외해경계조건

2.3 유한차분근사

2.3.2 외해경계조건

계산영역의 외해경계에서방사되는 지진해일에대해서는 진행성장파의 특성곡선에 근거한 방법에의해 지진

해일을 자유투과시킨다. 외해경계조건의 설정방법은 다음과 같다.

(1) 입사파만을 고려하는 강제경계

지진해일수치계산을외해에서지진해일의전파계산과상세한지형근사가수행되는내만에서지진해일계산

으로 분리하여 실시하는경우에외해에서지진해일전파계산의입사파성분이내만에서지진해일계산의 외해경

계조건으로서주어지고, 만내로부터의 반사파를 자유투과시키는 경계처리를실시한다.

외해경계에서 파를 강제입력하는 경우계산영역내로부터의 반사파가외해경계를자유투과할 수 없기 때문에 강제입력한파형과는다른별도의모드진동이새롭게발생한다. 이반사파를외해로자유투과시키기위해서는 특성곡선법을적용한다.

일정수심의해역에서외해경계로부터 sin형으로표현되는파가입사하는경우를가정하고, 해역을전파하

는 파를 선형장파로 근사할 수 있는 것으로 가정한다.

선형장파는 1차원전파의 경우에는 다음의 식과 같이주어질 수 있다. u 0

t g x



   

  (2.43)

u 0 t h x



   

  (2.44)

식(2.43)과 (2.44)을 특성량 g

h을 이용해 변형하면 다음과 같이 된다.

Fig. 2.2 Conceptual diagram of open boundary treatment using method of characteristics

19

u g 0

t gh x^ h^

      (2.45)

g u 0

t^ h^ gh x

 

 

 

 

   

(2.46)

식(2.45), (2.46)의 합과 차를 취하면 다음의 식과 같이구해진다.

g 0

gh u

t x ^ h^

 

    

   

  

(2.47)

특성곡선법에근거하면식(2.47)의물리적인의미는 dx

dt   gh라고하는특성곡선상에서, g u h라

고 하는 Riemann특성량을갖는다는 것을 나타낸다.

이 관계로부터 다음이 얻어진다.

dx gh

dt   상에서

g .

u conts

h

 

(2.48)

Fig. 2.2에나타내는바와같이xx₀를경계점으로두고, x^축의 (-)방향으로진행하며, sin파가입사하는

것으로 한다. 특성량 g

u h 의 관계는 (+)기울기의 특성선을 따라 식(2.49)이성립한다.

2 2 1 1

g g

u u

h h

  

(2.49)

(-)기울기의 특성선을 따라식(2.50)이 성립한다.

2 2 0 0

g g

u u

h h

  

(2.50)

(-)특성선을따른 특성량은외해로부터의 진행파를 나타내는것이기 때문에u₀,₀^{의사이에서는 다음의관}

계가성립된다.

0 0

u g

h

 

(2.51)

따라서 이의관계식(2.51)을 이용하면, 식(2.50)은 다음과같이 된다.

2 g 2 2 0

u u

h

 

(2.52)

(+)특성선을 따른 관계식(2.50), (2.51)로부터₂를 소거하면 다음의 관계가 유도된다.

20

2 0 1 1

1 2 u u u g

h

 

     (2.53)

여기서, 입사파를 (-)방향으로진행하는sin파로서 다음의 식으로 둔다.

 

 

0 asin k0 x x0

  

(2.54)

따라서 식(2.51)에식(2.54)을 대입하여 다음의식을 얻는다.

 

   

0 g sin 0 0 g sin 0

u a k x x a k gh t

h h

    

(2.55)

식(2.55)를 경계위치에있어서 유속u₂에 관한식(4.50)에대입하면 유량u₂는 다음과같이 된다.

 

2 0 1 1

sin 1

2

g g

u a k gh t u

h ^ h ^

      

(2.56)

식(2.56)을 지진해일수치계산으로 사용하는 유량 M^{으로 나타내면다음의 식으로 주어진다}.

 

1/2

1/2, 0 1 1

1 1

sin 2 2

k

i j

M_^   gh ^k gh k^  ^ t^ M  gh (2.57)

여기서, 식(2.57)의M₁,₁은격자내의 정의점이 아니기 때문에 내삽법에 의해 다음의 식과 같이구해진다.

 

1/2 1/2

1 1/2, 1/2,

1 k k

i j i j

M gh t M x gh t M

x

 

 

 

           (2.58)



¹

 

¹



1 1, 1, , ,

1 1 1 3

2 2 2 2

k k k k

i j i j i j i j

gh t x x gh t

  x^ ^   ^{ }_ _^  ^     ^   ^{ } ^(2.59) 이상은 1차원전파의 경우이기 때문에 2차원전파의 경우로 확장한다. 2차원 파의경우는 특성관계가 특성곡면 상에서성립하는것이일반적이지만, 여기에서는 1차원전파의결과를확장하여이용하는것으로한다. 1차원전 파와크게다른점은파의진행방향에 관한것이다. 일반적으로파의진행방향은일정하기때문에 (-)의특성선 방향은일정인방향으로된다. 그러나계산영역내로부터의반사파를나타내는 (+)의특성선은입사방향과다른

경우가있다. 따라서 (+), (-)양쪽의특성선방향을고려하며 1차원전파와같은방법으로계산을수행하면처리가

가능하다. 지진해일의 계산에서는 반사파의 특성선을M_{i j}^k_,^{1/ 2},N_i^{k1/ 2}의 합성방향으로부터 결정한다.

21 (2) 자유투과경계

자유투과경계는계산영역내로부터의 반사파를경계로부터자유롭게 투과시키는 조건이다. 이경우에는 전술

한 입사파를 주는 특성곡선법을 사용한 관계의반사파 성분만을고려하면 된다. Fig. 2.2에서경계위치xx₀에

서 반사파를 자유투과시키는 방법을 검토한다.

먼저 경계조건식에 있어서 다음을 고려한다.

0 0 0, 1 g 1

u u

 h

  

(2.60)

경계조건은 다음의 식(2.61)과 같이간단히 표현된다.

2 1

u u ^또는 M_i^k_^_{1/ 2 ,}^{1/ 2}_j M₁

(2.61) 입사파경계와 동일하게 2차원전파에 관해서는유향으로부터파의전파방향을계산하여경계조건을 주는것

이 필요하다.