◦
자신이 선택한 유형
(‘가
’형
/‘나
’형
)의 문제지인지 확인하시오
.◦
문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오
.◦
답안지에 수험 번호
,선택 과목
,답을 표기할 때에는 반드시
‘수험생 이 지켜야 할 일
’에 따라 표기하시오
.◦
단답형 답의 숫자에
‘0’이 포함되면 그
‘0’도 답란에 반드시 표시하시오
.◦
문항에 따라 배점이 다르니
,각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시 오
.배점은
2점
, 3점
, 4점입니다
.◦
계산은 문제지의 여백을 활용하시오
.1.
×
÷
의 값은? 1)
[2점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
두 사건 , 가 서로 독립이고P , P ∩ 일 때, P ∪는? 2)
[2점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
무리방정식 을 만족하는 모든 실근의 곱은? 3 )[2점][2007년 4월]
4.
곡선
과 두 직선 , 의 교점을 각 각 A, B라 하고, 점 B에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하자. 이 때, lim
→ BH
AH
의 값은? (단, 이다.) 4)
[3점][2007년 4월]
H A
B
O
①
②
③ ④
⑤
5.
<보기>에서 수렴하는 수열을 모두 고른 것은? 5)[3점][2007년 4월]
보 기 ㄱ.
tan
ㄴ. ㄷ.
log log
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
2007학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지
수리 영역 (가형)
제 2 교시
성명 수험번호 3
1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2 수리 영역(가형)
6.
이차정사각행렬 가
,
를 만족시킬 때,
의 모든 성분의 합은? (단, , , , 는 상수이다.) 6)[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
7.
상수 , 에 대하여 행렬
가
을 만족시킬 때, 의 값은? (단, ≠ 이고, 는 의 역행렬이다.)7)[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
확률변수 가 취하는 모든 값이 , , , ⋯, 일 때, 일 확률은 P
( , , , ⋯, )이다.
P P P ⋯ P 라 할 때, 의 값은? 8)
[3점][2007년 4월]
①
②
③ ④
⑤
9.
다음은 양수 , 에 대하여
일 때, 모든 자연수 에 대하여 ≧ 이 성립함을 수학적귀납법으 로 증명한 것이다.
[증명]
(ⅰ) 일 때, ≧ 이므로 성립한다.
(ⅱ) 일 때 성립한다고 가정하면 ≧ 이다.
일 때 성립함을 보이자.
이면 이므로 의 최소값은 (가) 이다.
(나) ≧ (가) (다)
그러므로 일 때도 성립한다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서
모든 자연수 에 대하여 ≧ 이다.
이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 9)
[4점][2007년 4월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
3
수리 영역(가형)
10.
부등식 log 을 만족하는 점( )가 존재하는 영역을 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 포함하지 않는다.) 10)[4점][2007년 4월]
①
O
②
O
③
O
④
O
⑤
O
11.
개구간 ( )에서 함수 log가 불연속이 되는 모든 점들의 좌표의 합은? (단, []는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 11 )[4점][2007년 4월]
①
②
③
④
⑤
12.
다음은 두 함수 와 의 그래프이다.
O
O
<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? 12)
[4점][2007년 4월]
보 기 ㄱ. lim
→
ㄴ. 함수 는 에서 연속이다.
ㄷ. 함수 는 에서 연속이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
4 수리 영역(가형)
13.
다음은
일 때, 을 구하는 과정이다.모든 자연수 에 대하여
이라 하자.행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여
⋅⋅이므로
이다.따라서
이므로
(가) 이고, (나) 이다.
∴ (다) 이다.
이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 13)
[3점][2007년 4월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
14.
어떤 공장에서 두 기계 , 를 사용하여 동일한 제품을 생산 하고 있다. 는 보다 시간에 개의 제품을 더 생산할 수 있 고, , 를 사용하여 각각 개의 제품을 생산한 후 걸리는 시 간을 비교하였더니 가 시간이 덜 걸렸다. , 를 모두 사용 하여 개의 제품을 생산하는 데 걸리는 시간은? 14)[4점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
15.
그림과 같이 쇠구슬과 막대자석을 이용하여육각기둥 모양을 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 , 육각기둥 모양을 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 , 육각기둥 모양을 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 ,
⋮
이와 같은 과정을 계속하였을 때, 의 값은? 15)
[4점][2007년 4월]
⋯
① ② ③ ④ ⑤
5
수리 영역(가형)
16.
이차정사각행렬 , 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, 는 영행렬, 는 단위행렬, 는 의 역행렬 이다.)16)[4점][2007년 4월]
보 기 ㄱ.
이면
이다.
ㄴ.
이면
이다.
ㄷ. 이면
이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
17.
반지름의 길이가 인 원 C가 있다.원 C를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C, 원 C을 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C, 원 C를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C, ⋮
이와 같은 과정을 계속하여 얻어진 원 C의 반지름의 길이를 이라 할 때, lim
→∞
의 값은? 17)
[4점][2007년 4월]
⋯ C
C C C
C
C
①
②
③
④
⑤
단답형
18.
수열 이 모든 자연수 에 대하여 를 만족시킬 때, lim
→∞
의 값을 구하시오. 18)
[3점][2007년 4월]
19.
일곱 개의 문자 , , , , , , 중에서 개의 문자 를 뽑아 일렬로 나열할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. 19)[3점][2007년 4월]
6 수리 영역(가형)
20.
다음과 같이 액정의 고장으로 가로 선만 표시되는 전자계산기 가 있다.수 정상 액정 고장 액정난
<그림 >과 같이 액정에 표시된 두 자리 자연수 에 대하여 , , 의 버튼을 순서대로 눌렀더니 <그림 >와 같은 세 자리수가 액정에 표시되었다.
<그림 > <그림 >
이 때, 가 될 수 있는 모든 수들의 합을 구하시오. 20)
[4점][2007년 4월]
21.
어떤 도시에 있는 전체 고등학교 학생들의 몸무게는 표준편차 가 kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 고등학교 학생 전 체에 대한 몸무게의 평균을 신뢰도 로 추정할 때, 신뢰구간의 길이를 kg 이하가 되도록 하려고 한다. 조사하여야 할 표본의 크기의 최소값을 구하시오. (단, P ≦≦ 이다.) 21)[3점][2007년 4월]
22.
, 에 대한 식
을 전개할 때, 의 계수를 구하시 오. 22)[3점][2007년 4월]
23.
log , log 일 때,÷은 정수부분이 자리수이다.
이 때, 의 값을 구하시오. 23)
[4점][2007년 4월]
24.
수열 이
⋯ 으로 정의될 때,
의 값을 구하시오. 24)[4점][2007년 4월]
25.
을 만족하는 양수 , 에 대하여log log log 의 최소값을 구하시오.2 5)
[3점][2007년 4월]
7
수리 영역(가형)
미분과 적분
26.
∆ABC에서 sin
, cos
일 때, sin sin sin는? 26)
[3점][2007년 4월]
① ② ③
④ ⑤
27.
cos sin 의 모든 근의 합은? 27) (단, ≦ 이다.)[3점][2007년 4월]
①
② ③ ④ ⑤
28.
cos sin
의 최대값을 , 최소값을 이라 할 때, 의 값은 ? 28 )
[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
29.
직선
와 축에 동시에 접하고, 중심이 제사분면에 있 는 원이 있다. 원점에서 이 원의 중심까지의 거리가 일 때, 원의 반 지름의 길이는? 29)
[4점][2007년 4월]
O
•
① ② ③ ④ ⑤
8 수리 영역(가형)
단답형
30.
원점과 점 을 이은 선분이 축의 양의 방향과 이루는 각을, 원점과 점 을 이은 선분이 축의 양의 방향과 이루는 각 을 ,
⋮
원점과 점 을 이은 선분이 축의 양의 방향과 이루는 각을
이라 하자.
O ⋯
⋯
가 되도록 하는 , 에 대하여 의 값을 구하 시오. (단, 이고 , 는 자연수이다.) 30)
[4점][2007년 4월]
9
수리 영역(가형)
확률과 통계
31.
다음은 어느 회사원 명이 출근하는 데 걸리는 시간을 조사 하여 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수를 잎으로 하여 줄기와 잎 그림을 그린 것이다. 이 자료의 중앙값과 최빈값의 차 는? 31 )[3점][2007년 4월]
단위 (분)
줄기 잎
① ② ③ ④ ⑤
32.
<표 >은 대학수학능력시험 성적의 등급별 비율을 나타낸 것이 고, <표 >는 어느 해 대학수학능력시험 ‘수리 영역(가형)’에 응시 한 학생들의 표준점수에 대한 누적인원수를 나타낸 것이다.<표 >
등급
비율(%)
<표 >
표준점수(점) 누적인원수(명)
이상
이상~ 미만
~
~
~
~
~
~
~
~
미만
이 때, 등급을 받은 학생들 중에서 가장 낮은 표준점수를 받은 학생이 속한 계급의 계급값은? 32)
[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
10 수리 영역(가형)
33.
그림은 점부터 점까지 점수가 적힌 다트판에 다트를 번 던져서 맞힌 곳을 점으로 나타낸 것이다. 번 던져서 얻은 점 수들의 분산은? 33)
[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
34.
남학생이 명, 여학생이 명인 학급에 대한 독후감 평가 점 수의 남학생과 여학생의 평균은 각각 점, 점이고 표준편차는 각각 점, 점이다. 이 학급 전체 명의 점수에 대한 분산이
일 때, 의 값은? (단, 는 서로소인 자연수이다.)34 )
[4점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
단답형
35.
그림과 같이 길이가 cm인 널뛰기판 위에 몸무게가 각각kg, kg, kg인 아버지, 딸, 어머니가 서려고 한다. 아버지는 왼쪽 끝에서 cm 지점에, 어머니는 오른쪽 끝에서 cm 지점에, 딸은 어머니와 cm 떨어진 지점에 서서 널뛰기판이 지면과 평행으로 균형을 이루도록 받침대를 설치할 때, 받침대의 설치 지점 은 왼쪽 끝에서 몇 cm 떨어진 지점인지 구하시오. (단, 널뛰기판 의 무게와 마찰력은 무시한다.) 35)
[4점][2007년 4월]
cm cm cm
11
수리 영역(가형)
이산수학
36.
원에 내접하는 각형의 꼭지점을 이어서 만들어지는 삼각형 중에서각형과 공통변을 갖는 삼각형의 개수는? 36 )
[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
37.
원 위에 서로 다른 개의 점 A, B, C, D, E, F가 있다. 두 점씩 연 결하는 세 개의 선분을 그을 때, 어느 두 선분도 서로 만나지 않게 되는 모든 경우의 수는? 37)[3점][2007년 4월]
A
F
E
D C
B
① ② ③ ④ ⑤
38.
투명한 원기둥 모양의 관에 크기와 모양이 같은 구슬을 넣어 쌓아올리는 장난감이 있다. 빨간 구슬이 개, 파란 구슬이 개, 노란 구슬이 개 있을 때, 이 구슬 개를 모두 사용하여 일렬로 쌓아 올릴 수 있는 모든 경우의 수는? 38 )[3점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
12 수리 영역(가형)
39.
동전 한 개를 던져 앞면이 나오면 , 뒷면이 나오면 로 나타내 자. 동전 한 개를 번 던져 , 와 같이 바 로 다음에 가 나오는 경우가 번만 나타나는 모든 경우의 수 는?39)[4점][2007년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
단답형
40.
이하의 자연수 , 에 대하여 × × × 가 의 배수일 때, 순서쌍 의 개수를 구하시오. 40)[4점][2007년 4월]
13
수리 영역(가형)
2007년 4월 모의고사 가형 해설지
1 ④ 2 ④ 3 ① 4 ⑤ 5 ④
6 ⑤ 7 ① 8 ② 9 ⑤ 10 ②
11 ① 12 ③ 13 ④ 14 ② 15 ② 16 ⑤ 17 ③ 18 19 20
21 22 23 24 25
[미분과 적분]
26 ③ 27 ④ 28 ② 29 ④ 30
[확률과 통계]
31 ④ 32 ③ 33 ③ 34 ② 35
[이산수학]
36 ② 37 ① 38 ② 39 ② 40
1) ④
⋅
⋅
2) ④
가 서로 독립이면 도 서로 독립이므로 P ∩ P ⋅P P ⋅P
⋅
∴
가 서로 독립이므로 P ∩ P ⋅P P ∪ P P P ∩
⋅
3) ①
, ≧ 이므로 (준식) ,
∵ ≧
이고 , 이므로 실근 ±
따라서 모든 실근의 곱은 4) ⑤
lim
→BH
AH
lim
→
5) ④
ㄱ. lim
→∞tan
(발산)
따라서 모든 성분의 합은 7) ①행렬 를
의 양변의 왼쪽에 곱하면
행렬 를
의 양변의 오른쪽에 곱하면
에서 ,
, ∴ 8) ②
P
⋅
⋅
P ⋯
∴
P P ⋯ P
⋯
∴
9) ⑤
(가)
(나)
(다) 10) ②
, ≠ , (ⅰ) log
log log ∴
(ⅱ)
log
log log ∴
14 수리 영역(가형)
log log
가 정수일 때,
는 에서 불연속이다.
log
이면
, log
이면
, ⋯따라서
⋯
12) ③ ㄱ. lim
→
⋅ lim
→
⋅ (참)
ㄴ. lim
→
⋅ lim
→
⋅ (거짓) ㄷ. lim
→
lim
→
(참) 13) ④
(가)
(나)
(다)
14) ②
가 1시간 동안 생산하는 제품의 수를 라 하면
∵
1시간에 생산하는 제품의 개수는 는 개,
개이다.
따라서
(시간)
15) ②
⋅
⋅
⋅
⋮
따라서 이다. (참)
ㄴ. 이면 이므로 (참)
ㄷ. 이면 이고 이므로 (참)
17) ③
원 C와 C의 반지름의 길이를 각각 과 이라 하면 ,
이므로
,
lim
→∞
18) 3 lim
→∞
≦lim
→∞
≦lim
→∞
,
lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
19) 73
(ⅰ) 를 3개 선택하는 경우 : 1가지 (ⅱ) 를 2개 선택하는 경우 : C×
가지 (ⅲ) 를 1개 선택하는 경우 : C× 가지 (ⅳ) 를 선택하지 않는 경우 : P 가지 따라서 가지
20) 177
2, 3, 5, 6, 8, 9만 사용하여야 하고,
×에서 백의 자리의 수는 의 백의 자리수와 같으므로 가 될 수 있는 수는 , 이다.
가 될 수 있는 수는 홀수이어야 하므로 , , 이다.
개의 계산 결과 중 조건을 만족하는 것은
× , × , × 의 3개이다.
∴
21) 385
× ×
≦
≧ × ×
≧
따라서 최소 표본의 크기는 이다.
15
수리 영역(가형)
23) 32
log , log 이고 log÷
log log ⋅
÷ 의 정수부분은 자리수이다.
24) 496
이고 이므로
,
× ,
×, ⋮
25) 15
두 양수 , 에 대하여 ≧
(단, 등호는 일 때 성립한다.)
≧
≧
≧
(준식)≧ log log log
26) ③ sin
cos±
sin
, cos
sin sin sin sincos cossin
±
sin 이므로 sin
따라서 sin sin sin
27) ④
sin sin
sin sin
sin sin sin
, ≦ 이므로
따라서 모든 근의 합은
28) ②
와 축의 양의 방향과 이루는 각을 라 하면
tan
tan
tan
tan tan
tan tan tan
∵ tan 이다.
그림에서 tan
∴ 30) 9
tan , tan
, tan
, tan
tan tan
tantan tan tan
tantan tan tan
×
×
,
, 는 자연수이고 이므로
따라서
31) ④
최빈값=, 중앙값=
∴ 32) ③
등급의 누적비율은 이므로
×
누적인원수가 명인 계급의 계급값은
33) ③ (평균)
× × × × × ×
(분산)
× × × × × ×
34) ②
16 수리 영역(가형)
,
(전체 명의 점수에 대한 분산)
∴
35) 134
⋅ ⋅ ⋅
36) ②
(ⅰ) 공통변이 1개인 경우 : × 가지
(ⅱ) 공통변이 2개인 경우 : 가지
∴
37) ①
(ⅰ) 가 연결된 경우
: 가지 (ⅱ) 가 연결된 경우
: 가지 (ⅲ) 가 연결된 경우
, : 가지
∴ 가지 38) ②
빨간 구슬 개, 파란 구슬 개, 노란 구슬 개를 일렬로 나열하는 경우의 수이므로 ！！
！ 가지
39) ②
(ⅰ) □□ 에서 가지, □□ 에서 가지, □□ 에서 가지 (ⅱ) □□ 에서 가지, □□ 에서 가지, □□ 에서 가지
∴가지 40) 12
의 배수는 의 배수이고 동시에 의 배수이므로
이면서 가 의 배수이어야 한다.
일 때, , , 3가지
일 때, , , 3가지
일 때, , , 3가지
일 때, , , 3가지
∴가지
![(1)[그림 3-1]은 기존의 TV 방송시스템을 나타낸 것이다](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)