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○とと||のやつ（重複組合せ）.1のやつ（重複組合せ）.1 1. 次の条件を満たす整数 x
1. 次の条件を満たす整数 x,, y y,, z の組合せは全部でいくつあるか。 z の組合せは全部でいくつあるか。
1
1 x x++yy++zz == 1010,, x x ≧≧00,, y y ≧≧00,, z z ≧≧00 (
( )) 2
2 x x++yy++zz == 1010,, x x ≧≧11,, y y ≧≧11,, z z ≧≧11 (
( )) 3
3 x x++yy++zz == 1010,, x x ≧≧00,, y y ≧≧11,, z z ≧≧22 (
( )) 4
4 x x++yy++zz ≦≦ 1010,, x x ≧≧00,, y y ≧≧00,, z z ≧≧00 (
( ))
2. 次の条件を満たす整数 a
2. 次の条件を満たす整数 a11,, a a22,, a a33,, a a44,, a a55 の組は全部でいくつあるか。 の組は全部でいくつあるか。
1
1≦≦aa11 ≦≦aa22 ≦≦ aa33 ≦≦ aa44 ≦≦ aa55 ≦≦44
3. a
3. a,, b b,, c c,, d d,, e を整数とする。次の条件を満たすそれらの整数の組合せは全部で e を整数とする。次の条件を満たすそれらの整数の組合せは全部で いくつあるか。
いくつあるか。
1
1 a a++bb++cc++dd==77,, a a ≧≧00,, b b≧≧00,, c c≧≧ 00,, d d ≧≧ 00 (
( )) 2
2 a a++bb++cc++dd++ee ==1212,, a a ≧≧ 00,, b b≧≧ 11,, c c≧≧11,, d d ≧≧11,, e e ≧≧22 (
( )) 3
3 a a++bb++cc++dd≦≦1010,, a a ≧≧ 00,, y y ≧≧ 00,, z z ≧≧ 00 (
( )) 4
4 2 2≦≦ aa ≦≦ aa ≦≦aa ≦≦aa ≦≦aa ≦≦aa ≦≦55 (
( )) 11 22 33 44 55 66
4. 次の条件を満たす整数 x
4. 次の条件を満たす整数 x,, y y,, z の組合せは全部でいくつあるか。 z の組合せは全部でいくつあるか。
x
x++yy++zz ≦≦ 1010,, x x ≧≧11,, y y ≧≧11,, z z ≧≧11
5. りんご、バナナ、みかんを重複を許して 8 個取る⽅法は何通りあるか。
5. りんご、バナナ、みかんを重複を許して 8 個取る⽅法は何通りあるか。
1
1 1 つもとらない果物があっても良い場合 1 つもとらない果物があっても良い場合 (
( )) 2
2 どの果物も 1 つ以上とる場合 どの果物も 1 つ以上とる場合 (
( ))
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○とと||のやつ（重複組合せ）.2のやつ（重複組合せ）.2
6. ⾒分けのつかないボール 10 個を A
6. ⾒分けのつかないボール 10 個を A,, B B,, C C,, D の 4 つの箱に分ける⽅法を考える。 D の 4 つの箱に分ける⽅法を考える。
1
1 1 個も⼊れない箱があってもいい場合、分け⽅は何通りあるか。 1 個も⼊れない箱があってもいい場合、分け⽅は何通りあるか。
( ( ))
2
2 どの箱も最低 1 個は⼊れる場合、分け⽅は何通りあるか。 どの箱も最低 1 個は⼊れる場合、分け⽅は何通りあるか。
( ( ))
7. 区別のつかない 3 つのサイコロを同時に投げるとき、⽬の出⽅は何通りあるか。
7. 区別のつかない 3 つのサイコロを同時に投げるとき、⽬の出⽅は何通りあるか。
8. サイコロを 10 回投げるとき、出た⽬の積が奇数である場合は何通りか。
8. サイコロを 10 回投げるとき、出た⽬の積が奇数である場合は何通りか。
9. x
9. x,, y y,, z の 3 種類の⽂字から作られる 7 次の項について考える。 z の 3 種類の⽂字から作られる 7 次の項について考える。
1
1 使わない⽂字があっても良い場合、このような 7 次の項はいくつあるか。 使わない⽂字があっても良い場合、このような 7 次の項はいくつあるか。
( ( ))
2
2 どの⽂字も最低 1 つは使う場合、このような 7 次の項はいくつあるか。 どの⽂字も最低 1 つは使う場合、このような 7 次の項はいくつあるか。
( ( ))
10.
10. ((xx++yy++zz))55 を展開し同類項をまとめたとき、異なる項はいくつあるか。 を展開し同類項をまとめたとき、異なる項はいくつあるか。
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○とと||のやつ（重複組合せ） 略解のやつ（重複組合せ） 略解 1.
1. ((11)) 1212CC22 ==66 66 ((22)) 99CC22 ==36 36 ((33)) 99CC22 == 36 36 ((44)) 1313CC33 == 286286 2.
2. 88CC33 ==5656 3.
3. ((11)) 1010CC33 ==120 120 ((22)) 1111CC44 == 330 330 ((33)) 1414CC44 ==1001 1001 ((44)) 99CC33 ==7272 4.
4. 1010CC33 == 120120 5.
5. ((11)) 1010CC22 ==45 45 ((22)) 77CC22 ==2121 6.
6. ((11)) 1212CC22 ==66 66 ((22)) 99CC22 ==3636 7.
7. 88CC33 ==5656 8.
8. 1212CC22 == 6666 9.
9. ((11)) 99CC22 == 36 36 ((22)) 66CC22 == 1515 10.
10. 77CC22 == 2121
