?먼저 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

인문계

2004학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

log_  log_  log_의 값은?1 )

[2점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

 ^일 때, _

    

  

 의 값은?^{2 )}

[2점][2004학년도 수능]

① ^   ②  ^   ③  ^  

④  ^   ⑤  ^  

3.

_{cos  }



일 때, sin⋅tan의 값은?3)

[2점][2004학년도 수능]

① _{ }



 ② _{ }



 ③ _{ }





④ _



 ⑤ _





4.

부등식      ＜를 만족시키는 정수 의 개수는?⁴⁾ [2점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 리 영 역

2 ^인문계

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5.

다항식  를   로 나눈 몫은 ^ 이고 나머지가 일 때,

 를   로 나눈 나머지는?5)

[2점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.

이차방정식 ^      가 중근을 갖기 위한 상수 의 값 은?6)

[2점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

이차함수     ^   의 그래프를 축의 방향으로   만큼 평행이동시킨 그래프가 축에 접할 때, 상수 의 값은?⁷⁾

[3점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.

두 실수 와 가 이 아닌 양수일 때, 함수   ^의 그래프 와 함수   log_의 그래프가 항상 만나는 경우를 <보기>에 서 모두 고른 것은?8)

[3점][2004학년도 수능]

[ 보 기 ] ㄱ. ＞이고 ＞

ㄴ. ＞이고 ＜＜

ㄷ. ＜＜이고 ＜＜

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

인문계 3

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9.

점 P가 가로의 길이가 , 세로의 길이가 인 직사각형의 내부에서 움직이고 있다. 그림과 같 이 점 P와 각 꼭짓점을 연결하였을 때 생기는 네 삼각형의 넓이를    라 하자.

행렬

 

^{ } 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 P의 자취의 길이는?9)

[3점][2004학년도 수능]

①  ② ^ ③ 

④ ^ ⑤ 

10.

삼차함수     는   에서 극값을 갖고, 그 그래프가 원점에 대하여 대칭일 때, 이 그래프와 축과의 교점의 좌표 중에서 양수인 것은?10)

[3점][2004학년도 수능]

① ^ ② ^ ③ 

④ ^ ⑤ ^

11.

두 함수     ^과     ^에 대하여 <보기>에서 옳 은 것을 모두 고른 것은?1 1)

(단,  는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[3점][2004학년도 수능]

[ 보 기 ] ㄱ.  ^ ＞ ^ 

ㄴ. 가 정수이면     이다.

ㄷ.     이면 는 정수이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.

집합  를 자연수 를 거듭제곱한 수들의 일의 자리의 수 전체의 집합이라 하자. 예를 들면,   인 경우에 ^ ,

^ , ^ , ^ , ^  ⋯이므로      이 다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?12)

[3점][2004학년도 수능]

[ 보 기 ] ㄱ. ∈

ㄴ.  ⊂

ㄷ. ^ 인 자연수 이 존재한다. (단, ＞)

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ

수 리 영 역

4 ^인문계

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13.

아래 그림과 같이 정사각형의 네 꼭짓점을 각각    라 하고, 두 대각선의 교점을 O라 하자.

이 정사각형을 점 O를 중심으로 하여 시계 방향으로 ﾟ 회전 시키면 은 의 위치로, 는 의 위치로, 은 의 위치로, 는

의 위치로 이동한다. 이러한 꼭짓점 사이의 이동을 함수 _로 나타내면,

_  , _  , _  , _  

이다. 이와 같은 방법으로 이 정사각형을 점 O를 중심으로 하여 시계 방향으로 ﾟ, ﾟ, ﾟ, ﾟ 회전시켰을 때, 꼭짓점 사 이의 이동을 나타내는 함수를 각각 _, _, _, _라 하자.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?¹³⁾ (단, ^{ }은 의 역함수이다.)

[3점][2004학년도 수능]

[ 보 기 ] ㄱ. _∘ _ _

ㄴ. _^{ } _ ㄷ. _∘ _ _∘ _

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14.

세 숫자   을 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, 과 가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는?14)

[3점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15.

아래 그림과 같이 각각의 점에 부터 연속된 자연수를 규칙 적으로 대응시키고 이 점들을 선분으로 연결한다.

서로 다른 두 자연수 와 에 대응되는 두 점을 연결하는 선분 들의 최소 개수를  라 하자.

예를 들면,    이고    이다.

   ⋯ 의 값은?1 5)

[3점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

함수    ^ 에 대하여 좌표평면 위의 점 가 부등 식 ＞ 의 영역에 속할 때, <보기>에서 항상 성립하는 부등 식을 모두 고른 것은?16)

[3점][2004학년도 수능]

[ 보 기 ] ㄱ. _



＞



^





ㄴ. ＞   ㄷ.  ＜   

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

인문계 5

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17.

다음 순서로 선분 AB 위에 점 E를 작도하여 보자.

(ⅰ) 점 B에서 선분 AB에 수직인 직선을 그어 그 위에

BC   AB인 점 C를 잡는다.

(ⅱ) 선분 AC 위에 ^CD  CB인 점 D를 잡는다.

(ⅲ) 선분 AB 위에 ^AE  AD인 점 E를 잡는다.

그러면 점 E는 _

AE

AB

 EB

AE

를 만족시킨다.

아래 증명은 이 성질을 증명한 것이다.

[ 증 명 ]

△ABC에서 ^AB   BC이므로 피타고라스의 정리에 의하여

AC ㈎ BC 따라서

AE AD  AC  CD  ㈏ BC

EB AB AE ㈐ BC 이므로

AE

AB

 EB

AE

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?17)

[2점][2004학년도 수능]

(가) (나) (다)

①  

^  

 ^ 

② ^ ^   ^  

③ ^ 

^  



^  

④ ^ ^    ^ 

⑤   

^  

18.

다음은 두 자연수 와 에 대하여 ^   ^이 의 배수 이면 와 가 어떤 성질을 가짐을 증명한 것이다.

[ 증 명 ]

 ^   ^이라 하고 이 의 배수라 하자.

이 의 배수이므로  는 모두 짝수이다.

만일  중 하나만 의 배수이면 은 의 배수가 아니 다.

한편,  가 모두 의 배수가 아니면 ^과 ^의 일의 자 리의 수는  또는 이다.

(ⅰ) ^의 일의 자리의 수가 이고 ^의 일의 자리의 수가

인 경우에 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  또는

 뿐이고, 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  또는  뿐이다.

따라서 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은

㈎ 뿐이므로 은 의 배수가 아니다.

(ⅱ) ^의 일의 자리의 수가 이고 ^의 일의 자리의 수가

인 경우에는 (ⅰ)의 경우와 마찬가지로 은 의 배수가 아니다.

(ⅲ) ^과 ^의 일의 자리의 수가 모두 이거나 모두 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 ㈏ 뿐이므로 은 의 배수가 아니다.

따라서 ^   ^이 의 배수이면

㈐ 의 배수이다.

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?1 8)

[3점][2004학년도 수능]

(가) (나) (다)

①  또는   또는   는 모두

②  또는   또는   는 모두

③  또는   또는   는 모두

④  또는   또는   중 하나만

⑤  또는   또는   중 하나만

수 리 영 역

6 ^인문계

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19.

자료 _ _ _ ⋯ _에 대하여 다음 과정을 순서대로 시 행하였다.

(가) 처음 두 수 _과 _의 평균을 구한다.

(나) _을 추가하여 _ _ _의 평균을 구한다.

(다) _를 추가하여 _ _ _ _의 평균을 구한다.

⋮

_을 추가하여 _ _ ⋯ _의 평균을 구한다.

위의 과정을 시행한 결과, _과 _의 평균이 이고, 자료 하나 가 추가될 때마다 평균이 씩 증가하였다. 이때, _의 값은?1 9)

[3점][2004학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

20.

아래 그림과 같이 좌표가 각각

 





^





^



^





^{ ⋯}



^





^{   ⋯}

인 축 위의 점에서 축에 평행한 직선을 그어 곡선   ^과 만나는 점을 한 꼭짓점으로 하는 직사각형을 한없이 만든다. 이 직사각형들이 곡선   ^에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합은?20 )

[3점][2004학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





21.

두 직선   와 _{  }



가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, 아래 그림을 이용하여 cos의 값을 구하면?^{2 1)}

[3점][2004학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



^

④ _



 ⑤ _





22.

^{다음 표는} 진법의 수를 진법의 수로 나타낸 것이다.

진법   ⋯       

진법   ⋯  A B C D E F

컴퓨터에서 색을 표현하는 RGB 방식에서는 빛의 삼원색인 빨강 (R), 초록(G), 파랑(B)의 양을 여섯 자리 문자열로 지정하여 원하는 색을 얻는다. 여섯 자리 문자열 중 처음 두 자리는 R의 양, 다음 두 자리는 G의 양, 마지막 두 자리는 B의 양을 나타 낸다. 이때, 각각의 두 자리 문자열은 부터 까지의 정수에 대응되는 진법의 수이다.

예를 들어, 문자열 FFA를 입력하였다고 하자. FF  A는 각각 진법의 수 FF  A를 나타내고, 이것은 각각 진법의 수 , , 에 대응된다. 따라서, R G B의 양이 각각 , ,

인 색을 얻게 된다. R G B의 양이 각각 , , 인 색 을 얻기 위하여 입력해야 할 문자열은?²²⁾

[2점][2004학년도 수능]

① F ② F ③ F

④ F ⑤ F

수 리 영 역

인문계 7

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23.

다음 그래프는 어떤 사람이 정상적인 상태에 있을 때 시각에 따라 호흡기에 유입되는 공기의 흡입률(리터/초)을 나타낸 것이 다. 숨을 들이쉬기 시작하여 초일 때 호흡기에 유입되는 공기 의 흡입률을 라 하면, 함수   sin ( 는 양수)로 나타낼 수 있다. 이때, 의 값은 숨을 들이쉴 때는 양수, 내쉴 때는 음 수가 된다.

이 함수의 주기가 초이고, 최대 흡입율이 (리터/초)일 때, 숨을 들이쉬기 시작한 시각으로부터 처음으로 흡입율이  

(리터/초)이 되는 데 걸리는 시간은?2 3)

[3점][2004학년도 수능]

① _



초 ② _



초 ③ _



초

④ _



초 ⑤ _



초

24.

지면에 정지해 있던 열기구가 수직 방향으로 출발한 후 분 일 때, 속도   (m 분)를

 



^  ≤  ≤ 

    ≤  ≤ 

라 하자. 출발한 후   분일 때, 지면으로부터 열기구의 높이 는? (단, 열기구는 수직 방향으로만 움직이는 것으로 가정한다.)24)

[3점][2004학년도 수능]

①  m ②  m ③  m

④  m ⑤  m

주관식 문항 (25～30)

25.

역행렬이 존재하는 두 행렬 와 가 

 

^{ } 를 만족시 킬 때, 행렬 ^{ }^{ }의 모든 성분의 합을 구하시오.25)

[2점][2004학년도 수능]

26.

lim

 →  ^    

  

의 값을 구하시오.^{26 )}

[2점][2004학년도 수능]

수 리 영 역

8 ^인문계

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27.

이차방정식 ^      의 한 근이  ^ 일 때,    의 값을 구하시오. (단,  는 실수이고  ^ 이다.) ²⁷⁾

[3점][2004학년도 수능]

28.

세 집합  에 대하여

   ,    ,    ,  ∩  ,

 ∩∩  일 때,   ∪의 최솟값을 구하시오.^{2 8)} (단,  는 집합 의 원소의 개수이다.)

[3점][2004학년도 수능]

29.

축에 접하는 서로 다른 두 원이 점 A  와 점 B  에 서 만날 때, 두 원의 중심을 지나는 직선과 공통외접선과의 교 점의 좌표를 구하시오.²⁹⁾

[3점][2004학년도 수능]

30.

log_의 정수 부분을 , 소수 부분을 라 할 때, ^ ^의 값 을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단,  ≤ ＜이다.)^{30 )}

[3점][2004학년도 수능]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수 리 영 역

인문계 9

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2004학년도 수능기출 인문계 해설지 1) ③

log_  log_  log_  log_

⋅  log_^ 

2) ①



    

  

  

  

^ 

  ^ 

     이고

 ^이므로 준식 ^ ^ 

^   

^  

3) ②

sin^  cos^  이므로 sin^    cos^   



^{ }





^{ }



준식 sin⋅tan  sin  × cos  sin 

 cos  sin^

  







  



4) ⑤

     ＜을 정리하면 ^     이므로

^     을 인수분해하면          

∴      

따라서, 구하고자 하는 정수는

       의 개이다.

5) ③

다항식   를   로 나눈 몫은 ^ 이고 나머지가 이므로

         ^    

나머지 정리에 의하여   를   로 나눈 나머지는   이고,

        ^      

6) ③

주어진 이차방정식을 정리하면 ^         이 이차방정식이 중근을 가지므로

 ^           ^ 에서    7) ①

  ^    의 그래프를 축의 방향으로   만큼 평행이동하면     ^    이므로

  ^      

ㄴ. ＞이므로   ^은 증가함수이다.

＜＜이므로   log_는 감소함수이다.

그래프는 그림과 같으므로 항상 만난다.

ㄷ. ＜＜이므로   ^은 감소함수이다.

＜＜이므로   log_는 감소함수이다.

그래프는 그림과 같으므로 항상 만난다.

9) ④

점  로 놓으면

①   

 ②    ③      ④   

    역행렬이 존재하지 않기 위해서는      이어야 하므로



      

      

수 리 영 역

10 ^인문계

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

10) ②

삼차함수     는

① 원점에 대하여 대칭(기함수)이므로     ^  로 놓을 수 있다.

②   에서 극값을 가지므로 ′      에서 ′        

∴     ⋯ ③

③을 ①에 대입하면     ^  이므로 축과의 교점은 ^    에서    또는  ^ 또는   ^ 따라서, 좌표 중 양수인 것은 ^이다.

11) ②

    ^과     ^에서 ㄱ.  ^  



^^



    

 ^  ^^ 이므로  ^ ＞ ^  ㄴ. 가 정수이면 ^도 정수이고

     ^ ^이므로

^  ^  ^

∴        ㄷ. (반례)

 





 

_{이면 }



^





^



 

_{ }



^





^



 

^_{ }

즉, 



^





^{ }



^





^{이므로 }가 정수가 아닌 경우에도 성립한다.

12) ⑤

ㄱ.      이므로 ∈

ㄴ.     이므로 ⊂

ㄷ. 집합 ^ 중에서   인 경우

^      이므로

^ 인 자연수 이 존재한다.

13) ④

ㄱ. _∘ _는 회전이동한 후 회전이동한 것이므로

회전이동 _한 것과 같다.

∴ _∘ _ _

ㄴ. _^{ }는  회전이동한 것이므로 회전이동 _한 것과 같다.

∴ _^{ } _

ㄷ. _∘ _ 는 회전이동한 후 회전이동한 것이므로

회전이동한 것과 같다.

마찬가지로 _∘ _도 순서만 다를 뿐 회전이동한 것과 같다.

∴ _∘ _ _∘ _

14) ⑤

①   을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수: __

②  을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수 : __

③  을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수 : __ 따라서, 과 가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는

_ ____    

(단, 더해진 은 이 두 번 빠지므로 한 번은 더해준다.) 15) ②

     ⋯ 개

        ⋯ 개

    ⋯      ⋯ 개

    ⋯      ⋯ 개

    ⋯      ⋯ 개 따라서 구하는 값은

 ×    ×   ×    ×    ×   

16) ④

점  가   ^ 를 만족하는 점이므로

  ^  ⋯ ① ㄱ. 



^





^{ }

^   

^ 

①에서 

  

^  ⋯ ①이므로 

＞



^





ㄴ. (반례)      일 때   ^  × 이므로 영역을 만족하는 점이다.

           ^   

따라서, ＞  라 할 수 없다.

ㄷ. ①에서   ^ 이므로

    ^   ^      

∴  ＜    17) ④

△ABC에서 AB   BC이므로 피타고라스의 정리에 의하여

AC^ AB^ BC^ BC^ BC^ BC^

∴ AC (^) BC

따라서 AE  AD  AC  CD ^ BC  BC  ^  BC

EB  AB  AE   BC  AD  BC ^  BC  ^ BC 18) ③

(ⅰ)^의 일의 자리의 수가 이고 ^의 일의 자리의 수가 인 경우에

의 일의 자리의 수는  또는  뿐이고, 의 일의 자리의 수는  또는

 뿐이다.

따라서 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은

 ×     ×     ×     ×    에서 ( 또는 ) 뿐이므로 은 의 배수가 아니다.

(ⅲ) ^과 ^의 일의 자리의 수가 모두 이거나 모두 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은

a) ^과 ^의 일의 자리의 수가 모두 인 경우 :

수 리 영 역

인문계 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

의 일의 자리의 수는  또는  의 일의 자리의 수는  또는 

따라서  의 일의 자리의 수는  또는 이다.

b) ^과 ^의 일의 자리의 수가 모두 인 경우 : 의 일의 자리의 수는  또는 

의 일의 자리의 수는  또는 

따라서  의 일의 자리의 수는  또는 이다.

따라서, ^   ^이 의 배수이면

 는 모두 의 배수이다.

19) ⑤

_  _ 이라 하면



_ _ _

 에서 _ 



_ _ _ _

 에서 _ 

따라서 _ _ _ ⋯ _는 첫째항 _이 이고 공차가 인 등차수열이라 할 수 있다.

∴ _      ×   

20) ④

직사각형의 넓이를 _이라 하자.

직사각형의 넓이를 차례로 더하면

_



^{  }





^{× }



^

 



^





^



^×



^





^



 

^





^



^





^



^×



^





^{ ⋯}

 

  

×



^





^



^





^×



^





^{ ⋯}

따라서, 직사각형의 넓이는 첫째항이 

이고 공비가



^





^인

무한등비급수이므로

_{ }

 



^





^





 



또한 곡선   ^과 축,   로 둘러싸인 부분의 넓이를 _라 하면

_







^ 





^







 



따라서 구하는 넓이를 라 하면

__{ }



  

  



21) ①

∴ cos   



22) ②

R, G, B의 양이 각각 , , 이고

   ×   이므로   _

   ×   이므로  _

   × 이므로   _

따라서 R, G, B의 양이 각각 , , 이 되려면 입력해야 할 문자열은 F이다.

23) ①

  sin  에서 주기는 , 최대흡입률(최댓값)은 이므로

  

에서   

이고   

따라서,    sin 

이므로     sin 



∴ sin 

    에서 

  



∴   



24) ③

속도를 적분하면 위치이므로

  분일 때 열기구의 높이 는

 







   







  







     

25) 

① 

 

^{ } 의 양변에 ^{ }을 곱하면  ^{ }

 

^{ } ^{ }이므로 ^{ }

 

^{ } 

 





 ^{  }



② 

 

^{ } 의 양변에 ^{ }를 곱하면 ^{ }

 

^{ } ^{ }

 

^{ } 

①, ②에 의하여

^{ }^{ }

 

^{ } 



 ^{  }





 

^{ }  26) 

lim

 →  ^    

  

  ^    

수 리 영 역

12 ^인문계

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

①에서    이므로    

②에서 ^   이므로   

∴      28) 

주어진 조건을 이용하여 벤 다이어그램을 나타내면 그림과 같다.

   ≥     ≥ 이므로     ≤ 

  ∪             ≥      따라서   ∪의 최솟값은 이다.

29)  

두 원의 중심을    라고 하면 두 원의 방정식은

   ^    ^ ^    ^    ^ ^ A  B  를 지나므로

  ^   ^ ^ ⋯ ①

  ^   ^ ^ ⋯ ②

  ^   ^ ^ ⋯ ③

  ^   ^ ^ ⋯ ④

①②에서      ⋯ ⑤

③④에서      ⋯ ⑥ 두 원의 중심을 지나는 직선의 방정식은

      

  

   

절편은   인 경우이므로      

  

   

⑤⑥에서         이므로

       

  

   

∴             

30) 

log_  log_  log_이므로 log_의 정수 부분은 

소수 부분은 log_    log_  log_  log_

이므로

     log_



∴ ^ ^ ^ ^log



   

     