5지선다형
1.
log
․
의 값은? 1)[점][2010년 7월]
① ②
③
④ ⑤
2.
두 사건 에 대하여 P
P∩
P∪
일 때, P의 값은? 2 )
[점][2010년 7월]
①
②
③
④
⑤
3.
lim→ ∞
의 값은? 3)
[점][2010년 7월]
① ②
③ ④
⑤
4.
남자 명과 여자 명이 한 줄로 서서 등산을 할 때, 남자가 양끝에 서는 경우의 수는? 4)[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
제 2 교시 수학 영역(나 형) 홀수형
2 16
5.
실수 전체의 집합에서 양의 실수의 집합으로 대응되는 함수가 임의의 실수 에 대하여 을 만족할 때,
의 값은? (단, ) 5)[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
6.
첫째항과 공차가 같은 등차수열 의 첫째항부터 제 항까 지의 합을 이라 할 때, 을 만족하는 가 두 자리 자 연수가 되게 하는 의 최댓값은? (단, ≠ ) 6)[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
7.
이차정사각행렬 는 다음 두 조건을 만족한다.
(가) (나)
연립방정식
의 해를 라고 할 때, 의 값은? (단, 는 영행렬이고, 는 단위행렬이다.) 7)
[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
부등식 ≧ 의 영역에 속하는 점 P 에 대하여 log log 의 최솟값은? 8)[점][2010년 7월]
①
② ③
④
⑤
9.
영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 에 대하여 옳은 것만을<보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 영행렬이고, 는 단위행렬이다.) 9)
[점][2010년 7월]
<보 기>
ㄱ. 이면 ㄴ. 이면
ㄷ. 이면 행렬 의 역행렬이 존재하지 않는 다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
10.
어떤 고등학교 학생회장 선거에 갑과 을, 두 명의 후보가 출 마했다. 갑과 을의 선거운동 시작 전 지지율은 각각 , 이었으나 선거 운동 후 갑을 지지하던 학생 중 가 을에게 투표하여 을이 의 득표율로 당선되었다. 투표 후 을에게 투 표한 학생 중 한 명을 선택했을 때 이 학생이 선거운동 시작 전 에도 을 후보를 지지하던 학생일 확률은? (단, 기권과 무효표는 없다.) 10)
[점][2010년 7월]
①
②
③
④
⑤
11.
그림과 같이 AB 인 평행사변형 ABCD가 있다. 이 도형 을 대각선 BD를 따라 접어서 생기는 삼각형 EBC의 넓이가 평 행사변형 ABCD의 넓이의
이고, CE, EB, BD의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 선분 AD의 길이는? 11 )
[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
4 16
12.
그림과 같이 함수 log의 그래프와 직선 의 두 교점을 A B라 하고, 함수 의 그래프와 직선 의 두 교점을 C D라 하자. 사각형 ABDC는 등변사다리꼴이고 삼 각형 OBD의 넓이는 삼각형 OAC의 넓이의 배일 때, 의 값은? (단, O는 원점) 12)[점][2010년 7월]
① ②
③ ④
⑤
13.
다음 순서도에서 인쇄되는 의 값은? (단, 는 를 넘지 않는 최대 정수) 13)[점][2010년 7월]
① × ② × ③ ×
④ × ⑤ ×
14.
수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 할 때, 다음은 등식
≧ ⋯⋯ (★) 이 성립함을 증명한 것이다.
<증명>
(1) 일 때,
(좌변)(우변) (가) 이므로 (★)이 성립한다.
(2) ( ≧ )일 때, (★)이 성립한다고 가정하면,
(나)
(다)
따라서, 일 때,
가성립한다.
(1)과 (2)에 의하여 등식 (★)은 이상의 모든 자연수
에 대하여 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 14)
[점][2010년 7월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
15.
그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다.P지점에서 출발하여 Q지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 번인 경로의 수를 라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 1 5)
[점][2010년 7월]
<보 기>
ㄱ. ㄴ.
ㄷ. 의 최댓값은 이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
6 16
16.
동심원 ⋯ ⋯의 반지름의 길이를 각각 ⋯ ⋯이라 하고, 그 넓이를 각각
⋯ ⋯이라 할 때, ( ⋯)이 성립한다. 일 때,
∞ 의 값은? 16)
[점][2010년 7월]
① ② ③
④ ⑤
17.
달걀의 신선도를 결정하는 중요한 요소 중 하나가 HU(호우 유니트)값이다. 농후단백의 높이(뭉쳐있는 흰자의 높이)가mm이고 무게가 g일 때, HU는 다음과 같이 계산한다.
HU log
HU 이고 무게가 g일 때 농후단백의 높이 의 값은?
(단, × log 으로 계산한다.) 17)
[점][2010년 7월]
① ② ③
④ ⑤
단답형(18 ~ 25)
18.
18) 방정식
의 해를 구하시오.[점][2010년 7월]
19.
행렬
에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합을 구하시오. 19)[점][2010년 7월]
20.
의 전개식에서 상수항을 구하시오. 20)[점][2010년 7월]
21.
임의의 자연수 에 대하여,수열 은 , 를 만족하고, 수열 은
, 를 만족한다.
이 때,
∞ 의 값을 구하시오. 21)[점][2010년 7월]
22.
그림과 같이 점 A를 꼭짓점으로 하고 선분 BC를 밑면의 지 름으로 하며 AB , BC 인 직원뿔이 있다. 모선 AC위 의 점 Q은 점 B에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 AC에 최단 거 리로 이르는 점이고, 모선 AB위의 점 Q는 점 Q에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 AB에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 Q은 모선 AB 또는 AC위의 점 Q 에서 원뿔 의 옆면을 돌아 다른 모선에 최단 거리로 이르는 점이라고 하 자. 점 Q 에서 점 Q에 이르는 최단 거리를 이라 할 때,
∞
의 값은 이다. 의 값을 구하시오. (단, B Q, 와 는 유리수이다.) 22 )
[점][2010년 7월]
8 16
23.
다섯 개의 숫자 , , , , 를 중복 사용하여 만들 수 있 는 네 자리의 자연수를 라 한다. 예를 들면, 인 경 우 이다. 이와 같이 네 자리 자연수가 , 를 만족할 확률은
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 23 )
[점][2010년 7월]
24.
두 수열 에 대하여 lim→∞
, lim
→∞
일 때, lim
→∞
의 값을 구하시오. 24)
[점][2010년 7월]
25.
그림과 같이 함수 log의 그래프와 직선 (는 자 연수), 축과의 교점을 각각 A B라 하고, 직선 위의 한 점 P에 대하여 직선 OP가 ∠AOB를 이등분할 때, 선분 AP의 길이를 라 하자.
의 값을 구하시오. (단, O는 원 점) 25)[점][2010년 7월]
5지선다형(26 ~ 29)
26.
체력단련장에서 사용하는 운동기구에는 그림과 같이 운동 관 련 정보 안내 화면이 개 있다. 한 화면이 최소 가지, 최대 가지의 정보를 동시에 보여줄 수 있다. 다섯 가지 정보인 속도, 거리, 시간, 심장 박동수, 칼로리 소모량을 동시에 모두 보여줄 수 있는 방법의 수는? (단, 한 화면에서 두 정보의 위치는 고려 하지 않는다.) 26)[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
27.
철수는 개의 예선문제와 결과에 따라 개의 찬스문제가 주 어지는 퀴즈대회에 참가하는데, 찬스문제는 예선문제를 개 맞 히고 개 틀린 경우만 주어진다. 개의 예선문제를 모두 맞히거 나 찬스문제를 맞혀야 예선을 통과한다. 각각의 예선문제를 맞 힐 확률이
이고, 찬스문제를 맞힐 확률이
일 때, 예선을 통 과할 확률은? 27)
[점][2010년 7월]
①
②
③
④
⑤
28.
한 면은 흰 색, 다른 면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의해 그림과 같이 놓는다.[단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다.
[단계] 단계에서 놓여진 카드를 흰 색 면이 보이도 록 뒤집고 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 면 이 보이도록 두 개의 카드를 놓는다.
[단계] 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른 쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓 는다.
⋯
[단계] 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌 도록 뒤집고 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 개의 카드를 놓는다.
단계에서 보이는 면의 색이 검은색인 카드의 개수를 이라 할 때, 가 되는 모든 의 값의 합은? 28)
[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
10 16
29.
실수 와 행렬
에 대하여, 행렬 의 역행렬 이 존재하지 않도록 하는 의 값을 라 할 때, 의 값은? (단, 는 단위행렬이다.) 29)[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
단답형
30.
그림과 같이 넓이가 인 삼각형 ABC가 있다.자연수 과 선분 AC위의 두 점 D E에 대하여
AD DE EC 이고
DF AB GE BC이다. 선분 DF와 선분 GE의 교점을 지나 는 선분 HI는 선분 AC와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합 을 이라 할 때, lim
→∞
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 30)
[점][2010년 7월]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는 지 확인하시오.
1 ③ 2 ② 3 ① 4 ④ 5 ③
6 ④ 7 ⑤ 8 ② 9 ③ 10 ③
11 ③ 12 ② 13 ① 14 ④ 15 ⑤ 16 ② 17 ⑤ 18 19 20
21 22 23 24 25
26 ① 27 ① 28 ④ 29 ② 30
1) ③
log
․
log
×
log
2) ②
P∪ P P P∩에서
P
이므로
∴ P
3) ① lim
→ ∞
lim
→ ∞
4) ④
P×
5) ③
×
,
×
,
×
,
∴
6) ④
등차수열 의 첫째항과 공차를 ≠ 라 하면
에서
이므로
이다.
에서
∴ 8) ②
log log log
에서
즉, 로 놓으면
가 최솟값을 가질 때, log
즉, log도 최솟값을 갖는다.
과 이 접할 때,
즉, 방정식 이 중근을 가질 때, 가 최솟값을 가지므로 이다.
∴ log
log log 9) ③
ㄱ. 이면
∴ 참 ㄴ. 에서 이므로 … ①
또 에서 이므로 … ②
①, ②에 의하여 ∴ 참 ㄷ. 이면 이므로
따라서 의 역행렬이 존재한다. ∴ 거짓 10) ③
투표 결과
투표 전 갑에게 투표 을에게 투표
갑 지지
을 지지
계
을에게 투표한 학생이 선택된 사건을 , 투표 전과 후에 지지했던 후보를 바꾸지 않은 학생이 선택된 사건을 라 하면, 구하고자 하는 확률은
12 16
∴ … ②
①, ②에 의하여
CE EB BD의 길이는 각각 .
∠EDB 이라 할 때, ∆DEB에서 제이코사인법칙에 의하여 cos × ×
.
∆ABD에서 제이코사인법칙에 의하여
AD × × × cos
∴ AD
12) ②
A B 라 하자. (단, ≠ )
∆OBD ∆OAC 이므로
OB OA . 즉,
log이고 log이므로
log log,
≠ 이므로 ∴ 사각형 ABDC는 등변사다리꼴이므로,
은 의 역함수이다.
따라서 C D 이므로
에서
,
∴
13) ①
인쇄되는 는 의 양의 약수의 곱이다.
×
의 양의 약수는 다음과 같다.
∴ ×
×
× × ×
× × ×
14) ④ (ⅰ) 일 때, (좌변)=(우변)=
(ⅱ) ≧ 일 때, 주어진 등식이 성립함을 가정하면, 즉,
임을 가정할 때,
15) ⑤
×C ×C ㄱ. ∴ 참
ㄴ. ∴ 참 ㄷ. 의 최댓값은 ∴ 참 16) ②
, 이므로
,
이므로
∴
∞
∞
17) ⑤
log ×
log
log log
log log
∴
18)
∴
19)
∴ 모든 성분의 합은
20)
C×
C×
CC∴
21)
, 이면 이므로
이면
이면 이고,
이므로
따라서 수열 은 공차가 인 등차수열이다.
…①
수열 에서 을 대입하여 정리하면
…②①, ②에 의하여
∞
∞ ×
∞
22)
∠BAC 이므로
, , , … 따라서, ×
이다.
∞
∴
23)
중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는
∏∏ 가지
이므로 는 또는 이다.
(ⅰ) 일 때
이므로, , 이고 는 중 한 가지이므로 가지 (ⅱ) 일 때
는 중 개의 수를 선택하여 큰 수가 , 작은 수가
(≠ )이다. 따라서, 가 될 수 있는 경우는 C 가지,
는 중 한 가지이므로 가지이다.
조건에 맞는 경우의 수는 C× 가지 구하고자 하는 확률은
∴
24)
lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
×
lim
→ ∞
×lim
→ ∞
×
∠AOP ∠POB 이고
∠POB ∠APO(엇각)이므로
∠AOP ∠APO, OA AP이다.
AP 이므로 OA . A의 좌표가 이므로
∴
26) ①
개의 화면 중 개의 화면은 개의 정보를, 1개의 화면은 개의 정보를 보여주어야 하므로, 가지 정보를 개, 개, 개로 나누는 방법의 수는
C×C×C×
(가지)이고,
이것을 화면에 보여주는 경우의 수는 (가지)이다.
∴ × (가지) 27) ①
(ⅰ) 개의 예선문제 모두 맞힌 경우
C
(ⅱ) 예선문제 개 맞추고, 찬스문제 맞힌 경우
C
× ×
∴
28) ④
: ⋯ 이므로
이다.
이라 하면
: ⋯ 이므로
인 은 이다.
∴
29) ②
의 역행렬이 존재하지 않으려면
의 두 근을 라 하면
∴
30)
