‘가’형
2009학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지
제 3 교시 수 학 영 역
성명 수험번호
1
◦ 자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.
◦ 먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.
◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.
◦ 주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.
1.
1) 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?[2점][2009년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 다항함수 가lim
→ ∞
,
lim
→
를 만 족시킬 때, 의 값은?
[2점][2009년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) 행렬
에 대하여 집합 를 은 자연수 라 하자. 집합 의 두 원소 가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 의 모든 성분의 합은?[3점][2009년 사관학교]
(가) 의 모든 성분의 합은 이다.
(나) (단, 는 단위행렬이다.)
① ② ③
④ ⑤
4.
4 ) 세 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수를 각각 라 하자. 이때 세 수 의 최대공약수가 일 확률 은?
[3점][2009년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
수 학 영 역
2 ‘가’형
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5.
5) 두 수열
이 다음 조건을 모두 만족한다.(가)
(나)
( ⋯)
이 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2009년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
6.
6) 그림은 함수 ( 는 상수)의 그래프이다.이 때, 방정식 의 모든 실근의 곱은?
[3점][2009년 사관학교]
O
① ② ③
④ ⑤
7.
7 ) 모든 실수 에 대하여 두 함수 가
≠ , cos
로 정의될 때,
lim
→
∘
lim
→
∘ 의 값은?
[3점][2009년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 그림과 같은 직사각형 모양의 도로가 있다. P지점에서 출발하 여 Q지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 모두 번이 되는 경로의 수는?[3점][2009년 사관학교]
P
Q
① ② ③
④ ⑤
수 학 영 역
‘가’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
P ≦≦
9.
9) 함수 lim
→ ∞
에 대한 설명 중 <보기> 에 서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2009년 사관학교]
ㄱ. 에서 연속이다.
ㄴ. 에서 극솟값 을 갖는다.
ㄷ. 에서 미분가능하다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
10.
10) 어느 전자 회사에서는 신제품을 홍보하기 위해 7월 1일에 인 터넷 사이트를 개설하여 한 달간 운영하였다. 이 사이트의 7월 1일의 회원 수가 만 명이었고, 전날에 비해 매일 일정한 비율 로 회원 수가 증가하여 7월 7일의 회원 수는 7월 1일의 회원 수보다 증가하였다. 7월 4일의 회원 수가 7월 1일의 회원 수보다 증가하였다고 할 때, 의 값은?[3점][2009년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 서류전형 후 필기시험을 실시하 는 어느 시험에서 명이 서류전 형에 합격하였다. 서류전형 합격자 는 필기시험에서 A, B, C, D 과목 중 과목을 반드시 선택해야 하고,각 과목을 선택할 확률은 모두 같다고 한다. 과목 중 A, B를 선택한 서류전형의 합격자의 수가 명 이상 명 이하일 확 률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[3점][2009년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
12.
12) 두 함수 , 에 대하여 방정식 ∘ 의 서로 다른 실근의 개수는?
[3점][2009년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
수 학 영 역
4 ‘가’형
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13.
13) 양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가 모든 자연수에 대하여
를 만족시킬 때,lim
→ ∞
의 값은?[4점][2009년 사관학교]
① ②
③ ④
⑤
14.
14) 그림과 같이 포물선 의 초점 F를 지나는 직선이 포 물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하고, 두 점 P Q에서 준 선에 내린 수선의 발을 각각 A B라 하자. PF 일 때, 사각형 ABQP의 넓이는?[3점][2009년 사관학교]
P
QF A
B
O
①
②
③ ④
⑤
15.
15) 다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
⋯
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
(1) 일 때 (좌변)
, (우변)
이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) 일 때 성립한다고 가정하면
⋯
이제, 일 때 성립함을 보이자.
⋯
⋯
가
⋯
나
가
다
그러므로 일 때도 성립한다.
따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은?
[4점][2009년 사관학교]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
수 학 영 역
‘가’형 5
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16.
16) 이차정사각행렬
에 대하여 라 하자.세 이차정사각행렬 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2009년 사관학교]
ㄱ. ㄴ.
ㄷ. 영행렬이 아닌 행렬 와 역행렬을 갖는 두 행렬 에 대하여 라 하면 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
17.
17) 그림과 같이 장축의 길이가 , 단축의 길이가 인 타원이 있 다. 이 타원의 두 초점 F F′에 대하여 삼각형 AF′F의 넓이가가 되도록 타원 위의 점 A를 정할 때, ∠F′AF 라 하면 cos 의 값은?
[4점][2009년 사관학교]
A
F′ F
①
②
③
④
⑤
18.
18) 함수 의 그래프 위의 세 점 , , 가 ＜＜＜와 ＞＞를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2009년 사관학교]
ㄱ. ＜＜
ㄴ. ＜ ＜
ㄷ. 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
19.
19) 사관학교 생도의 는 입교 전에 확률과 통계 과목을 배 웠고, 는 배우지 않았다고 한다. 확률과 통계 과목을 배운 생도들의 , 배우지 않은 생도들의 는 통계학 성적이 A 학점이었다. 임의로 한 명의 생도를 뽑았더니 그 생도의 통계학 성적이 A학점이었을 때, 그 생도가 입교 전에 확률과 통계 과목 을 배웠을 확률은?[3점][2009년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
수 학 영 역
6 ‘가’형
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20.
20) log라 할 때, ＜＜에서 방정식 log
을 만족시키는 모든 의 값을 가장 큰 수부 터 차례대로 나열한 것을 ⋯이라 하자.
이 때,
∞
의 값은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정 수이다.)
[4점][2009년 사관학교]
①
②
③
④ ⑤
21.
21) 그림과 같이 두 개의 정사면체 OABC와 OABC′가 면 OAB를 공유하고 있다. 벡터 OC′ OA OB OC 를 만족시키는 상수 에 대하여 의 값은?[3점][2009년 사관학교]
O
A
B
C C′
①
②
③
④
⑤
22.
22) 그림과 같은 AD , AB , ∠ADB 인 평행사 변형 ABCD에서 AD , AB 라 놓는다. 꼭짓점 D에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E라 할 때, 벡터AE 를 만족시키는 실수 의 값은?
[4점][2009년 사관학교]
A
B C D
①
②
③
④
⑤
23.
23) 좌표공간에서 평면 tan 위의 도형 를 벡터 에 평행한 광선으로 비추었더니, 평면에 나타 난 도형 의 그림자는 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 되었다. 이 때, 도형 의 넓이는?
[4점][2009년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
수 학 영 역
‘가’형 7
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24.
24) 다음은 좌표공간에 있는 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외접원의 중심P의 좌표를 벡터를 이용하여 구하는 과정이다.
CA , CB 라 하면 적당한 실수 에 대하여
CP 로 나타낼 수 있다.
∣CP∣∣AP∣에서
∣CP∣∣CP ∣
∴∣∣ (가) ×
∣∣ ⋅
…… ㉠ 마찬가지로∣CP∣∣BP∣에서
∣∣ (나) ×
∣∣ ⋅
…… ㉡ , , ⋅ 이므로
㉠, ㉡으로부터
∴ (다) , (라)
따라서 CP 이므로 삼각형 ABC의 외접원 의 중심은 P 이다.
C
B A
P
위 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 해당하는 수를 모두 더하 면?
[4점][2009년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
주관식 문항 (25~30)
25.
25) 세 실수 가 을 만족시킬 때,의 값을 구하시오.
[2점][2009년 사관학교]
26.
26) 정적분
의 값을구하시오.
[3점][2009년 사관학교]
수 학 영 역
8 ‘가’형
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표본의 크기 표준편차
A연구원 그루 cm
B연구원 그루 cm
27.
27) 그림과 같이 A지점에서 직선 에 내린 수선의 발을 A′, B 지점에서 내린 수선의 발을 B′라 하자. AA′ km,BB′ km, A′B′ km이고 직선 위에 있는 P는
AP PB의 값이 최소가 되는 점이다. 갑과 을은 동시에 출발 하여 갑은 A에서 P를 거쳐 B에, 을은 B에서 P를 거쳐 A에 도착하였다. 두 사람이 만난 순간부터 각각 갑은 시간 후에 B 에 도착하였고, 을은 시간 후에 A에 도착하였다. 을이 B에서 출발하여 갑과 만났을 때까지 이동한 거리를 km라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 갑과 을은 각각 일정한 속력으로 직선 방향 으로 이동한다.)
[3점][2009년 사관학교]
A
B
km
km P
A′ B′
km
28.
28) 두 수열
,
이 모든 자연수 에 대하여 , ,
을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2009년 사관학교]
29.
29) 어느 임업연구소의 A, B 두 연구원이 소 나무 군락지의 소나무 들의 생장 상태를 알아보기 위하여 그루의 소나무들을 각각 그루로 나누어 키 를 조사하였더니 오른쪽 표와 같은 결과를 얻었다. A, B 두 연 구원이 각자 의 신뢰도로 군락지의 소나무들의 키의 평균 을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 같았다. 소나무들의 키의 분포는 정규분포를 따른다고 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 표준정규분포에서 P ≦≦ 로 계산한다.) [4점][2009년 사관학교]
30.
30) 그림과 같이 OA , OB , ∠AOB 인 삼각형 OAB가 있다. 연립부등식 ≧ , ≦ , ≧ 을 만족 시키는 에 대하여 벡터 OP OA OB의 종점 P가 존재하는 영역의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.[4점][2009년 사관학교]
B
A
O °
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 학 영 역
‘가’형 9
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2009년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설
1) ③
이라 두면
∴
∴
⋅ 2) ①
lim
→∞
⇔
lim
→
⇒ ∴
∴
lim
→
lim
→
lim
→
∴ ⇒ 3) ④
이므로 케일리-해밀턴의 정리를 쓰면
⇒ ⋯ ① 이다.
그러므로 는 주기가 3이므로 집합 의 원소는
의 3종류만 있게 된다.
여기서 각각의 행렬을 구해보면
,
이다.그러므로 성분의 합이 이 되는 행렬은 행렬이고,
①식에 의해 이다.
∴의 성분의합
4) ⑤
최대공약수가 2라고 하였으므로 짝수에서 그 경우를 따져주면 된다.
짝수는 2, 4, 6이 있고, 사용하는 짝수의 수에 따라 분류할 수 있다.
i) 숫자를 1개만 사용하는 경우 : 이 경우는 세 번 모두 2가 나오는 경우만 해당하므로 경우의 수는 1가지이다.
ii) 숫자를 2개 사용하는 경우 : 사용하는 숫자의 수를 나눠서 새는 방법은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2번 사용하는 수 1번 사용하는 수
2 4
4 2
2 6
6 2
(나) 식에서
이다.
여기서 윗식의 자리에 을 대입하면
∵
이므로 이 점화식은 계차수열이 등비수열인 점화식이다.
그러므로 일반항 ⋅
이라 둘 수 있다.또한, , 이므로
이다.
∴ ⋅
이므로 →∞lim
이다.이 때,
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
이다.
∴
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
6) ①
주어진 그림에서 이므로
임을 알 수 있다.
주어진 식에서 이고, 우변이 양수이므로 좌변도 양수여야 한다.
∴ ≧
라 치환하면 ≧ 이고 준식을 계산하면
, 이므로 or 이다.
이 때, ≧ 이므로 만 근이 된다.
∴ ± 이므로 or 이다.
∴두 실근의 곱
7) ③
cos ≠
cos cos ≠ cos
∴
lim
→
∘
lim
→
∘
lim
→
∘ ∘
lim
→
cos cos 8) ①
방향을 바꾼다는 것은 가로세로의 진행방향이 바뀐다는 것을 의미한다. (ex : →↑,↑→)
즉, 7번 방향을 바꾼다는 것은 가로의 진행방향과 세로의 진행방향으로 각각 4번씩 진행할 때 →↑와 같이 꺾이는 부분이 7군데 발생다는 것이다.
수 학 영 역
10 ‘가’형
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cf) 선택지에 나와있는 숫자가 적으므로 직접 세어도 된다.
(→→↑→↑→↑→↑) (→↑→→↑→↑→↑) (→↑→↑→→↑→↑) (→↑→↑→↑→→↑) (↑→→↑→↑→↑→) (↑→↑→→↑→↑→) (↑→↑→↑→→↑→) (↑→↑→↑→↑→→)
9) ⑤
의 범위에 따라 를 나눠주면
와 같이 정의된다.
ㄱ.
lim
→
lim
→
이므로
lim
→
가 존재하지 않는다.
ㄴ. 함수 는 인 구간에서 연속이며, 에서 감소→증가 로 바뀐다.
ㄷ.
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
에서 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 는 에서 미분가능하다.
10) ③
매일 %씩 증가한다 하고 7월 1일 이후로 일 후의 회원수를 이라 하면
(단, )7월 7일의 회원수는
⇒
구하라는 값은 3일후 까지의 회원수의 증가율이다.
∴
⇒ 3일간 10% 증가했음을 알 수 있다.11) ④
4과목중 2과목을 선택하는 경우의 수는 C 이므로
를 선택할 확률은
이 된다.
를 선택한 서류전형자의 수를 확률변수 라 두면
는 이항분포
를 따른다.이 때, 720은 충분히 큰 수이므로 는 정규분포 에 근사한다.
∴ ≦≦ ≦≦
≦≦ ≦≦
12) ③
라 두자.
∘ 의 근을 구한다는 것은 을 만족시키는
값을 우선 구해야 한다.
⇒ ±
즉, or 이 되게하는 값의 개수를 구하면 된다.
에서 ′
증감표를 그려보면 다음과 같다.
… … …
′
… … …
∴ 은 1개의 실근을 가지며, 은 2개의 실근을 가지게 된다.
∴ 총 3개의 실근을 갖는다.
cf) 의 그래프와 실근의 위치를 표현하면 다음과 같다.
13) ①
⋯
∴
∴
lim
→∞
lim
→∞⋅
14) ④
AP와 축과의 교점을 C, BQ와 축과의 교점을 D, P에서 축에 내린 수선의 발을 H, AB와 축과의 교점을 E라 두자.
이 때, AC CP FH 이고, ∆PFH에서 PH 이다.
∴ PQ의 직선의 방정식⇒
이므로 이다.
이 식을 에 대입하면 이므로
or 이다.
을 직선의 방정식에 대입해 Q의 좌표를 구해보면
이므로 BQ
∴사각형ABQP의 넓이
AP BQ
⋅AB
AP BQ
⋅
AE BE
15) ⑤
(가) 주어진 식에 을 대입한 것이므로
⋅
(나)
항이 나왔으므로 주어진 식의 마지막 항은
이다.
수 학 영 역
‘가’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(다) 준식
⋅
∴ (가) : , (나) : , (다) : 16) ⑤
라 두고,1행 1열의 성분과 2행 2열의 성분만 관찰하면 ㄱ.
∴ ㄴ.
∴ ㄷ.
∵ㄱ
∵ㄴ
그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
17) ②
F′F를 축이라 하자.
그럼 문제에서 주어진 타원의 방정식은
이 된다.
(편의상 F의 좌표를 양수라 한다.)
∆AF′F의 넓이를 , 점 A에서 F′F에 내린 수선의 발을 H라 두자.
⋅ ⋅AH이므로 AH
이므로
점 H의 좌표는
이 된다.
주어진 방정식에 넣어 좌표를 구해보면
∵
F F′ 이므로 두 점 사이의 거리공식을 이용해 길이를 구하면 AF′ AF 이다.
∴∆AF′F에서 cos ⋅⋅
[다른 풀이]
AF AF′ 라 두면
sin 이다.
18) ⑤
의 그래프는 다음과 같다.
ㄱ. 그림에서, 는 1보다 클 수 있다.
(단, 와 는 1보다 작아야 한다.)
ㄴ. 이므로 이다.
∴
ㄷ. 그래프를 이용하면 의 그래프를 그릴 수 있다.
이므로 는 2개의 실근을 갖는다.
그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
19) ③
확률과 통계 배움 확률과 통계
배우지않음 계
통계학성적이 A학점 6 2 8 통계학성적이
A학점이아님 24 18 42
계 30 20 50
∴
[다른 풀이]
입교전 확률과 통계를 배우는 사건을 A, 확률과통계 과목에서 A학점을 받을 사건을 B, 사관학교 생도생 수를 라 두면
P BA P A
P A∩B
P A∩B PA∩Bc P A∩B
⋅
⋅
⋅
20) ④ log
이므로
이어야 한다.
∴ ≦
수 학 영 역
12 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴
∴
∞
21) ②
O C C′를 지나는 평면으로 자른 단면도는 다음과 같다.
O
G C A B C′
C(C′)에서 ∆OAB에 내린 수선의 발을 G라 하면 G는 ∆OAB의 무게중심과 일치한다.
∴OG
OC′ OC
이므로 OC′ OG OC 이 때, OG
OA OB
⋅
OA OB
(∵G가 무게중심)
∴OC′
OA
OB OC OA OB OC
∴
이므로 [다른 풀이]
좌표로 해결하는 방법
O A B C C′ 라 두면
이 식을 연립해서 풀면 C′
∴
⇒
∴
22) ②
AC의 중점을 M이라 두면
∴ AC AM
∆AMD에서 AM⋅DE AD ⋅DM
AM
AD DM
이므로 DE
여기서 ∆ADE는 직각삼각형이므로 AE
∴
AE
⋅
⋅
AC
∴
23) ④
tan를 , 에 수직인 평면은 라 두고.
이라는 평면으로 tan tan
잘랐을 때의 단면은 다음과 같다.
tan
⇒
tan
그림에서 보면 알 수 있듯이 평면의 위치에 관계없이 S와 평면 위의 그림자의 평면 위로의 정사영의 크기가 일정하므로 라 둬도 무방하다.
여기서, 평면위의 그림자의 넓이를 A, 평면 위의 정사영의 넓이를 S′이라 두면
S′ Scos Acos′
A ′ 이므로 S⋅
⋅
이다
∴S 24) ②
(가) :
CP
CP
CP
⋅CP
∴
×
⋅
(나) :
CP
CP
CP
⋅CP
∴
×
⋅
(다), (라) :
이므로 위의 식에 대입하면 이므로 연립해서 해결하면
이다.
∴(가)(나)(다)(라)
25)
이므로
이므로
다.
∴
⇒
∴
26)
27)
수 학 영 역
‘가’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
B A
A″ C
A점에 대한 직선 의 대칭점을 A″라 두면 AP BP ≧ A″B가 된다.
그림에서 ∆A″BC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 활용하면
A″B 이다.
이 때, 움직이는 양상은 직선상에서의 움직임과 동일하므로 직선상의 움직임으로 봐도 무방하다.
갑과 을이 만나는 지점을 P′, BP′ 라 두면 주어진 조건은 다음과 같이 단순화 할 수 있다.
갑의 속력을 시, 을의 속력을 시 라 하자.
이 때, P′까지 걸린 시간이 같으므로
……①
만난 후 갑은 B까지 1시간 걸렸으므로
⇒ ……② 만난 후 을은 A까지 9시간이 걸렸으므로
⇒
……③
②, ③식을 ①식에 대입하면 이므로
or
∴ or 인데, 이므로
28)
이고
이므로
은 초항이 2고 공차가 인 등차수열이다.
∴
라 두면
⋅ ⋅
⋅ ⋅
이므로
⋅
⋅
cf)
⋅ ⋅
∴ 29)
신뢰구간의 길이 ⋅⋅
주어진 영역을 관찰하면 결국 인 경우와 인 경우 사이의 범위임을 알 수 있다.
일 때
이므로
OP
⋅
OA
⋅
OB
⋅
OA′
⋅
OB′
일 때,
이므로
OP
⋅
OA
⋅
OB
⋅
OA″
⋅
OB′
라 두고, B′에서 OA′에 내린 수선의 발을 H라 두자.
B′
B
A A′
O A″ H
OB OB′ OA″ A′A″ B′H 이고, 구하고자 하는 넓이는 빨간색(굵은선)으로 둘러쌓인 부분의 넓이이다.
∴∆BA″A′ S
⋅⋅ ⇒
