※ 총 4쪽 25문항(3점 5문항, 4점 15문항 5점 4문항)입니다.
각 문항의 답을 하나만 고르시오.
[1~20] 각 문항의 답을 하나만 고르시오.
1.
1) 영행렬이 아닌 × 행렬 에 대하여 등식
를 만족시키는 실수 의 최댓값은?[3점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 꼭짓점의 집합이 이고, 변의 집합이
AA
A는 A의 약수이거나 배수 A A∈ ≠
인 그래프에 대하여, 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은?[3점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
3.
3 ) 등식
∞ 를 만족시키는 상수 에 대하여 의 값은?[3점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
4.
4 ) 삼차함수 에 대하여lim
→
lim
→
일 때, 상수 의 값은?
[3점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
2014학년도 경찰대학 제1차 시험
수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
수 리 영 역
2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━5.
5) 청소년 가장 가정을 돕기 위해 경찰청에서 기획한 수박판매행 사에 사용된 수박의 무게는 표준편차 kg인 정규분포를 따른다 고 한다. 이 수박들 중에서 개의 수박을 임의추출하여 무게를 조사해보니 평균 kg이었다. 이 행사에 사용된 수박의 무게의 모평균 kg을 신뢰도 로 추정할 때의 신뢰구간은 ≤ ≤ 이다. 이때 의 값은? (단, P ≤ ) [4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
6.
6) 개의 문자 중에서 중복을 허락하여 개 를 선택하여 문자열을 만들 때, 문자열이 를 반드시 포함할 확 률은?[4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
7.
7) 함수 cos sin 의 최댓값이 이고 최솟값이 일 때, 실수 의 곱 의 값은 또는 이다. 의 값은?[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
8.
8 ) 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값은?[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
9.
9 ) 다음 순서도에서 인쇄되는 의 값은?(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3
10.
10) 반지름의 길이가 각각 와 인 두 원이 점 A에서 내접할 때, 그림과 같이 큰 원의 지름 AE에 수직인 직선 이 두 원과 만나는 점을 각각 B와 C라 하자. AD 일 때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이는?[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 실수 에 대하여
의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 의 값은?
[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
12.
12) 그림과 같이 자연수 ⋯를 나선 모양으로 차례로 적을 때, 과 이웃한 개의 수 중에서 가장 작은 것은?[4점][2014년 경찰대]
⋯ ⋯ ⋯
① ② ③
④ ⑤
13.
13) 그림과 같이 개의 섬 A B CD E가 있다. 이미 A B가 다리로 연결되어 있을 때, 섬과 섬을 연결 하는 개의 다리를 더 건설하여 개의 섬을 모두 다리로 연결하는 방 법의 수는?
[4점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━14.
14) 좌표평면 위의 점 P
에서 곡선 에 그은 두 접 선을 이라 할 때, 두 접선 과 곡선 으로 둘러싸 인 부분의 넓이는?[4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
15.
15) 함수
≤ 에 대하여
의 값은?
[4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
16.
16) 첫째항이 인 등차수열
에 대하여 일 때,
∞
의 값은?
[4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
17.
17) 두 수열
의 일반항이 각각
과
일 때,
∞
의 값은?[5점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5
18.
18) 를 만족시키는 실수 에 대하여 다음 식의 최솟 값은?
[5점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
19.
19) 일어날 확률이 ≠ 인 사건이 일어날 때 놀람의 정도를라 하면 관계식
log
는 양의 상수) 이 성립한다고 한다. 일어날 확률이
인 사건이 일어날 때 놀 람의 정도는 이고, 두 사건 는 다음 조건을 만족시킨다.
㈎ 는 개의 동전을 던질 때 앞면이 개 나오는 사건 이다.
㈏ 와 는 서로 독립이다.
두 사건 가 동시에 일어날 때 놀람의 정도가 일 때, 사건
가 일어날 때 놀람의 정도는? (단, log 으로 계산한다.) [5점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
20.
20) 학생 명이 국어, 영어, 수학 시험을 보는데, 국어를 합격 한 사람은 명, 영어를 합격한 사람은 명, 수학을 합격한 사 람은 명이고, 국어와 영어를 모두 합격한 사람은 명, 국어 와 수학을 모두 합격한 사람은 명, 영어와 수학을 모두 합격 한 사람은 명이다. 세 과목 모두 합격한 학생 수의 최솟값은?[5점][2014년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
[21~25] 각 문항의 답을 답안지에 기재하시오.
21.
21) 함수 와 상수 가 모든 실수 에 대하여 등식
를 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.
[3점][2014년 경찰대]
수 리 영 역
6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━22.
22) 개의 알파벳 P O L I C E M A N을 반드시 한 번 씩 사용하여 사전식으로 배열할 때, POL로 시작하는 문자열 중 에서 POLICEMAN은 몇 번째 문자열인지 구하여라.[4점][2014년 경찰대]
23.
23) 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 ≥ 에서의 위치 함 수 가 이다. 점 P의 ≤ ≤ 에서의 평 균속도와 에서의 순간속도가 서로 같을 때, 의 값을 구하여라.[4점][2014년 경찰대]
24.
24) 지수방정식 의 서로 다른 두 근 이 모두 양수가 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합을 구하여 라.[4점][2014년 경찰대]
25.
25) 모든 자연수 에 대하여
C ㈎ ×
이 성립한다. ㈎에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값을 구하여라. (단, )
[5점][2014년 경찰대]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7
[2014학년도 경찰대 해설지]
1) ④
에서
행렬 가 영행렬이 아니므로 행렬
의 역행렬이 존재하지 않는다. 에서
±
∴ 또는 따라서 의 최댓값은 이다.
2) ③
꼭짓점에 대응하는 숫자에 대하여 두 수가 약수 또는 배수관계에 있을 때, 두 꼭짓점이 변으로 연결되므로 주어진 그래프는 다음과 같다.
그래프의 변의 개수가 총 개 이므로 구하는 행렬의 모든 성분의 합은
× 이다.
3) ④
∞
이므로
즉, 또는 ⋯⋯ ㉠이고
이다.
에서
±
∴
(∵ ㉠)
∴ 4) ①
lim
→
이므로 삼차함수 는 을 인수로 갖는다.
이라 하면
lim
→
lim
→
이므로
⋯⋯ ㉠
lim
→
이므로
이고 ′ 이다.
′ 에서
′ 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
∴
∴ 5) ①
는 신뢰구간의 길이를 의미한다.
모표준편차가 이고 표본의 크기가 , P ≤ 이므로
× ×
이다.
[참고] 신뢰구간은
×
≤ ≤ ×
즉,
≤ ≤
이다.
6) ④
전체 문자열의 개수는 × ×
가 포함되지 않은 문자열의 개수는 × ×
문자열이 를 반드시 포함하는 사건은 문자열이 를 포함하는 사건의 여사건이므로
여사건의 확률에 의하여 구하는 확률은
7) ①
sin 라 하면 ≤ ≤ 이고
cos sin
sin sin
ⅰ) 인 경우 주어진 함수는
일 때, 최댓값
를 갖고
일 때, 최솟값 를 갖는다.
∴
,
∴ ,
ⅱ) 인 경우
일 때, 최솟값
를 갖고
일 때, 최댓값 를 갖는다.
∴
,
∴ ,
ⅰ), ⅱ)에서 의 값은 또는 이다.
∴ 8) ⑤
가 방정식의 근이므로
⋮
수 리 영 역
8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━∴ ⋅
마찬가지 방법으로
근과 계수와의 관계에서 이므로
[다른 풀이]
이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여
,
이라 하면
이 성립한다.
, 이므로
⋯
∴
9) ③
는 를 로 나눈 몫을 의미하므로
는 를 로 나눈 나머지를 의미한다.
주어진 순서도에 의하여 , , 의 값의 변화를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 인쇄되는 값은 이다.
[참고] 유클리드 호제법
두 수 , 에 대하여 를 로 나눈 나머지가 일 때,
이 성립한다.
(단, 두 자연수 , 에 대하여 는 , 의 최대공약수이다.) 문제의 순서도는 유클리드 호제법에 의하여 두 수의 최대공약수를 구하는 순서도이다.
따라서 인쇄되는 값은 두 수 , 의 최대공약수 이다.
10) ②
반지름이 와 인 원의 중심을 각각 O, O′이라 하자.
직각삼각형 OAD에서
BD
OB OD
직각삼각형 ABD에서AB
BD AD
∴ sin∠ABC AB
AD
직각삼각형 O′CD에서
CD
O′C O′D
직각삼각형 ACD에서AC
CD AD
구하는 외접원의 반지름을 이라 하면 삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여
sin∠ABC
AC
∴
11) ⑤
라 하면 에서
ⅰ) 일 때, 따라서 이 가능하다.
ⅱ) ≠ 일 때, 이차방정식의 실근 가 존재해야하므로 이차방정식의 판별식을 라 할 때,
≥
≤
∴ ≤ ≤ 이고 ≠
ⅰ), ⅱ)에서 ≤ ≤ 이다.
∴ ,
∴ [다른 풀이]
ⅰ) 일 때,
ⅱ) 일 때, 산술평균과 기하평균과의 관계에 의하여
≤
ⅲ) 일 때, 산술평균과 기하평균과의 관계에 의하여
≥
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서
≤
≤
∴ ,
∴ 12) ③
부터 씩 묶어서 군으로 생각하면
군의 가장 큰 수는 이다.
⋅
⋅
⋅
이므로 은 군의 번째 수이다.
군은 ⇧ ⇦ ⇩ ⇨ 순으로 개의 수가 나열되므로 구하는 수는 그림과 같이 군의 번째 수이다.
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9
⇦
⇦
⇧
⇧
따라서 구하는 수는 이다.
13) ②
ⅰ) 섬 C, D, E 중 섬 A 또는 B에 연결된 섬이 개인 경우
그림과 같이 섬 C, D, E를 잇는 다리가 개 놓여야 하고,
섬 C, D, E 중 어느 하나와 섬 A, B중 어느 하나를 잇는 다리가 개 놓여야 한다.
따라서 이때의 방법의 수는
C×C×C 이다.
ⅱ) 섬 C, D, E 중 섬 A 또는 B에 연결된 섬이 개인 경우
그림과 같이 섬 C, D, E 중 어느 두 섬이 섬 A, B중 어느 하나와 다리로 연결되고 (그림에서 C, D) 다리로 연결되지 않은 한 섬(그림에서 E)은 다리로 연결된 어느 한 섬(그림에서 C, D)과 다리로 연결되면 된다.
따라서 이때의 방법의 수는
C×C×C 이다.
ⅲ) 섬 C, D, E 중 섬 A 또는 B에 연결된 섬이 개인 경우
그림과 같이 섬 C, D, E가 각각 섬 A, B중 어느 하나와 다리로 연결되면 되므로 이때의 방법의 수는 C
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 방법의 수는
[다른 풀이]
섬 A, B를 연결하는 다리를 포함시켰을 때, 건설 가능한 다리의 총 개수는
C 개다.
섬 A, B를 연결하는 다리가 존재하므로 건설 할 개의 다리를 임의로 선택하는 방법의 수는 C 이다. 이 중 개의 섬이 모두 다리로 연결되지 않는 경우는 그림과 같이 다리로 다른 섬과 연결되지 않는 섬이 있는 경우 또는 두 섬과 세 섬으로 분리된 형태의 경우이다.
ⅰ) 다리로 다른 섬과 연결되지 않은 섬은 섬 A, B, C 중 많아야 한 개다.
이 섬을 선택하는 방법의 수는 C 이다.
남은 네 섬을 다리로 연결하는 방법의 수는 C 이다.
따라서 이때의 방법의 수는 × 이다.
ⅱ) 두 섬과 세 섬으로 분리된 형태의 경우는 떨어진 두 섬이 AB, CD, DE, EC인 경우이다.
따라서 이때의 방법의 수는 이다.
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 방법의 수는
이다.
14) ④
접점을 이라 하면
에서 ′ 이므로 접선의 방정식은
⋯⋯ ㉠
㉠이 점
를 지나므로
∴ 또는
따라서 접점의 좌표는 , 이다.
A , B 라 할 때, 직선 AB의 방정식은 점
에서 직선 AB에 이르는 거리는
이고
AB
이다.∴ (△PAB의 넓이)
× ×
직선 AB와 곡선 로 둘러싸인 부분의 넓이는
따라서 구하는 넓이는
[참고]
이차함수 와 직선 이 그림과 같이 서로 다른 두 점 A, B에서 만나고 점 A, B의 좌표가 각각 , ( )일 때, 곡선
과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는
이다.
수 리 영 역
10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━15) ⑤
≤ 이므로 가 성립한다.
∴
∴
⋯
[다른 풀이]
와 은 직선
에 대하여 대칭이므로
가 성립한다.따라서 앞의 풀이에서
⋮
로 식을 변형하여 문제를 해결할 수 있다.
16) ②
등차수열
의 공차를 라 하면
∴
∴
(∵ )
∴
∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
17) ①
⋅
∴
⋅
⋅
∴
∞
∞
18) ②
은 두 점 과 의 거리이다.
은 두 점 과 의 거리이다.P , A , B 라 하고
점 B를 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 할 때,
PA PB PA PB′≥ AB′따라서 구하는 값은 AB′이다.
B′ 라 놓으면 선분 BB′을 직선 가 수직이등분하므로 선분 BB′의 중점은 직선 위에 있고 직선 BB′의 기울기는
이다.
⋅
에서 ⋯⋯ ㉠
에서 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
∴ B′
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11
따라서 구하는 최솟값은
19) ② log
log
이고 확률이
인 사건이 일어날 때, 놀람의 정도가 이므로
log
∴ , log 조건 (가)에 의하여 P C
두 사건 , 가 동시에 일어날 때, 놀람의 정도가 이고 조건 (나)에 의하여 P∩ PP이므로
logPP
⋅P
∴ P
따라서 사건 가 일어날 때 놀람의 정도는 P
log log log log
log
log
20) ④
국어, 영어, 수학과목에 합격한 학생의 집합을 각각 , , 라 하고
∩∩ 라 하면 주어진 조건에 의하여
, , ,
∩ , ∩ , ∩
이므로 다음 그림과 같은 벤다이어그램을 그릴 수 있다.
위 벤다이어그램에서 ≥ , ≥ , ≥ 이므로
≥ 이어야 한다.
따라서 의 최솟값은 이다.
[참고]
∪∪ ≤ 이므로 의 최댓값은 이다.
21) 36
⋯⋯ ㉠
㉠이 에 대한 항등식이므로 ㉠의 양변에 를 대입하면
∴
㉠의 양변을 에 대하여 미분하면
∴
∴
22) 393
I, C, E, M, A, N을 알파벳순서대로 나열하면 A, C, E, I, M, N이다.
POL A□□□□□인 문자열은 개 POL C□□□□□인 문자열은 개 POL E□□□□□인 문자열은 개 POL IA□□□□인 문자열은 개 POL IC A□□□인 문자열은 개 POL IC E A□□인 문자열은 개
POL IC E MA N은 POL IC E A□□인 문자열 다음으로 등장하므로 구하는 수는
× 이다.
23) 130
≤ ≤ 에서의 평균속도는
′ 이므로
에서의 순간속도는 ′
에서
24) 19
라 할 때, 주어진 방정식은
⋯⋯ ㉠
가 양수일 때, 이므로 방정식 ㉠의 서로 다른 해는 모두 보다 커야한다.
따라서 방정식 ㉠의 판별식을 라 할 때 이고,
라 할 때
, 이차함수 의 축 이어야 한다.
ⅰ) 에서
따라서 ≠ 인 모든 실수 에 대하여 위 부등식이 성립한다.
ⅱ) 에서
∴
ⅲ) 에서
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서
이다.
따라서 정수 는 , , , , 이다.
따라서 구하는 합은
25) 720
≥ ≥ 일 때,
C ×
×
C
수 리 영 역
12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
C
C
C
C
∴
∴ ⋅⋅
