p E

x L なので、横向きの放物線で頂点は _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +1 ,0

2 mgh

E L

=0

E では底面のどこかで静止(E→+0の極限では水平線) mgh

E< では斜面の途中まで上る往復運動 mgh

E= では斜面のちょうど上まで登り切って停止 mgh

E> では斜面を登り切って、減速して外へ出て行く

x p

0 +L/2

−

L/2

−

L +L

（破線は補助線）