수능(94~17학년도), 모의고사(03~16년)
단원 : 극한, 미분, 적분 (cos, sin법칙)
1.
포물선 위에 점 A 이 있다. 점 P가 점 A 에서 포물선을 따라 원점 O로 한없이 가까이 갈 때, ∠APO의 크기의 극한값은?1)[3점][1997학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
2.
그림과 같이 제 1사분면에서 중심이 원점이고 반지름이 인 원 위 를 움직이는 점P에 대하여 ∠PAO ∠POA가 되도록 축 위에 점A를 잡는다. 이 때,lim
P → B
OA의 값은? (단, B ) 2 )
[4점][2005년 5월]
P
A
O B
① ② ③ ④ ⑤
3.
그림과 같이 원에 내접하는 정사각형 ABCD와 점 B를 포함 하지 않는 호AD 위에 동점 P가 있다. 동점 P가 점D에 한없 이 가까워질 때, DP
AD AP
의 극한값을 라고 한다. 이 때,
의 값을 구하시오. 3 )
[4점][2006년 5월]
4.
삼각형 ABC에서 각 C의 이등분선이 변 AB와 만나는 점을 D라 하자. 삼각형 ADC가 이등변삼각형이고 AD 일 때,lim
→
AB의 값은?4)
[3점][2007년 5월]
A B
C
D
① ②
③
④
⑤
수 리 영 역
2 cos, sin법칙
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5.
아래 [그림]과 같이 갑은 A지점에 있는 집으로부터 떨 어진 보행자 도로의 교차 지점 B를 출발하여 사잇각이 가 되는 다른 쪽 도로를 따라
의 속도로 걸어가고 있다.
도로 위의 한 지점 C를 통과하는 순간의 ∆ABC의 넓이는
이다.
이 때, AC의 순간변화율()은?5)
[3점][2008년 10월]
① ②
③
④
⑤
6.
6) 그림과 같이 점 A 과 원 위의 점 P에 대하 여 직선 AP가 원 과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 P에 가까운 점을 Q라 하자.∠OAP 라 할 때,
lim
→
PQ
의 값은?
[4점][2012년 9월]
①
② ③
④ ⑤
7.
그림과 같이 정육각형 H의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정 육각형 H의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 , 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓 점으로 하는 정육각형을 H라 하자.정육각형 H의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 H의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 , 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육 각형을 H이라 하자.
이와 같은 방법으로 정육각형 H의 각 변을 지름으로 하는 반 원을 정육각형 H의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 , 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 H 이라 하자.
이때,
∞의 값을 을 이용하여 나타낸 것은? 7)[4점][2009년 10월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
cos, sin법칙 3
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8.
삼각형 ABC에서 AB 이고 ∠A ∠B 이다. 변 AB 위의 점 D를 ∠ACD ∠BCD가 되도록 잡는다.lim
→
CD
일 때, 의 값을 구하시오.8) (단,
)
[4점][2013학년도 수능]
9.
9) 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 인 두 원 , ′이 외접 하고 있다. 원 위의 점 에서 원 ′에 그은 두 접선의 접점 을 각각 , 라 하자. ∠′ 라 할 때,lim
→
의 값 은? (단,
)
[4점][2013년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 빗변으로 하고∠
인 직각삼각형 에 대하여 점 를∠
, ∠ 가 되도록 잡는다.
삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
이다.
의 값을 구하시오. (단, 네 점 , , , 는 한 평면 위 에 있다.)
[4점][2013년 9월]
11.
11) 그림과 같이 중심이 O이고 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위를 움직이는 점 P에 대하여∠AOP
일 때, 세 점 A,O,P를 지나는 원의 넓 이를 , 세 점 B, O, P를 지나는 원의 넓이를 라 하자.lim
→
의 값은?
[4점][2014년 4월]
A O B
P
① ②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 cos, sin법칙
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12.
12) 그림과 같이 사다리꼴 ABCD에서 변 AD와 변 BC가 평행 하고 ∠B , ∠C , BC sin , AD sin 이다.사다리꼴 ABCD의 넓이를 라 할 때,
lim
→
이다.
의 값을 구하시오. (단,
이고, 와 는 서로소 인 자연수이다.)
[4점][2014년 6월]
13.
13) 그림과 같이 서로 평행한 두 직선 과 사이의 거리가 1 이다. 직선 위의 점 에 대하여 직선 위에 점 를 선분와 직선 이 이루는 각의 크기가 가 되도록 잡고, 직선 위에 점 를 ∠ 가 되도록 잡는다. 직선 위에 점 를 ∠ 이고 선분 가 선분 와 만나지 않도록 잡 는다.
삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값을 구하시오. (단.
)
[4점][2014년 9월]
14.
14) 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 외접하고∠CAB ∠BCA 인 이등변삼각형 ABC가 있다.
선분 AB의 연장선 위에 점 A가 아닌 점 D를 ∠DCB 가 되 도록 잡는다. 삼각형 BCD의 넓이를 라 할 때,
lim
→
×의 값은? (단,
)
[4점][2015학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
15.
15) 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 AB 위에 ∠PAB
인 점 P가 있다.∠APQ 가 되도록 선분 AB 위의 점 Q를 잡을 때, 두 선분 PQ, QB와 호 BP로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자.
lim
→
의 값을 구하시오.
[4점][2015년 7월]
A B
P
Q
수 리 영 역
cos, sin법칙 5
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16.
그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 인 정삼각 형 ABC가 있다. 점 B를 포함하지 않는 호 AC위의 점 P에 대하여 ∠ PBC 라 하고, 선분 PC를 한 변으로 하는 정삼 각형에 내접하는 원의 넓이를 라 하자.lim
→
일 때, 의 값을 구하시오. 16 )
[4점][2015년 9월]
17.
17) 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위 의 점 P에 대하여 ∠PAB 라 하자. 선분 OB 위의 점 C가∠APO ∠OPC를 만족시킬 때,
lim
→
OC의 값은?
(단,
이고, 점 O는 선분 AB의 중점이다.)
[3점][2015년 10월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
6 cos, sin법칙
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수 리 영 역
cos, sin법칙 7
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[해설]미적분2-(7)극한,미분,적분-cos,sin법칙
1) ③점 O에서의 접선의 기울기는 ′ 이므로 접선이 축의 양의 방향과 이루는 각은 이다.
그러므로 점 P가 A에서 O로 가까이 갈 때
∠APO의 극한값은 이다.
[별해]
점 의 좌표를 ∠ 라 하면
(단, )∴ cos
이고 → 일 때 →
lim
→cos
에서
2) ①
∠PAO 라 하면 사인법칙에 의해
sin
sin
lim
P→B
OA
lim
→sin
sin
lim
→sin
sin
3) 50
A
B C
D P
∠DCP , 외접원의 반지름을 이라 하면
AD sin
AP sin
DP sin
lim
→sin
cos
sin
lim
→
cos
× sin ×
sin
cos
∴
4) ③
CD ∠CDB ∠CBD 이므로 사인법칙에 의하여
sin
sin
DB 이므로
DB sin
sin sin
sin 이다.
lim
→
DB
lim
→sin
sin
이다.
따라서
lim
→
AB
lim
→
DB
5) ①
[출제의도] 미분법을 활용하여 시각에 대한 변화율을 해결할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
선분 BC의 길이를 , 선분 AC의 길이를 라 하자. 제
코사인법칙으로부터
⋅⋅sin ⋯ ① 한편 점 C를 통과하는 순간에
∆
× × ×sin
에서 이므로 이다.
①의 양변을 에 관해서 미분하면
⋯ ②
이고 조건에서
을 식 ②에 대입하면
가 된다.
6) ④
A
2 Q P
B
O
그림에서 라 하면
수 리 영 역
8 cos, sin법칙
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cos × ×cos cos
cos cos cos cos
cos 따라서, ㉠에 대입하면
cos sin
cos sin
∴ cos
cos sin (∵ cos )∴
lim
→
lim
→
cos
cos sin
lim
→
cos
cos sin sin
lim
→
sin×
cos
cos sin
× ×
7) ①
정육각형 H의 한 변의 길이를 이라 하면
cos °
∴
∞
8)
∠BCD 라 하면 사인법칙에서
sin
CD
sin
AD
sin
CD
sin
BD
AD sin sin CD BD sinsin CD
AD BD 이므로 CD
sin
sin
sin
sin
한편, 이므로
∴
lim
→
CD
lim
→
sin
sin
⋅ sin
sin⋅
lim
→
sin
sin
∴ ⋅
[다른 풀이]
∆BCD에서 사인법칙에 의해 sin
BC
sin
CD
∴ CD sin
sin sin
sin
⋅sin
sin
∴
lim
→
CD
lim
→
sin
⋅ sin
⋅sin
sin
sin
⋅
∴ ×
9) ③
OA , OO′ 이므로 ∆AOO′에서 코사인법칙을 이용하면
AO′ ⋅⋅cos cos
AO′ cos
직각삼각형 APO′에서 AP AO′ cos
∴ AP cos
PQ와 AO′의 교점을 R이라 두면
PQ PR이고 PR⊥AO′이므로
AP × AO′ AO′× PR
PR AO′
AP
cos cos
∴ PQ PR
cos cos
lim
→
PQ
lim
→
cos
× cos
lim
→
sin
× cos
× cos
10)
sin, cos
사인법칙에 따라, sin
sin
cos
∆
sin
× sin × sincos
×sin
lim
→
∴
수 리 영 역
cos, sin법칙 9
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AP sin
, BP cos
∆AOP의 외접원의 반지름의 길이를 ,
∆BOP의 외접원의 반지름의 길이를 라 하면 사인법칙에 의하여
cos
이고
cos
sin
이고
sin
lim
→
lim
→
sin
cos
lim
→
sincos
cos sin
lim
→
sin cos
라 하면 →
일 때 →
따라서
lim
→
sin cos
lim
→ cos
sin
12) 14
점 A F에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 E F라 하면
tan
sin tan
에서 tan tan
sin tan
× sin × tan
× sin × tan tan
sin tan
× tan
lim
→
lim
→
⋅
tan tan
sintansintan
lim
→
sintansintan
× tan tan
∠AEB ∠BAE 이고
∆ABE에서 사인법칙에 의해 sin sin sin
이다.
∴ AB sin
sinsin
이고
AH ABsin sin
sinsinsin
이다.
따라서
⋅BC AD ⋅BH
sin sin
sinsinsinsin
∴
lim
→
lim
→
sin
sinsinsinsin
∴
13) ６
∆ABC의 넓이는
⋅⋅AC T
∆BCD의 넓이는
⋅⋅BD T
∴ T T
BD
AC
sin
AC
sin
BC , sin
BC
sin
BD
AC sin
BC sin
BD sin
BC sin
∴
lim
→ T T
lim
→ sin
sin
× sin
sin
14) ④
수 리 영 역
10 cos, sin법칙
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
tan
삼각형 가 이등변삼각형이므로
tan
∠ 이므로 ∠
삼각형 에서
sin
sin
sin
tan
sin
∴
sin
sin × tan
sin tan
sin
삼각형 에서
sin
sin
∴ sin
×sin
sin
sin
× sin tan
sin
sin tan
sin
∴
× × × sin
×
sin tan
sin
× sin tan
sin
× sin
sin sin tan
sin
∴
lim
→
× sin sin tan
sin
×
sin
× sin
× sin
× tan
15) 18
[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 반원의 중심을 O라 하자.
PQ sin
sin
sincos
sin
cos
삼각형 OQP의 넓이는
× × cos
× sin cos
sin
(부채꼴 OBP의 넓이)(삼각형 OQP의 넓이)
× × cos
sin
cos
sin
따라서
lim
→
lim
→
cos
sin
16) 80
삼각형 ABC의 외접원의 중심을 O, 선분 PC을 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 중심을 O′, O′에서 선분 PC에 내린 수선의 발을 H이라 하자.
사인법칙에 의하여
sin(단, 은 삼각형 의 외접원의 반지름길이) sin
선분 PC를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 반지름 길이는
O′H PC×
sin이므로
sin이다.
∴
lim
→
lim
→
× sin
따라서
이고, 이다.
17) ④
[출제의도] 사인법칙을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구하는 문제를 해결한다.
삼각형 POC에서 사인법칙을 적용하면
OC sin
sin
sin
sin 이므로
sin
