수리 영역(나형)

◦

먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오

.

◦

문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오

.

◦

답안지에 수험 번호

,

선택 과목

,

답을 표기할 때에는 반드시

‘

수험 생이 지켜야 할 일

’

에 따라 표기하시오

.

◦

단답형 답의 숫자에

‘0’

이 포함되면 그

‘0’

도 답란에 반드시 표 시하시오

.

◦

문항에 따라 배점이 다르니

,

각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하 시오

.

배점은

2

점

, 3

점 또는

4

점입니다

.

◦

계산은 문제지의 여백을 활용하시오

.

1.

^ ×^ ÷^ 의 값은? ^{1 )}

[2점][2008년 4월]

① ^ ②  ③ ^ ④  ⑤ ^

2.

log_

 log_^의 값은? 2)

[2점][2008년 4월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

행렬 

 

^{ }  , 

 

^{ }  에 대하여 ^{ }^{ }의 모든 성분의 합은? (단, ^{ }는 의 역행렬이다.) 3)

[2점][2008년 4월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4. lim

 → ∞

 

^^   



^^  



 를 만족하는 두 실수 ,  에 대하여   의 값은? ⁴⁾

[3점][2008년 4월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2008학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

^{성명 수험번호 3}

1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2 ^{수리 영역(나형)}

5.

, 에 대한 연립방정식



  ^{    }



^



^



^



^{가   ,    이}

외의 해를 가질 때, 실수 , 에 대하여 점 P  가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? ⁵⁾

[3점][2008년 4월]

① ^ ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

6.

 ^_{  }

^

 일 때,



^^ 의 값은? 6 )

[3점][2008년 4월]

① ^_{  }

^

 ② ^_{  }

^

 ③ ^_{  }

^



④ ^_{  }

^

 ⑤ ^_{  }

^



7.

log_의 지표를 , 가수를  라 할 때, <보기>에서 옳은 것 을 모두 고른 것은? ⁷⁾

[3점][2008년 4월]

보 기

ㄱ.   이기 위한 필요충분조건은  이다.

ㄴ. log_의 가수와 log_

의 가수는 같다.

ㄷ. log_의 지표와 log_

 의 지표의 합은 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8.

이차정사각행렬 의 역행렬이 일 때, ^을  꼴로 바르게 나타낸 것은? (단, , 는 정수, 는 단위행렬이다.) 8 )

[3점][2008년 4월]

①  ②  ③  

④  ⑤ 

9.

무한급수 _

⋅

  ⋅

  ⋅

  ⋅

  ⋯의 합은? ⁹⁾ [3점][2008년 4월]

① _



 ② _



 ③  ④ _



 ⑤ _





3

수리 영역(나형)

10.

역행렬이 존재하는 이차정사각행렬 에 대하여 ^{ } 가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단,

^{ }는 의 역행렬, 는 영행렬, 은 자연수이다.) ¹⁰⁾

[4점][2008년 4월]

보 기 ㄱ. ^^{ }^

ㄴ. ^^{ }^ ㄷ. ^^{ }^

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11.

다음 조건을 모두 만족하는 실수 , 에 대하여 좌표평면 위 의 점 P  와 원점 O를 연결한 선분 OP가 축의 양의 방향 과 이루는 각의 크기를 라 할 때, 모든 의 합은? (단,

 ≦   ) 11)

[4점][2008년 4월]

ㄱ) ^ ^ 

ㄴ) 행렬



^{  }   ^



가 역행렬을 갖지 않는다.

① _



 ②  ③ _



 ④ _



 ⑤ 

12.

원 ^ ^ ^ ( , , , ⋯) 위의 점 P_^ 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q_이라 하자. 삼각형 OP_Q_의 넓이 를 _이라 할 때,

lim

 → ∞_

_{  }

의 값은? (단, O는 원점이다.) 12)

[4점][2008년 4월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





13.

^무한수열



^



에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ¹³⁾

[4점][2008년 4월]

보 기 ㄱ.

lim

 → ∞

_이 수렴하면

lim

 → ∞

_도 수렴한다.

ㄴ.

lim

 → ∞

_이 수렴하면

lim

 → ∞

_

lim

 → ∞

_{  }이다.

ㄷ. 무한급수 _{  }



^{∞이 수렴하면} _{  }



^{∞ 도 수렴한다.}

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

4 ^{수리 영역(나형)}

14.

월 초에 만원을 월이율 , 개월 마다 복리로 계산 하는 예금 상품에 가입하고, 월부터 그 해 월까지 매월 말에

만원씩 찾았다. 그 해 월 말에 통장에 남아있는 금액은?

(단, ^ 으로 계산한다.) ¹⁴⁾

[4점][2008년 4월]

① 만 원 ② 만 원

③ 만 원 ④ 만 원

⑤ 만 원

15.

그림과 같이 좌표평면의 제사분면을 한 변의 길이가 인 정 사각형들로 나누어 자연수를 배열하였다.   ^( ≦  ≦ )의 그래프가 지나는 한 변의 길이가 인 정사각형에 배열된 수들의 합은? (단, 그래프가 정사각형의 내부를 지나지 않는 경우는 제 외한다.) 15)

[4점][2008년 4월]

O      

   ^











①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

다음은 이상의 자연수 에 대하여

부등식 _



      ⋯ 

     

  

이 성립함을 증명하 는 과정이다. (단,    ×  ×   × ⋯ × × ) <증명>

_ 

     ⋯ 

이라 하자.

(ⅰ)   일 때,

(좌변) = _



      

 

, (우변) = _{  }



  

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ)   ( ≧ )일 때, 성립한다고 가정하면 _{   }

  

   이다.

    일 때,

_{  }   

     ⋯   

   가 _

한편,   ^ 나    이므로 _

  

  

 

   이다.

그런데, _{  }

  

  

 

다 이므로

_{  }    가



^{  }  

  



   가 

다

_{   }

      

     이다.

그러므로     일 때도 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 이상의 자연수 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? ¹⁶⁾ [4점][2008년 4월]

(가) (나) (다)

① _



 >   

② _



 <   

③ _

  

 >   

④ _

  

 >   

⑤ _

  

 <   

5

수리 영역(나형)

17.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 H_이라 하고, H_의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다.

H_의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 H_라 하고, H_의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다.

이와 같은 과정을 한없이 계속할 때, 어둡게 칠해진 모든 정삼각형의 넓이의 합은? 17)

[4점][2008년 4월]

 H_

H_

① _



^ ② _



^ ③ _



^

④ _



^ ⑤ _



^

단답형

18.

두 이차정사각행렬 , 와 영행렬  에 대하여,

 

 

^{ } ,   



^{  }  



,  를 만족하는 상수  의 값을 구하시오. 18 )

[3점][2008년 4월]

19.

선 필름의 사진농도 , 입사하는 빛의 세기 _, 투과하는 빛 의 세기 사이에  log__ log_가 성립한다. 선 필름의 사진농도가 일 때, 입사하는 빛의 세기는 투과하는 빛의 세기의

배이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오. 19 )

[3점][2008년 4월]

6 ^{수리 영역(나형)}

20.

이차정사각행렬 가 ^, 

 

^ 

 

 ^ 를 만족한 다. 연립방정식 

 

^ 

 

^ 의 해를   ,   라 할 때,

  의 값을 구하시오. (단, 는 단위행렬, 는 영행렬이다.) ^{20 )} [3점][2008년 4월]

21.

무한등비급수



  

∞

  



^{  }





^{  }의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 의 합을 구하시오. ²¹⁾

[3점][2008년 4월]

22.

 log_   ,  log_   을 모두 만족하는 자연수 의 개수 를 구하시오. (단,   는 를 넘지 않는 최대의 정수이다.) 22)

[3점][2008년 4월]

23.

두 무한수열



_



^,



_



^{에 대하여}

lim

 → ∞

 _ ,

lim

 → ∞

^  _ 일 때,

lim

 → ∞

 ^__의 값을 구하시오. 23)

[4점][2008년 4월]

7

수리 영역(나형)

24.

다음 순서도에서 인쇄되는 의 값을 구하시오. 24 )

[4점][2008년 4월]

25.

그림과 같이 두 직선 , 에 동시에 접하는 원 C_이 있다.

원 C_의 중심을 지나고 직선 , 에 동시에 접하면서 C_보다 큰 원을 C_라 하자.

원 C_의 중심을 지나고 직선 , 에 동시에 접하면서 C_보다 큰 원을 C_라 하자.

이와 같은 방법으로 원 C_의 중심을 지나고 직선 , 에 동시에 접하면서 C_보다 큰 원을 C_{  }이라 하자.(  , , , ⋯) 원 C_의 넓이가 , 원 C_의 넓이가 일 때, 원 C_의 넓이를 구하시오. 25)

[4점][2008년 4월]



C_ C_ C_ C_ C_ 

26.

수열



^



의 첫째항부터 제항까지의 합을 _이라 할 때,

lim

 → ∞_

_

의 값이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? ²⁶⁾ [3점][2008년 4월]

보 기 ㄱ. _ ^

ㄴ. _  ^ ㄷ. _ ^ 

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27.

수학자 드 므와브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다.

드 므와브르는 자신의 수면 시간이 매일 분씩 길어진다는 것을 깨닫고, 수면 시간이 시간이 되는 날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데, 놀랍게도 그날에 수면하는 상태에서 생을 마쳤다.

드 므와브르가 매일 밤 시에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사 실을 알게 된 날의 수면 시간이 시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨어있는 시간의 합은? 27)

[3점][2008년 4월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

8 ^{수리 영역(나형)}

28.

이상  이하의 자연수 에 대하여, 부터 까지의 자연수 를 모두 곱한 값과 ^ ⋅^{  }



⋅^{ }의 값은 정수 부분의 자리 수가 일치한다. 부터 까지의 자연수를 모두 곱한 값의 자리 수는?

(단, 와 는 무리수이고, log_  , log_  , log_  으로 계산한다.) 28)

[4점][2008년 4월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

29.

어느 제과회사에서는 표와 같이 구성된 ‘고소한 세트’와 ‘달콤 한 세트’를 판매하고 있다. 각 세트에 들어가는 과자와 사탕의 한 봉 당 가격은 각각 원, 원이다. 이 회사에서 판매하는 ‘고 소한 세트’ 개와 ‘달콤한 세트’ 개를 구입하려고 할 때, 필요 한 금액을 나타내는 행렬은? (단, 가격할인이나 포장비용은 고려 하지 않는다.) 29 )

[3점][2008년 4월]

과자(봉) 사탕(봉)

고소한 세트  

달콤한 세트  

①  

 

^{ } 

 

^

②  

 

^{ } 

 

^

③  

 

^{ } 

 

^

④  

 

^{ } 

 

^

⑤  

 

^{ } 

 

^

30.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형들을 한 변의 길이 가 인 정사각형이 만들어지도록 겹치게 그리고, 교점과 꼭지점 에 자연수를 규칙적으로 적었다. 이때, 한 변의 길이가 인 각 정사각형의 네 꼭지점에 적힌 자연수를 성분으로 하는 이차정사 각행렬을 성분의 합이 작은 것부터 차례로 _, _, _, ⋯, _,

⋯ 이라 하자.

예를 들면 _

 

^{ }  , _

 

^ ^ 이다. 행렬 _의 모든 성분의 합을 구하시오. 30)

[4점][2008년 4월]

※ 확인사항

9

수리 영역(나형)

2008년 4월 모의고사 나형 해설지

1 ③ 2 ① 3 ② 4 ④ 5 ①

6 ⑤ 7 ③ 8 ⑤ 9 ① 10 ①

11 ⑤ 12 ② 13 ② 14 ④ 15 ③

16 ③ 17 ⑤ 18 8 19 100 20 13 21 27 22 17 23 24 24 160 25 512 26 ③ 27 ② 28 ④ 29 ④ 30 192

1) ③

^



× ^



÷ ^



 ^



 ^

2) ① log_



^

× ^



^{ log }

3) ②

^{ }^{ } ^{ }



 

^{ } 

 

^{ } 

 





^{ }  ^



∴모든 성분의 합은  4) ④

준식

lim

 → ∞



^^   



^^  

   

 

  

  ∴    

5) ①

주어진 연립방정식을 정리하면



^{  }  

  

^

 

^^이고



^{ }  ^



의 역행렬이 존재하지 않으므로

  이다. 점 P  를 좌표평면위에 나타내면



 





 



O

∴도형의 둘레의 길이는 ^

6) ⑤

^   ^



   ^{ }







^



 ^{ }





^

∴



^^   ^



 ^{ }



^{ }_{  }^

ㄷ. log_의 지표는   , log_

      의 지표는   

∴지표의 합은  (참) 8) ⑤

의 역행렬이 이므로  이다. ^에서

^^  9) ①

수열의 일반항을 _, 항까지의 합을 _이라 하면

_ ^   ^  



_



  









^^   

  ^   





 





^{  }





^



^

 





^



^

 





^

⋯



^^   

  ^   





 





^{  }^   





^∴

^lim

→∞

_{ }





10) ①

ㄱ. ^{ } 이고 ^ 이므로

^ , ^{ }^ ^이다.

따라서, ^^{ }^ (참)

ㄴ. (반례)   일 때, ^^{ }^  (거짓) ㄷ. (반례)   일 때, ^^{ }^  (거짓) 11) ⑤

행렬



^{   }   



가 역행렬을 갖지 않으므로

       ∴      P  가 ^ ^ 위의 점이므로

O 



 ^ 

 ^ 

  

∴  

  

이므로 의 합은 

12) ②

원 ^ ^ ^ 위의 점 P_^ 에서의 접선의 방정식은

  ^  ^ 이므로 점 Q_의 좌표는 ^ ^{ } 이다.

10 ^{수리 영역(나형)}

ㄴ.

lim

→∞

_이 수렴하면

lim

→∞

_

lim

→∞

_{  }이므로

lim

→∞

_

lim

→∞

_{  } (참)

ㄷ. (반례) 수열     

 

  

 

 ⋯에서

  



∞

_ 으로 수렴하지만



  

∞

_ ∞이므로 발산한다. (거짓)

14) ④

월 말에 통장에 남아있는 잔액을 _이라 하면

_  ×  

_ _×   

  ×^   

_ _×   

  ×^ ^   

⋮

_ _×     × ^ ^ ⋯   

 

15) ③

그래프가 지나는 정사각형 내부에 있는 수들의 합을 라 하면

      ⋯       ⋯ 





  



 



  



  ^ 

16) ③ (가)   

 , (나) , (다)   

17) ⑤

번째 만들어진 정육각형 H_와   번째 만들어진 정육각형 H_{  }의 한 변의 길이를 각각 _, _{  }이라 하면

_

°

_{  }

_{  }cos  

_

∴ _{  } ^

 _

길이의 비가 ^

 이므로 넓이의 비는 

이고 첫 번째 과정에서 생기는

개의 정삼각형의 넓이의 합은  × 

^^^_{ }



^ 이다.

모든 정삼각형의 넓이의 합은 첫째항이 

^이고, 공비가 

인 무한 등비급수의 합이므로

∴ 

  





^

 

^





    ^   



    이므로

∴    19) 100

 이므로   log_

_ , 

_

 

∴_  ∴배 20) 13

^

  

∴^{ }  

 

^^{ }

 

^ 

 

^

 

^

∴  ,   ,     

21) 27

주어진 무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은 (ⅰ)      

 일 때,      (ⅱ) 첫째항이 일 때,    

∴          합은 

22) 17

log_  이므로 ^≦   ^

log_  이므로 ^≦   ^

∴ ≦    , 정수 의 개수는 개이다.

23) 24

 _ _이라 하면 _   

_ ,

^  _ _라 하면 _ ^  

_ ,

lim

→∞

_ ,

lim

→∞

_ 이므로

lim

→∞

 ^__



lim

→∞  ^  

 ^

lim

→∞

_

lim

→∞

_

  ×  ×  

24) 160

순서도에 따라 계산되는 값은 표와 같다.

     

 ^  × ^  ×^  × ^  × ^

25) 512

원 C_의 반지름을 _, 넓이를 _, 원 C_{  }의 반지름을 _{  }, 넓이를

_{  }이라 하면,

_{  } _{  } _

11

수리 영역(나형)

_{  }

_{  } _

 (상수), _{  }   

 _

수열



^



가 등비수열이므로 수열



^



^{도 등비수열이고,}



^



^{의 공비를}

라 하면

_ , _ ^ 이므로 ^ 

∴_ ^ ^ 

26) ③

ㄱ. _ ^이므로 _ ^{  } 이다.

lim

→∞_

_



lim

→∞^

^{  } 



lim

→∞



^{  }^{  }





^{ }

ㄴ. _  ^이면

_



^^{이 짝수이면}이 홀수이면  ^{ 이므로} 수열



^

_



^{은 또는 }으로 진동한다.

ㄷ. _ ^ 이므로 _ ⋅^{  }

lim

→∞_

_



lim

→∞⋅^{  }

^ 



lim

→∞





^{  }^{  }





^{ }



∴ㄱ, ㄷ의 경우에

lim

→∞_

_

가 존재한다.

27) ②

이 사실을 알게 된 날을 첫째 날로 하여 드 므와브르가 깨어 있는 시간을 수열 _이라고 하면 _은

_ (시간)이고 공차가  

(시간)인 등차수열이다.

시간 계속 수면하게 되는 날은 깨어 있는 시간이 시간이므로

_   

    ∴  

∴ 깨어있는 시간의 합은 

  

 (시간)이다.

28) ④

구하고자 하는 수는 ^ ⋅^{  }



⋅^{ }의 정수부분의 자리수가

같으므로

log_



^ ⋅^{  }



⋅^{ }



 log_^   log_^{  }



 log_^{ }

 

log_  log_    log_

 

∴ 자리수 29) ④

표에서 각 세트에 구성된 과자와 사탕의 봉의 개수를 행렬로 나타내면

∴ 

 

^{ } 

 

^ ^또는  

 

^{ } 

 

^

30) 192

행렬 _의  성분을 _이라고 하면

_  _  _  _  _  ⋯

_    ≧ 

_



   



    ≧ 이므로

_



^{ } 



∴ 각 성분의 합은 