3. 경계치 문제의 정식화
3.5. 속도와 압력의 계산
Fig. 3-13 Local coordinate system for the calculation of tangential vector at nodal points
3점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적을 이용하여 Fig. 3-14의 ,
그리고 를 구한다.
Fig. 3-14 Tangential vector at local coordinate system
3점을 지나는 방정식을 다음과 같이 정의 한다.
(3.20)
식 (3.20)를 에 대해 미분 하여 접선벡터의 기울기를 구하고, 국부 좌표계에서의 접선벡터를 구한다.
(3.21)
여기서, 은 국부좌표계에서의 접선벡터이다.
식 (3.21)의 접선벡터는 원 좌표계의 방향벡터를 이용하여 원 좌표계 의 접선벡터를 구한다.
∙ (3.22)
여기서, 은 국부좌표계에서의 방향벡터이고, 는 원 좌표계에서의 방향벡터이다.
(3.23)
방향의 접선벡터도 방향의 접선벡터와 같은 방법으로 구할 수 있 다.
와 방향속도는 접선방향 속도를 와 방향으로 투영시킨 속도이 고, 접선벡터를 구하는 방식과 같이 포텐셜에 대해 식 (3.21)를 구하여
와 방향으로 각각 미분하여 얻을 수 있다. 접선방향 속도는 와 방 향 속도를 와 방향으로 변환하여 벡터의 합으로써 구할 수 있다.
먼저 방향은 방향과 일치시키고 방향은 방향과 직교하도록 국부 좌표계를 정의한다. 국부좌표계의 정의에 의해 방향의 속도는 방향 의 속도와 같고, 방향의 속도는 식 (3.24)와 같이 구할 수 있다.
Fig. 3-15 Projection of the velocity vector to the local coordinate system
∂
∂ cos
∂
∂ ∂
∂sin
(3.24)
여기서, 는 방향과 방향 사이의 각이다. 총 속도(toatl velocity) 는 접선방향 교란속도(perturbation velocity)와 유입속도(inflow velocity)의 합으로 구할 수 있다.
날개 뒷날에서 방향 속도와 방향 속도의 계산은 선형 보간법을 사 용하여 계산한다.
or or or or
or or
or or (3.25)
or or or or
or or
or or (3.26)
여기서 는 코드방향의 길이이고, 아래 첨자는 날개 뒷날에서의 특이 점의 위치이다.
압력 계수는 베르누이 방정식을 이용 하여 간단하게 구할 수 있다.
∞
∞
∞
(3.27)
4. 2차원 날개 단면에 적용
4.1. 2차원 구분 선형 패널법의 정식화
2차원 날개 단면에 대한 적분방정식은 다음과 같다.
log
log
∆
log
(4.1)
이때, 특이점의 개수는 기존의 제어점과 특이점 모두 패널의 중앙에 균 일 강도 패널법과 달리 특이점이 절점에 위치한 관계로 개수가 1개 늘 어난 개가 됨을 주의 하여야 한다. 제어점의 경우 패널의 중앙에 위치하고 개수는 N개가 된다.
적분방정식 (4.1)을 이산화 하면 다음과 같다.
∆
(4.2)여기서, 는 번째 다이폴 패널의 단위 강도에 의한 번째 제어점 의 유기 포텐셜, 은 번째 소스 패널의 단위 강도에 의한 번째 제어점의 유기 포텐셜, 은 후류의 다이폴에 의한 번째 제어점의 유기 포텐셜 그리고 ∂
∂ 는 경계조건에 의한 번째 제어점의 소스 강도이다.
이산화식 (4.2)를 선형강도를 갖는 다이폴을 적용하면 선형대수 방정 식은 다음과 같이 표현된다.
(4.3)여기서,
if
(4.4)
if
if (4.5)
if
if (4.6)
여기서, 과 은 Fig. 4-1과 Fig. 4-2와 같이 패널의 양 끝에 각 각 선형강도를 갖는 다이폴 영향계수를 의미한다.
Fig. 4-1 DR dipole influence coefficient
Fig. 4-2 DL dipole influence coefficient
선형강도 패널법에서는 제어점의 위치가 절점에 위함으로 각 절점에 서의 자기 유도 계수를 고려하여한다. 절점에서의 자기 유도 계수는 Jack Moran[11]에 의해 제안되었다. Jack Moran[11]은 각 절점에 인 접한 두 패널 사이의 각도로 표현할 수 있다고 보았다.
제어점 P가 번째 절점에 위치할 때 자기 유도 계수는 다음과 같다.
(4.7)
구분 성형 패널법에서는 N개의 방정식과 N+1개의 미지수가 있기 때 문에 이산화 방정식을 풀기 위해서는 1개의 식이 추가적으로 요구 되 어 진다. 그래서 Fig. 4-4과 같이 날개 뒷날의 상면과 하면 패널의 접 선방향 속도의 크기가 같도록 하는 Kutta 조건을 적용하여 방정식의 개수와 미지수의 개수를 같도록 하였다.
(4.8)여기서,
cos sin (4.9)
cos sin (4.10)
여기서, 그리고 은 각각 날개 뒷날 패널의 절점에서의 교란 포텐셜(perturbation potential)이다. 은 각 패널의 길이, 는 유체의 유입각이고, 는 패널의 접선방향 벡터이다.
Fig. 4-3 Self-induction for a linear dipole strength panel
Fig. 4-4 Notation for Kutta condition at the trailing edge