수능(94~17학년도), 모의고사(03~16년)
단원 : 삼각함수 (cos, sin법칙)
1.
그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정사각뿔이 있다. 모서 리 EC 위를 움직이는 점 P에 대하여 ∠BPD 라 할 때, cos 의 최대값과 최소값의 합은?1)[1994학년도 수능 1차]
①
②
③ ④
⑤
2.
오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. A 지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 B 지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거 리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길 이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리 막길의 길이는?2)[4점][1997학년도 수능]
①
②
③
④ ⑤
3.
△ABC에서 , , ∠A 일 때, 의 값을 구하시 오.3)[3점][1998학년도 수능]
4.
반지름의 길이가 km인 원형의 자동차 시험장에서 초속 m 의 일정한 속력으로 자동차가 달리고 있다. 원의 중심 O에서km 떨어진 지점 A에 속력 측정기가 놓여 있어, 자동차의 속도 중 자동차의 위치 P로부터 A방향으로의 성분을 측정하고 있다.
이 때, ∠APO 이면 이 성분의 크기는 sin m초이다. 이 자동차가 한 바퀴 도는 동안 속력 측정기가 기록하는 최대값은 몇 m초인가?4)
[3점][1998학년도 수능]
수 리 영 역
2 cos, sin법칙
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5.
∆ABC에서 sin sin sin 가 성립할 때, ∠A의 크기는?5)[3점][2000학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
6.
6) A지점에서 공을 치기 시작하여 B지점 에 이르게 하는 골프 경기가 있다. 한 방 송사에서 이 골프 경기를 중계방송 하기 위하여 출발점인 A지점과 AC m,BC m인C지점에 각각 카메라를 설 치하였다. 한 선수가A지점에서 친 공이 D지점에 떨어졌을 때,A와C지점에서 바 라본 각이 ∠CAD ∠ACD ﾟ이었다.
∠BCD ﾟ일 때 D지점에서 B지점까 지의 직선거리는?
[2점][2003년 9월]
① m ② m ③ m
④ m ⑤ m
7.
7 ) 그림과 같이 도형ABCDE에서 ∠ACB ∠ACD °,AC , BC CD , DE , AE 이다.
이 도형ABCDE의 넓이를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하 여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, 로 계산한다.) [3점][2003년 6월]
8.
8 ) 그림과 같은∠ABC °,AB km,BD km인 산책 로에는 다음과 같은 두 가지 코스가 있다.갑이 시속 km의 일정한 속력으로 산책할 경우, [코스1]을 따 라갈 때 소요되는 시간이 [코스2]를 따라가는 것보다 분 더 걸린다고 한다. BC 의 길이는?
[4점][2004년 9월]
①
km ②
km ③
km ④ km ⑤
km
수 리 영 역
cos, sin법칙 3
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9.
그림과 같이 AB 인 평행사변형 ABCD가 있다. 이 도형을 대각선 BD를 따라 접어서 생기는 삼각형 EBC의 넓이가 평행 사변형 ABCD의 넓이의
이고, CE, EB, BD의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 선분 AD의 길이는? 9)
[점][2010년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
10.
평면에 있는 사각형 가
를 만족시킨다. ∠ 라 할 때, 사각형 의 넓이가 최 대가 되도록 하는 에 대하여 sin의 값을 구하시오.10)
11.
11) 그림과 같이 BC 이고 ∠ABC , ∠ACB 인 삼각 형 ABC가 있다. 다음은 AB AC 라 할 때, cos를 에 대한 식으로 나타내는 과정이다.삼각형 ABC에서
sin
sin
AB
sin
AC
이므로 AB AC sin
sin × 가
이다.
sin sin
sincos cossin
sincos sinsin
sin sin 이므로 AB AC 에서
sin
가 나
이다. 따라서
cos 다
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 라 할 때,
의 값은?[3점][2014년 10월]
① ②
③
④ ⑤
수 리 영 역
4 cos, sin법칙
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수 리 영 역
cos, sin법칙 5
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[해설] 미적분2-(2)삼각함수-(h)cos, sin법칙
1) ① 로 놓으면 코사인제이법칙에서
․․․cos
이므로 cos
cos ⇒ cos
∴ cos
그런데
≦ ≦ 즉
≦ ≦
⇒
≦ ≦ 이므로 ≦
≦
∴
≦ cos ≦
최댓값은 최솟값은
∴
2) ④
직원뿔을 펼치면 다음 그림과 같다.
∠AOB
코사인제이법칙에 의해서
AB ···cos
에서 ∴
위의 그림과 같은 원뿔의 전개도에서 와 의 최단 거리는 이다.
에서 에 가장 가까운 지점을 라 하면 에서 까지는 오르막길,
에서 까지는 내리막길이 된다.
△에서 제 코사인법칙에 의하여
․․․cos∘
∴
△의 넓이를 라 하면
× × ×sin∘
한편,
․
․․
∴
△에서
∴
3)
△에서 제이코사인 법칙에 따라
cos × × × cos∘ × ×
∴
4) ②
수 리 영 역
6 cos, sin법칙
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가 예각이므로 ≦
∴ sin ≦ sin
따라서, 구하는 최댓값은 5) ⑤
sin sin sin 라 하면 sin
sin
sin
이므로
sin sin sin
사인법칙에서 sin sin sin 이므로
이라 하면 제코사인법칙에서
cos
⋅⋅
∴
6) ②
그림과 같이 △ADC에서 ∠CAD ∠ACD이므로
CD AD 라 하면 제이코사인법칙에 의해
⋅⋅⋅cos°
∴
∴
△BCD에서
BD ⋅⋅⋅cos°
⋅ ⋅⋅
∴BD (m) 7) 19.39
제이코사인법칙에 의해서
AD ․․․cos °
∴AD ∵ AD＞
위의 그림과 같이 ∠AED=로 놓으면 제이코사인법칙에 의해서 cos
=
∴ sin
(∵는 예각)
∴ (도형 ABCDE의 넓이)=
․․․sin °
․․․sin °
․․․sin
․
․
․
×
=19.392
따라서, 19.392를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하면 19.39이다.
8) ①
[코스 1]의 거리는 km 이므로 걸리는 시간은
(시간)이다.
BC 로 놓으면 CD 이고 코사인법칙에 의하여
AC ․․ cos°
∴AC
[코스 2]의 거리는
이므로 걸리는 시간은
(시간)
[코스 2]가 [코스 1]보다 10분 더 빠르므로
양변을 제곱하여 정리하면
∴
(km)
9) ③
CE , EB , BD 이라 하자.
(삼각형EBC의 넓이)
(사각형ABCD의 넓이)
∴ … ①
∠ABD ∠A′BD, ∠ABD ∠BDC
∆DEB는 이등변 삼각형이므로 DE EB
∴
… ②
①, ②에 의하여
CE EB BD의 길이는 각각 .
∠EDB 이라 할 때, ∆DEB에서 제이코사인법칙에 의하여
cos × ×
.
∆ABD에서 제이코사인법칙에 의하여
AD × × × cos
∴ AD
10)
[출제의도]삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?
삼각형 에서 코사인법칙에 의해
수 리 영 역
cos, sin법칙 7
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삼각형 는 정삼각형이므로 삼각형 의 넓이는
×
cos
cos
삼각형 의 넓이는
× × × sin sin
이므로 사각형 의 넓이 는
sin
cos
sin
cos
sin
따라서, 는
즉,
일때 최댓값을 갖는다.
∴ sin sin
×
11) ③
[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 식을 추론한다.
삼각형 ABC에서
sin
sin
AB
sin
AC 이므로
AB AC sin
sin
sin
sin sin
sin cos sin
sin
sin cos
이때 sin sin sin이므로
AB AC 에서
sin sin
sincos
sin
cos
cos
cos
cos
따라서 cos
이다.
위의 과정에서
cos , cos ,
이므로
