강의 개요

속도 해석

6 장 . 속도 해석

(Chap 6. Velocity Analysis)

Once a position analysis is done, the next step is to determine the velocities of all links and points of interest in the mechanism. We need to know the velocities in our mechanism or

machine, both to calculate the stored kinetic energy and to determine the link’s accelerations which are needed for dynamic force calculations. Many methods and approaches exist to find velocities in mechanisms. We will investigate the properties of instant center of velocity which can shed much light on a mecha- nism’s velocity behavior with very little effort. Also, we will derive the analytic solution for the four-bar and the slider-crank mechanisms.

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

• 속도 (Velocity)

- 위치의 시간에 대한 변화율 .

(the rate of change of position with respect to time)

- 벡터 또는 복소수로 정의 . 

R

w P

(

고정

A )

q

y

x

q

 

dt 2

R V d

 

 (

선형 속도

: linear velocity) dt

dq



w (

각속도

: angular velocity)

PA PA

dt R V_PA d ^PA

 



dt ) e p (

V^_PA  d ^jq

dt e d

j

p ^j q

 ^q  p w j e^jq  p w e^{j 2} e^jq  pwe^{j2q}

PA

PA R

V ^

 

w

 

p VPA

V

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

• 속도 차이 (Velocity difference)

X

V_A

R

P

(

고정

A )

PA

V_PA

V_P

P A

PA V V

V^  ^  ^

P

점의

A

점에 대한 상대 속도

PA A

P V V

V ^{ }

  

- P

점의 절대 속도

V_A

V_PA

V_P

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

속도 해석

6.1

속도 정의

(Definition of velocity)

속도 해석

6.3

속도 순간중심

(Instant center of velocity)

•

정의

(Definition)

- 평면운동을 하는 두 물체에서 순간적으로 같은 속도를 갖는 공통의 점 .

(A point, common to two bodies in plane, which point has the same instanta- neous velocity in each body. )

I_2,3

1 2

3

4

I_1,2

I_3,4

I_4,1 2 6

) 1 4

( C₂ 4

4  



Total number of centros

2 ) 1 n

( C₂ n

n 



 순간중심은 이웃하지 않은

링크 간에도 정의

!

속도 해석

6.3

속도 순간중심

(Instant center of velocity)

•

케네디 법칙

(Kennedy rule)

1

2 3

I_1,2 I_1,3

2

RP



I_2,3

3

RP



V_P2



^V_P3

평면 운동을 하는

3

개의 링크는

3

개의 순간중심을 가지며 일직선상에 놓인다

. (Any three bodies in plane motion will exactly three in-

stantaneous centers, and they will lie on the same straight line.)

순간중심은 링크 밖에도 존재 가능 !

속도 해석

예제

6.2: 4

절 기구 순간 중심

2 1

3

4

I_1,2

I_2,3 I_3,4 I_4,1 3

4

1

2

I_1,3

I_2,4

1. 원을 그리고 원주상에 링크번호를 적는다 .

2. 관찰을 통해 알 수 있는 순간중심 (1 차순간중심 ) 을 최대한 찾고 두 링크의 원주 상 번호를 실선으로 연결한다 .

3. 순간중심을 찾아야 하는 링크의 조합을 확인하고 원주상의 번호를 점선으로 연 결한다 .

4. 위에서 그린 점선을 공유하면서 다른 두 변이 실선인 두 개의 삼각형을 찾는다 . 5. 각 삼각형에 대해 케네디법칙을 적용하고 두 직선의 교점을 구한다 .

속도 해석

예제

6.3:

슬라이더

-

크랭크 기구 순간 중심

1. 원을 그리고 원주상에 링크번호를 적는다 .

2. 관찰을 통해 알 수 있는 순간중심 (1 차순간중심 ) 을 최대한 찾고 두 링크의 원주 상 번호를 실선으로 연결한다 .

3. 순간중심을 찾아야 하는 링크의 조합을 확인하고 원주상의 번호를 점선으로 연 결한다 .

4. 위에서 그린 점선을 공유하면서 다른 두 변이 실선인 두 개의 삼각형을 찾는다 . 5. 각 삼각형에 대해 케네디법칙을 적용하고 두 직선의 교점을 구한다 .

3 4

1

2

I_1,2

I_2,3 I_3,4

I_1,4 I_1,3

I_1,4 I_2,4

88

속도 해석

I_1,4 I_2,3 I_3,4

I_1,2 I_2,4

I_1,3

w₂ w₄ w₃

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

4

2 v

v  

2 4

, 2 2 ,

1 I )

I

( w

4 2 , 2 4 , 1

4 , 2 2 ,

4 (I1 I )

) I I

( w

 w

Magnitude of Velocity =

Magnitude of Position X Angular Velocity (measured from a fixed point)

3

2 v

v  

3 3

, 2 3 , 1 2

3 , 2 2 ,

1 I ) (I I )

I

( w  w

3 2 , 2 3 , 1

3 , 2 2 ,

3 (I1 I ) ) I I

( w

 w

4

3 v

v  

4 4

, 3 4 , 1 3

4 , 3 3 ,

1 I ) (I I )

I

( w  w

4 3 , 3 4 , 1

4 , 3 3 ,

4 (I1 I ) ) I I

( w



w ₂

3 , 2 3 , 1

3 , 2 2 , 1 4

, 3 4 , 1

4 , 3 3 , 1

) I I (

) I I ( )

I I (

) I I

(  w



4 4

, 2 4 ,

1 I )

I

( w



I_2,4

I_2,3

I_3,4

 

V₂ =V₄

 

V₂ =V₃

속도 해석

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

속도 해석

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

속도 해석

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

속도 해석

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

속도 해석

6.4

순간중심을 이용한 속도해석

(Velocity Analysis with Instant Centers)

속도 해석

Frame

Front

V

V

Frame

Front

• Rear Suspension Design (Ford Vintage, 1970)

1

2 3

4

I_1,2 I_2,3 I_3,4 I_1,4

I_1,3

Paved road

Uneven road

This causes the car to steer.

 Undesirable behavior.

링크 설계에서 순간중심 활용

(Using Instant Centers in Linkage Design)

속도 해석

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

X Y

A B

q₂

q₃

q₄

R₂

R₃

R₁

R₄

4

절 기구

(Four-bar linkage)

속도 해석

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

 Vector equation

0 R

R R

R^₂  ^₃  ^₄  ^₁ 

 Loop equation (

복소수

)

0 R

e R e

R e

R₂ ^jq2  ₃ ^jq3  ₄ ^jq4  ₁  ⁽¹⁾

(1)

dtd 0

dt e d

R dt j

e d R dt j

e d

jR₂ ^{j 2 2} ₃ ^{j 3 3} ₄ ^{j 4} q⁴  q 

q  _{q q}

q

w₂ w₃ w₄

속도 해석

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

Re:

0 cos

R cos

R cos

R₂ w₂ q₂  ₃ w₃ q₃  ₄ w₄ q₄  Im:

0 sin

R sin

R sin

R₂ w₂ q₂  ₃ w₃ q₃  ₄ w₄ q₄ 



2 2

2 4

4 4

3 3

3 cos ) (R cos ) R cos

R

( q w  q w   w q

2 2

2 4

4 4

3 3

3 sin ) (R sin ) R sin

R

( q w  q w   w q ₍₂₎

(3) (2) x cosq₄ - (3) x sinq₄ :

) sin cos

cos (sin

R

) sin cos

cos (sin

R

4 3

4 3

3

4 2

4 2

2 2

3 q q  q q

q q

 q q

w

 

w ₂

4 3

3

2 4

2 sin( )

R

) sin(

R  w

q

 q



q

 q

 

4 2 3

4

2 3

4 R2 sin( )

) sin(

R  w

q

 q



q

 q

  w

 Solution Procedure

(2) x cosq₃ - (3) x sinq₃ :

속도 해석

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

슬라이더 크랭크 기구

(Slider-crank linkage)

X Y

A

B q₂

R₂

R₃

R₁

q₃

속도 해석

 Vector equation

0 R

R

R^₂  ^₃  ^₁ 

 Loop equation (

복소수

)

0 R

e R e

R₂ ^jq2  ₃ ^jq3  ₁  ⁽¹⁾

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

(1)

dtd R 0

dt e d

R dt j

e d

jR₂ ^{j 2 2} ₃ ^{j 3} q³  ¹ 

q  _q ^

q

w₂ w₃

속도 해석

6.7

이론 속도해석

(Analytical Solutions for Velocity Analysis)

Re:

0 cos

R cos

R₂ w₂ q₂  ₃ w₃ q₃  Im:

0 R

sin R

sin

R₂ w₂ q₂  ₃ w₃ q₃  ₁ 

 ^ (2)

(3) (3) :

 Solution Procedure

3 2 3

2 3 R2 cos

cos

R  w

q

 q w

3 3

3 2

2

2 sin R sin

R

R^ ₁   w q  w q