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0 9
Action정육면체는 마주 보는 두 면이3쌍 있어야 한다.마주 보는 두 면이3쌍 있어야 정육면체가 만들어진다.
따라서 정육면체의 전개도가 아닌 것은 ①, ⑤이다.
10
Action겹쳐지는 꼭짓점을 찾아 겨냥도를 그려 본다.주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정팔면체이고, 겹쳐지는 꼭짓점을 찾아 겨냥도를 그리면 다음 그림과 같다.
⑴ 모서리BC와 겹쳐지는 모서리는 모서리FE이다.
⑵ 면ABI와 평행한 면은 면CHD이다.
11
Action정사면체의 각 면의 한가운데에 있는 점을 꼭짓점으로 하는 정다면체가 무엇인지 생각해 본다.정사면체의 면의 개수는4개이므로 정사면체의 각 면의 한가운데에 있는 점을 꼭짓점으로 하는 정다면체의 꼭짓 점의 개수는4개이다.
따라서 꼭짓점의 개수가4개인 정다면체는 정사면체이 므로 모서리의 개수는6개이다.
J H
E C
G B F
A
B(F) J(H)
I
D A(G)
C(E) D
I
12
Action정육면체를 평면으로 잘랐을 때의 단면의 모양을 생각해 본다.① 정삼각형 ② 직사각형 ④ 육각형
따라서 정육면체를 평면으로 자른 단면의 모양이 될 수 없는 것은 ③, ⑤이다.
13
Action세 점을 지나는 평면이 정육면체의 모서리와 만나는 다른 점 을 찾아본다.오른쪽 그림과 같이 세 점D, P, F 를 지나는 평면은 모서리HG의 중 점Q를 지난다.
이때DP”=PF”=FQ”=QD”이므로 단면의 모양은 마름모이다.
14
Action세 점을 지나는 평면이 정사면체의 모서리와 만나는 다른 점 을 찾아본다.오른쪽 그림과 같이 세 점P, Q, R 를 지나는 평면은 모서리BD의 중 점S를 지난다.
이때PQ”=QR”=RS”=SP”이고, PR”=QS”이므로 단면의 모양은 정사각형이다.
15
Action정다면체에서 모서리1개에 면2개가 만난다.정삼각형의 변의 개수는3개이고 정다면체에서 한 모서 리에2개의 면이 만나므로e=;2#;f ∴2e=3f
16
Action평면도형이 회전축에서 떨어져 있으면 가운데가 빈 회전체가 만들어진다.③ 주어진 평면도형을 직선l을 축으 로 하여1회전시키면 오른쪽 그림 과 같은 회전체가 생긴다.
17
Action회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형이다.① 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모 양은 이등변삼각형이다.
A P
Q R C
B D
S A B
D P
H Q E
F G
C 정육면체의 전개도는 다음 그림과 같이11가지가 있다.
Lecture 정육면체의 전개도
오른쪽 그림과 같은 전개도로 만들어지 는 정팔면체에서 서로 평행한 면끼리 짝지으면`
①`－`⑧, ②`－`⑤, ③`－`⑥, ④`－`⑦ 이다.
①
② ③ ④
⑤ ⑥
⑦
⑧
Lecture 정팔면체의 전개도에서 평행한 면 찾기
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Ⅳ-1. 다면체와 회전체 43
18
Action회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양을 그려 본다.주어진 평면도형을 직선l을 축으로 하여1회전시킬 때 생기는 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단 면은 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 단면의 넓이는
p_2¤ +p_3¤ =4p+9p=13p(cm¤ )
19
Action원기둥은 직사각형의 한 변을 축으로 하여1회전시킬 때 생 기는 입체도형이다.⑤ACÍ를 축으로 하여1회전시킬 때 생기는 회전체는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 원기둥이 아니다.
20
Action최단 거리는 전개도에서 직선으로 나타난다.점A에서 점B까지 끈으로 연결할 때 끈의 길이가 가장 짧게 되는 경로는 주어진 원기둥의 전개도에서 옆면인 직사각형의 대각선과 같다.
21
Action원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레 의 길이와 같다.원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같다.
부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 2p_5=10p(cm)
부채꼴의 중심각의 크기를x˘라고 하면
2p_12_;36{0;=10p, ;1”5;p=10p ∴x=150 따라서 부채꼴의 호의 길이는10pcm, 중심각의 크기 는150˘이다.
22
Action주어진 전개도로 만들어지는 회전체는 원뿔대이다.주어진 전개도로 만들어지는 회 전체는 원뿔대이다.
이때 오른쪽 그림과 같은 평면으 로 원뿔대를 자른 단면은 각각
①, ②, ③, ⑤와 같다.
①
② ③
⑤ 12###cm
5###cm x˘
A D
B C
2###cm
3###cm
최/ 고/ 수/ 준
완성하기
01
Action사각뿔대의 면의 개수는6개, 모서리의 개수는12개, 꼭짓점 의 개수는8개임을 이용한다.주어진 입체도형은 사각뿔대30개를 한 모서리가 맞닿 도록 연결한 것이므로
v=8_30-2_29=182 e=12_30-29=331 f=6_30=180
∴v-e+f=182-331+180
=31
02
Action다면체는3개 이상의 모서리와 꼭짓점으로 이루어져 있다.m각기둥의 모서리의 개수는3m개, n각뿔대의 꼭짓점 의 개수는2n개이므로
3m+2n=40(단, mæ3, næ3)
주어진 조건을 만족하는 두 자연수m, n의 값을 순서쌍 (m, n)으로 나타내면
(4, 14), (6, 11), (8, 8), (10, 5) 따라서m+n의 최댓값은 4+14=18
23
Action회전체의 겨냥도를 그려 보고, 회전축에 수직인 평면으로 자 른 단면의 모양을 생각해 본다.회전체를 회전축에 수직인 평 면으로 자를 때, 자른 단면의 넓이가 가장 큰 경우는 오른 쪽 그림과 같이 자를 때이다.
단면인 원의 반지름의 길이를 rcm라고 하면
;2!;_3_4=;2!;_5_r
∴r=:¡5™:(cm)
따라서 구하는 단면의 넓이는 p_{:¡5™:}2=;;¡2¢5¢;;p(cm¤ )
4###cm
3###cm 5###cm
0131 0218 0312 04150개 05풀이 참조 069가지
07각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 다르다. 0812개 09정십이면체10③ 11②, ④ 12① 13풀이 참조 1414 154pcm¤ 1618 cm
P85~88
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0 3
Action정육면체의 꼭짓점에서 삼각뿔을 잘라내면 잘라낸 부분에 삼 각형인 면이 만들어짐을 이용한다.정육면체의8개의 꼭짓점에서 삼각뿔을 잘라내면 잘라 낸 부분에 삼각형인 면이 만들어져3개의 꼭짓점이 생기 므로
v=8_3=24
정육면체의 모서리의 개수는12개이고, 삼각형인 면에 서3개의 모서리가 생기므로
e=12+8_3=36
∴e-v=36-24=12
0 4
Action축구공은 정오각형12개,정육각형20개로 이루어져 있다.정오각형12개의 꼭짓점의 개수는 5_12=60(개)
정육각형20개의 꼭짓점의 개수는 6_20=120(개)
한 꼭짓점에3개의 면이 모이므로 축구공의 꼭짓점의 개
수는 =60(개)
정오각형12개의 변의 개수는 5_12=60(개)
정육각형20개의 변의 개수는 6_20=120(개)
한 모서리에2개의 면이 모이므로 축구공의 모서리의 개
수는 =90(개)
따라서 축구공의 꼭짓점의 개수와 모서리의 개수의 합은 60+90=150(개)
0 5
Action면DEFG를 중심으로 하여 전개도를 그린다.주어진 입체도형의 각 모서리를 잘라 면DEFG를 중심 으로 하여 펼치면 다음 그림과 같다.
A C G C
F B B B E C A D
60+120 11112
60+120 11113
06
Action전개도에서 정사각형이 붙어 있는 개수에 따라 나누어 본다.⁄정사각형3개가 모두 붙어 있는 경우 - 4가지
¤정사각형2개가 붙어 있는 경우 - 3가지
‹정사각형3개가 모두 떨어져 있는 경우 - 2가지
⁄~‹에 의하여4+3+2=9(가지)
07
Action정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모 이는 면의 개수가 같은 다면체이다.정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점 에 모이는 면의 개수가 같은 다면체이다.
오른쪽 그림에서 두 꼭짓점A, E에 서는3개의 면이 모여 있는데 세 꼭 짓점B, C, D에서는4개의 면이 모 여 있다.
따라서 각 꼭짓점에 모이는 면의 개 수가 다르므로 정다면체가 아니다.
08
Action정사면체의 각 모서리의 중점을 꼭짓점으로 하는 입체도형은 정다면체이다.정사면체의 각 모서리의 중점을 꼭짓점으로 하는 입체도 형은 모든 면이 합동인 정삼각형이고, 한 꼭짓점에4개 의 면이 모이므로 다음 그림과 같은 정팔면체이다.
따라서 정팔면체의 모서리의 개수는12개이다.
09
Actionv=;3%;f, e=;2%;f를v-e+f=2에 대입하여f의 값을 구한 다.3v=5f에서v=;3%;f, 2e=5f에서e=;2%;f v-e+f=2에v=;3%;f, e=;2%;f를 대입하면
F
I
J E G
H A
B C
D E
H F
G
J I
A
B D
E C
축구공 모양의 다면체는 정이십면체에서 각 모서리를 삼등분한 점 들을 이어서 만든 오각뿔을 잘라내고 남은 입체도형이다. 정이십면 체의 각 꼭짓점에서 정오각형이 한 개씩 생기므로 정오각형의 개 수는12개, 정이십면체의 각 면에서 정육각형이 한 개씩 생기므로 정육각형의 개수는20개이다.
따라서 축구공 모양의 다면체는 삼십이면체이다.
Lecture 축구공 모양의 다면체
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Ⅳ-1. 다면체와 회전체 45
;3%;f-;2%;f+f=2, 10f-15f+6f=12 ∴f=12 따라서 구하는 정다면체는 면의 개수가12개인 정십이 면체이다.
10
Action점P가 점B에 있을 때와 점C에 있을 때, ∠APF의 크기 를 구해 본다.⁄점P가 점B에 있을 때
∠APF=∠ABF=90˘
¤점P가 점C에 있을 때
AF”=FC”=CA”이므로 △AFC 는 정삼각형이다.
∴ ∠APF=∠ACF=60˘
⁄, ¤에 의하여 점P가BC” 위를
점B에서 점C까지 움직일 때, ∠APF의 크기는90˘에 서60˘까지 점점 작아진다.
11
Action끈이 지나간 자리를 전개도에 그려 본다.끈이 지나간 자리를 전개도에 그 리면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 끈이 지나가지 않는 면의 번호는 ②, ④이다.
12
Action주어진 전개도로 정십이면체를 만들어 평행한 면을 찾는다.오른쪽 그림과 같은 전개도로 정십이면체를 만들었을 때, 서로 평행한 면끼리 짝지으면
㉠`－`㉡, Ⓐ`－`①, Ⓑ`－`②,
Ⓒ`－`③, Ⓓ`－`④, Ⓔ`－`⑤ 이다.
따라서 면 Ⓐ와 평행한 면의 번호는 ①이다.
13
Action대각선AG를 대칭축으로 하는 선대칭도형을 그린다.정팔각형을 대각선AG를 축으로 하여1회전시킬 때 생기는 회전체 의 겨냥도는 오른쪽 그림과 같다.
A G
① ②
③
④
⑤
㉠ ㉡
Ⓐ Ⓑ
Ⓒ
Ⓓ
Ⓔ A
D B C
① ②
③
④ ⑤
A D
C E B
P
F G
H
A D
C E B
P
F G
H
14
Action오각형ABCDE를x축을 축으로 하여1회전시킬 때 생기는 회전체를 그려 본다.오각형ABCDE를x축을 축으로 하여1회전시킬 때 생 기는 회전체와 이 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 다음 그림과 같다.
따라서 구하는 단면의 넓이는
;2!;_4_1+3_4=2+12=14
15
Action회전체의 겨냥도를 그려 보고, 회전축에 수직인 평면으로 자 른 단면의 모양을 생각해 본다.회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때, 자른 단면의 넓이가 가장 작 은 경우는 오른쪽 그림과 같이 자를 때이다.
따라서 자른 단면은 반지름의 길이가 2 cm인원이므로구하는단면의넓이는 p_2¤ =4p(cm¤ )
16
Action끈이 지나간 자리를 원뿔의 전개도 위에 그려 본다.원뿔의 전개도 위에 끈이 지나 간 자리를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다.
부채꼴의 중심각의 크기를x˘
라고 하면
2p_18_;36{0;=2p_3
;1”0;p=6p ∴x=60(˘)
△OAA'에서OA”=OA'”이므로
∠OAA'=∠OA'A=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
따라서 △OAA'은 정삼각형이므로 구하는 끈의 길이는 18 cm이다.
18 cm O
x˘
A A'
3 cm 4###cm
4###cm 3
4 1
x y
2
O 2
-1
-2 -2
회전체의 겨냥도는 다음 순서대로 그린다.
⑴ 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형을 그린다.
⑵ 대응하는 점 사이를 지름으로 하는 원을 그린다.
Lecture 회전체의 겨냥도 그리는 방법
적당히 부풀려서 구와 모양이 같아지게 할 수 있는 다면체에 대하 여 꼭짓점의 개수를v개, 모서리의 개수를e개, 면의 개수를f개라 고 하면v-e+f=2가 성립한다.
이 공식을 오일러의 공식이라고 한다.
Lecture 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이의 관계
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