3. 연속운항 금지구간에서 증속 시 과도 비틀림진동 해석
3.2 엔진 기진력 정의
비틀림 진동을 해석할 때 엔진의 기진력으로 고려되는 것은 실린더 내부의 폭발 압력과 피스톤의 회전 질량 관성이다. 과도 비틀림 진동 해석에서 이 기진력은 엔진의 회전속도와 크랭크 회전 각도의 2차 함수로 적용된다. 시간 영역 해석 시에 크랭크의 회전각과 엔진 회전속도의 고려 여부는 중요한 차이를 발생시키며, 이 차이는 비틀림 진동 해석에서 특히 중요하다.[10]
Fig. 26 Piston reciprocating machine[11]
ω 𝑷
𝑷 𝒕𝒂𝒏 𝝓 𝑷
𝒄𝒐𝒔 𝝓
l
𝝓
r ω
C
A B
D O
Fig. 19에서 실린더 내에서 폭발행정이 일어나고 그 압력이 지름이
𝐷cm
인 피스톤을 누르면, 피스톤에 작용하는 힘은 식(3.5)와 같이 나타낼 수 있다.F = 𝜋
4 𝐷
2𝑃
(3.5)이 힘이 연결봉(Connecting rod)을 통해 전달되어 크랭크를 회전시키는 토크가 된다. 이 토크로 인해 크랭크가 각속도 ω로 회전한다고 하면, 상사점(t=0)으로부터 t초 후에 크랭크의 위치는 A점이 된다. 이 때 C점에서 연결봉으로는 F
𝑐𝑜𝑠𝜙 의 힘을 전달하고, 크로스헤드 가이드로는
F tan 𝜙
의 힘이 작용한다. 크랭크에 작용하는 힘은 이 힘과 같다. 크랭크에 작용하는 토크는 O점으로부터의 수직 교차점 D를 설정한 후 식(3.6)으로 나타낼 수 있다.T = 𝐹
cos 𝜙 ∙ 𝑂𝐷 ̅̅̅̅ = 𝐹
cos 𝜙 ∙ 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ ∙ sin 𝜙 = 𝐹 ∙ 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ ∙ tan 𝜙
(3.6)여기서
𝑂𝐶 ̅̅̅̅
는 아래 식(3.7)로 계산된다.𝑂𝐶 ̅̅̅̅ = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ + 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ = 𝑙 cos 𝜙 + 𝑟 cos ω𝑡 = 𝑙 ∙ √1 − (sin 𝜙)
2+ 𝑟 cos ω𝑡
= 𝑙 ∙ √1 − 𝑟
22𝑙
2(sin 𝜙)
2+ 𝑟 cos ω𝑡 = 𝑙 ∙ (1 − 1 − 𝑟
22𝑙
2(sin 𝜙)
2+ ⋯ ) + 𝑟 cos ω𝑡 ≈ 𝑙 ∙ (1 − 1 − 𝑟
22𝑙
2∙ (1 − cos 2𝑤𝑡)
2 ) + 𝑟 cos 𝑤𝑡 = (1 − 𝑟
24𝑙 ) + 𝑟 cos ω𝑡 + 𝑟
24𝑙 cos 2ω𝑡
(3.7)
또 여기서
tan 𝜙는 아래 식(3.8)로 표현할 수 있다.
tan 𝜙 = sin 𝜙
cos 𝜙 = sin 𝜙
√1 − (sin 𝜙)
2= sin 𝜙 ∙ (1 + 1
2 (sin 𝜙)
2+ ⋯ )
=
𝑟𝑙
sin 𝜔𝑡 ∙ (1 +
𝑟22𝑙2
(sin 𝜔𝑡)
2)
(3.8)
따라서 식(3.6)은 식(3.9)와 같이 나타낼 수 있다.
T = F ∙ {(1 −
𝑟24𝑙
) + 𝑟 cos 𝜔𝑡 +
𝑟24𝑙
cos 2𝜔𝑡} ∙
𝑟𝑙
sin 𝜔𝑡 ∙ (1 +
𝑟22𝑙2
(sin 𝜔𝑡)
2) = 𝐹 ∙ 𝑟
𝑙 sin 𝜔𝑡 ∙ {(1 − 𝑟
24𝑙 ) + 𝑟 cos 𝜔𝑡 + 𝑟
24𝑙 cos 2𝜔𝑡} ∙ (1 + 𝑟
22𝑙
2(sin 𝜔𝑡)
2)
(3.9)
식(3.9)에서 𝑟
𝑙
= 𝜆
라 하고, 매우 작은 값인 𝑟2𝑙2을 무시하면, 실린더 내부 폭발로 인해 O점에 작용하는 토크 T는 아래 식(3.10)과 같이 간략하게 나타낼 수 있고, 이 수식을 이용하면 실린더 내 가스 폭발에 의해서 얻어지는 토크를 Fig. 26과 같이 나타낼 수 있다.
T = Fr sin 𝜔𝑡 (1 + 𝜆 cos 𝜔𝑡) = Fr(𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜆 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡) = Fr (𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜆
2 𝑠𝑖𝑛 2𝜔𝑡)
(3.10)
Fig. 27 Engine Gas Torque at MCR
엔진 실린더 내부의 가스 폭발압력으로 인한 토크 이외에 피스톤과 연결봉, 크랭크기구는 구동 중에 생기는 왕복질량과 회전 질량에 의하여 상하방향의 관성력을 갖게 된다. 실린더 하나의 왕복 질량에는 피스톤과 부착물들의 질량, 그리고 연결봉의 왕복질량이 포함된다. 모든 실린더의 전체 회전질량은 크랭크와 크랭크암의 상당질량과 연결봉의 회전질량까지 포함한다. 피스톤과 크랭크의 상하 방향의 가속도는 변위를 시간에 대하여 두 번 미분한 것이므로 아래와 같이 식(3.11)로 나타낼 수 있다.
𝑑
2𝑥
𝑝𝑑𝑡
2= 𝑥
𝑝̈ = 𝜔
2𝑟(cos 𝜔𝑡 + 𝜆 cos 2𝜔𝑡) 𝑑
2𝑥
𝑐𝑑𝑡
2= 𝑥
𝑐̈ = 𝜔
2𝑟 cos 𝜔𝑡
(3.11)
여기서
𝑥
𝑝 와𝑥
𝑐 는 각각 피스톤과 크랭크의 변위를 나타낸다. 식(3.11)로부터 엔진의 상하방향 관성력은 식(3.12)로 표현할 수 있다.X = 𝑀
𝑟𝑒𝑐∙ 𝑥
𝑝̈ + 𝑀
𝑟𝑜𝑡∙ 𝑥
𝑐̈
= 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝜔
2𝑟(cos 𝜔𝑡 + 𝜆 cos 2𝜔𝑡) + 𝑀
𝑟𝑜𝑡𝜔
2𝑟 cos 𝜔𝑡 = (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡)𝜔
2𝑟 cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝑟𝜆 cos 2𝜔𝑡
(3.12)
관성력에 의해서 발생하는 토크
T
𝑖 는 식(3.10)에서 가스 폭발에 기인한 힘F
자리에 관성력 X를 대체함으로 계산할 수 있고, 관성력에 의한 토크는 실린더 내부 가스 폭발에 의한 토크와 반대방향으로 작용하므로 식(3.13)과 같이 나타낼 수 있다.T
𝑖= −{(𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡)𝜔
2cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝑟𝜆𝜔
2cos 2𝜔𝑡} ∙ 𝑟 ∙ (𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜆
2 𝑠𝑖𝑛 2𝜔𝑡)
= −{(𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡)𝜔
2𝑟
2sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝑟
2𝜆𝜔
2sin 𝜔𝑡 cos 2𝜔𝑡}
+ (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡)𝑟
2𝜆
2 𝜔
2sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝑟
2λ
22 𝜔
2sin 2𝜔𝑡 cos 2𝜔𝑡 = −𝑟
2𝜔
2{(𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝜆 sin 𝜔𝑡 cos 2𝜔𝑡}
+ (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) 𝜆
2 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐λ
22 sin 2𝜔𝑡 cos 2𝜔𝑡
(3.13)
위 식을 삼각 함수 공식을 사용하여 정리하면 아래 식(3.14)와 같이 나타난다.
T
𝑖= −𝑟
2𝜔
2{((𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) sin 2𝜔𝑡
2 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝜆 ( sin 3𝜔𝑡
2 − sin 𝜔𝑡 2 )}
+ (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) 𝜆
2 ( sin 𝜔𝑡
2 + sin 3𝜔𝑡
2 + 𝑀
𝑟𝑒𝑐λ
22 sin 4𝜔𝑡 = − 𝑟
2𝜔
22 [{λ𝑀
𝑟𝑒𝑐− (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) 𝜆
2 } sin 𝜔𝑡 − (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) sin 2𝜔𝑡]
+ 𝑟
2𝜔
22 [{λ𝑀
𝑟𝑒𝑐+ (𝑀
𝑟𝑒𝑐+ 𝑀
𝑟𝑜𝑡) 𝜆
2 } sin 3𝜔𝑡 − 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝜆
22 sin 4𝜔𝑡]
(3.14)
회전 질량이 평형추에 의하여 완전한 평형을 이루고 있을 때에는
M
𝑟𝑜𝑡를 0으로 보아도 무방하다. 따라서 이 때, 식(3.14)는 아래 식(3.15)와 같이 단순하게 표현할 수 있으며 관성력에 의한 토크는 Fig. 21과 같이 나타난다.𝑇
𝑖= 𝑀
𝑟𝑒𝑐𝑟
2𝜔
2( 𝜆
4 sin 𝜔𝑡 − 1
2 sin 2𝜔𝑡 − 3𝜆
4 sin 3𝜔𝑡 − 𝜆
24 sin 4𝜔𝑡)
(3.15)Fig. 28 Oscillating Mass Torque at MCR
추진축계의 과도 비틀림 진동을 해석하기 위해서는 주 기관의 변동 토크 성분을 조화 분석한 토크 하모닉스가 필요하다. 해석 대상 선박에 적용된 엔진의 제작사인 MAN에서는 엔진의 회전속도에 따라 실린더 내의 평균유효압력(Mena Effective Pressure)을 정의하였다. 제공된 엔진 회전속도에 대해 정의되는 평균유효압력은 Fig. 22와 같으며 이 중 엔진 회전속도 [0~MCR]의 범위를 16등분 하여 해당하는 엔진 회전속도에 대한 토크 하모닉스도 제공하였다. 주어진 토크 하모닉스를 푸리에 급수전개를 이용하여 토크 데이터로 변환 하였으며 그 결과를 Fig. 28에 나타내었다. 실제 상황에서 실린더 내의 폭발행정은 축의 1회전당 1회 나타난다.
따라서 실제와 유사한 결과를 얻기 위해 RPM에 해당하는 변동토크 성분은 Fig.
29의 토크 사이에서 선형 보간법을 이용하여 계산한 후 이를 크랭크 축이 1회전 할 때마다 그 회전속도에 대한 변동 토크 크기를 입력하여 해석을 수행하였고, 입력된 변동 토크를 Fig. 30에 나타내었다. 관성 토크 또한 같은 방법으로 입력하여 Fig. 31에 나타내었다.