1
1.
1)행렬
에 대하여
일 때, 의 값 은?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 삼각형 ABC의 넓이는 이고, 이 삼각형의 외접원의 넓이는이다. 이 외접원의 중심을 O라고 할 때, 다음 식의 값은?
sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA
[2013년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
3.
3 ) 어떤 살아있는 쥐에 있는 세균 S의 개체 수는 4이고, 세균 T 의 개체 수는 256이다. 그 쥐가 살아 있는 동안에는 두 세균의 개체 수에 변함이 없고, 죽는 순간부터 세균 S의 개체 수는 4시 간마다 두 배로 증가하며, 세균 T의 개체 수는 6시간마다 두 배 로 증가한다. 쥐가 죽은 후 두 세균 S와 T의 개체 수가 같아졌 을 때, 세균 S의 개체 수는?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 집합 는 실수에 대하여 <보기>에서 참 인 명제만을 있는 대로 고른 것은?[2013년 경찰대]
ㄱ. ∈이면 log이다.
ㄴ. ∈이면
∈이다.ㄷ. ∈이고 ∈이면 ∈이다.
<보 기>
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2013학년도 경찰대학 제1차 시험
수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
수 리 영 역
2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━2
5.
5) 다음 연립방정식을 만족시키는 세 양수 에 대하여 의 값은?
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
6.
6) 세 점 P , Q , R 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 외심에서 직선 까지의 거리는?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
7.
7) 두 무한급수
∞
log
와
∞
sin
이 모두 수렴하도록 하는 정수 의 개수는?
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 )lim
→ ∞
의 값은?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
9.
9 )
의 값은?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) log의 소수 부분을 , log의 소수 부분을 라 하자.다음을 만족시키는 두 자연수 와 에 대하여 의 최솟값 은?
은 의 배수이다.
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3
3
11.
11) 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 세 주사위에 나타난 눈의 수가 2, 5, 3 또는 1, 1, 2 또는 6, 4, 2와 같이 두 주사위에 나 타난 눈의 수의 합이 나머지 주사위의 눈의 수와 같을 확률은?[2013년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
12.
12) 학생 15명 중에서 적어도 한 명의 남학생과 적어도 한 명의 여학생이 포함되도록 3명의 대표를 선출하는 서로 다른 방법이 286가지일 때, 남학생 수와 여학생 수의 차는?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
13.
13) 을 만족시키는 이차식 의 개수는?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
14.
14) 다음을 만족시키는 미분가능한 함수 에 대하여 의 값은?
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━4
15.
15) 다음 다항식에서 의 계수는? ⋯ [2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
16.
16)
⋯
의 값은?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
17.
17) 두 실수 와 에 대하여
의 최솟 값은?
[2013년 경찰대]
① ②
③
④
⑤
18.
18) 1부터 까지 모든 자연수의 집합을 라고 하자. 그리고∪ 와 를 만족시키는 두 집합 와 의 순서 쌍 의 개수를 라 할 때,
∞
의 값은?
[2013년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5
5
19.
19) 다음을 만족시키는 한 자리 자연수 의 개수는?방정식 이 서로 다른 세 실근을 가진다.
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
20.
20) 방정식 의 근의 개수는?(단, 는 보다 크지 않은 최대 정수이다.)
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
21.
21) 두 함수 와 는 임의의 두 실수 와 에 대하여 다음을 만족시킨다. ,
이때, 의 값이 될 수 있는 수 중에서 가장 큰 값은?
[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
22.
22)lim
→ ∞
의 값은?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━6
23.
23) 곡선 에 있는 점 A 에서의 접선이 이 곡선과 점 B에서 만나고, 점 B에서의 접선은 이 곡선과 점 C에서 만난다 고 하자. 선분 BC와 이 곡선 사이의 넓이를 선분 AB와 이 곡선 사이의 넓이로 나눈 값은? (단, ≠ 이다.)[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
24.
24) 행렬
와 자연수 에 대하여 의 성분을이라고 할 때,
lim
→ ∞
의 값은?
[2013년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
25.
25) 연립부등식 ≥ , ≥ , ≤ 의 영역에 있는 점 에 대하여 라 하자. <보기>
에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?
[2013년 경찰대]
ㄱ. ≤ 이면 이다.
ㄴ. ≤ 이면 ≥ 이다.
ㄷ. 일 때, 의 최댓값은 이다.
<보 기>
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7
7
[2013학년도 경찰대 해설지]
1) ①
×이므로
∴
따라서
에서 , ∴ 2) ③
외접원의 반지름의 길이를 이라 하면
이므로
∴ OA OB OC
(△ABC의 넓이)
(△AOB의 넓이)(△BOC의 넓이)(△COA의 넓이)
OA⋅OB sin ∠AOB
OB⋅OC sin ∠BOC
OC⋅OA sin ∠COA
sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA
∴ sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA ×
3) ①
개체의 수가 연속적으로 변한다고 가정할 때,
쥐가 죽은 뒤 시간 후의 두 세균 와 의 개체수는 각각
⋅
, ⋅
이다.
⋅
⋅
에서
∴
따라서 구하는 세균 의 개체수는
4) ②
ㄱ. ∈이므로
∴ log log (참) ㄴ. ∈이므로
∴
∴
∈ (참)ㄷ. ∈이고 ∈이므로
,
⋅ 이므로
∈ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
5) ⑤
주어진 세 식을 변변히 모두 더하면
( )라 하면
∴ (∵ ) 6) ④
삼각형의 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이다.
변 PQ의 수직이등분선의 방정식은
변 PQ의 중점이 이고 변 PQ의 기울기가 이므로
⋯⋯ ㉠ 변 QR의 수직이등분선의 방정식은 변 QR의 중점이
이고 선분 QR의 기울기가 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
따라서 △PQR의 외심의 좌표는 이다.
따라서 구하는 거리는
⋅ ⋅
7) ②
∞
log
이 수렴하므로
log
log
∴ ⋯⋯ ㉠
∞
sin
이 수렴하므로
sin
∴
sin
⋯⋯ ㉡
㉠에서 정수 는 , , , , 이다.
따라서 가능한
의 값은 ,
, ,
,
,
이므로
㉡을 만족시키는
의 값은 ,
이다.
따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 정수 의 개수는 , 로 두 개다.
8) ③
lim
→ ∞
수 리 영 역
8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━8
lim
→ ∞
⋅
lim
→ ∞
⋅
⋅
9) ④
± ±
, 일 때,
, 을 만족시킨다.
∴
∴
10) ②
이므로
log
∴ log
이므로
log
∴ log
log
log
⋅log⋅ ⋅log
⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅
×이므로
이 의 배수이려면
≥ , ≥
∴ ≥ , ≥
∴ ≥
따라서 구하는 의 최솟값은 이다.
11) ③
세 주사위를 A, B, C라 하고
주사위A, B, C를 던져 나온 눈의 수를 각각 , , 라 하자.
를 만족하는 순서쌍의 개수는
, , , , ≥ ≥ 인 경우이므로
HHHHH
CCCCC
(개)
, 를 만족하는 순서쌍의 개수도 각각 개다.
따라서 구하는 확률은
×
12) ④
ⅰ) 남학생 또는 여학생 수가 명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
C×C
이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다.
ⅱ) 남학생 또는 여학생 수가 명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
C×CC×C
이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다.
ⅲ) 남학생과 여학생 수가 모두 명 이상인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
남학생의 수를 이라 할 때,
C× CC× C
× ×
에서
×
∴ 또는
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 남학생수와 여학생수는 각각 명, 명 또는 명,
명이다.
따라서 구하는 남학생 수와 여학생 수의 차는 이다.
13) ④
( ≠ )라 하면
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉠㉡에서
, , 이다.
에서 ≠ 이므로
에서 또는
ⅰ) 일 때,
에서
∴ 또는
ⅱ) 일 때,
에서
∴ 또는
ⅰ), ⅱ)에서 가능한 의 순서쌍의 개수는 개다.
따라서 구하는 이차식 의 개수는 개다.
14) ①
⋯⋯ ㉠
㉠의 양변에 을 대입하면
∴
㉠의 식을 변형하면
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9
9
위의 식의 양변을 에 대하여 미분하면
즉,
위의 식의 양변을 에 대하여 미분하면
∴
15) ⑤
에서 항의 계수는 CC
에서 항의 계수는 CC
에서 항의 계수는 CC
⋮
에서 항의 계수는 CC 따라서 구하는 계수는
CCC⋯C
CCC⋯C
CCC⋯C
CCC⋯C
⋮
CC
C
⋅
⋅⋅
[다른 풀이]
위 풀이에서
CCC⋯C
⋅⋅
[다른 풀이]
주어진 다항식은 첫째항이 이고 공비가
인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합이다.
따라서 주어진 다항식은
따라서 구하는 의 계수는 의 의 계수와 같다.
따라서 구하는 계수는
C ⋅
⋅⋅
16) ①
⋯
⋯
×
17) ⑤
주어진 식을 변형하면
모든 실수 , 에 대하여
이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
≥
(단, 등호는
즉, 일 때, 성립한다.)
또한, 는 실수이므로 ≥ (단, 등호는 일 때, 성립) 따라서 주어진 식은 , 일 때,
최솟값 를 갖는다.
18) ③
집합 를 정하는 방법의 수는
C
집합 는 집합 의 원소를 반드시 포함해야한다.
이때, 집합 의 원소는 포함해도 그렇지 않아도 되므로 집합 에 대하여 집합 를 정하는 방법의 수는 이다.
따라서 가능한 순서쌍 의 개수 는
×
∴
∴
∞
∞
lim
→∞
lim
→∞
19) ④
에서 이므로 방정식 의 실근은
곡선 과 직선 의 교점의 좌표이다.
이라 하면
′
수 리 영 역
10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━10 따라서 함수 의 그래프의 개형은 다음 그림과 같고 의 그래프가 그림과 같이 축과 원점을 지나며 함수 에 접하는 접선 사이에 있을 때, 곡선 와 직선 가 서로 다른 세 교점을 갖는다.
원점에서 함수 에 그은 접선의 방정식을 구하자.
접점을 라 할 때, 접선의 방정식은
′
접선이 원점을 지나므로
∴ (∵ )
따라서 원점에서 함수 에 그은 접선의 방정식은
이다.
따라서 곡선 와 직선 가 서로 다른 세 교점을 갖도록 하는 의 범위는
이다.
따라서 구하는 한 자리 자연수 의 개수는 , , , 로 총 개다.
20) ⑤
에서
이 정수이므로
도 정수이다.
즉, 가 정수이다.
(은 정수, ≤ )이라 할 때,
이므로
이 정수이므로 는 분모가 인 유리수로 나타낼 수 있다.
즉,
( ≤ )을 만족시키는 가 존재한다.
따라서
( ≤ )이라 하면
에서
⋯⋯ ㉠ 그런데 ≤ 이므로
≤ 에서
≤ ⋯⋯ ㉡
은 정수이므로 ㉠, ㉡에서 가능한 의 순서쌍은
이다.
따라서 주어진 방정식의 근의 개수는 개다.
21) ③
⋯⋯ ㉠
㉠의 양변에 을 대입하면
⋯⋯ ㉡
㉠의 양변에 을 대입하면
위 식의 대신 을 대입하면
이므로 위 식에 을 대입하면
∴ 또는
ⅰ) 일 때,
이므로
㉠에서
따라서 ±
즉, ±
그런데 이므로
∴
ⅱ) 일 때,
이므로
㉠에서
따라서 ±
즉, ±
그런데 이므로
∴
ⅰ), ⅱ)에서 가능한 의 값은 또는 이므로 구하는 의 최댓값은 이다.
22) ②
lim
→ ∞
lim
→∞
lim
→∞
⋅
⋅
⋅
⋅
lim
→∞
⋅
lim
→∞
⋅
lim
→∞
⋅
lim
→∞
⋅
⋅
⋅
23) ③
점 에서 곡선 에 접하는 접선의 방정식은
⋯⋯ ㉠
에서
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11
11
따라서 ㉠이 곡선 과 만나는 점의 좌표는 이다.
위 원리에 의하여 점 B의 좌표는 이고 점 C의 좌표는 이다.
이므로 구하는 값은
[참고]
ⅰ) 최고차항의 계수가 인 이차함수 가 직선 과 두 점 ,
(단, ≠ )에서 만날 때, 곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는
ⅱ) 최고차항의 계수가 인 삼차함수 위의 점 에서의 접선 이 곡선 와 만나는 점을 (단, ≠ )라 할 때, 곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는
ⅲ) 최고차항의 계수가 인 사차함수 와 직선 이 두 점
, (단, ≠ )에서 접할 때, 곡선 와 직선
로 둘러싸인 부분의 넓이는
24) ②
이라 하면
이므로 , 위의 두 식을 연립하면
∴ ⋯⋯ ㉠
㉠의 양변에 을 더하여 정리하면
, 이므로
따라서 수열
은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다.∴ ⋯⋯ ㉡
㉡의 양변을 로 나누면
이므로
lim
→∞
lim
→∞
∞
∞
[다른 풀이]
㉠의 양변에 을 더하여 정리하면
따라서 수열
은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다.∴ ⋅ ⋯⋯ ㉢
㉢㉡에서
∴
∴
lim
→∞
lim
→∞
25) ⑤
ㄱ. 이라 할 때, ′
′의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯ ⋯ ⋯
′
↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 는 에서 극솟값 을 에서 극댓값 를 갖고 그 그래프는 다음 그림과 같다.
따라서 ≤ 이면 이다. (참)
ㄴ. 가 고정된 상수일 때, 는 최고차항이 음수인 에 대한 삼차함수이다.
이를 라 하자. 즉,
를 에 대하여 미분하면
′ ⋅
≤ ≤ 이고
≤ 일 때, , 이므로
의 그래프는 다음 그림과 같다.
따라서 ≤ 일 때, 함수 는 에서 최대가 된다.
따라서 ≤ 인 에 대하여 의 최댓값은
이다.
∴ ≥ ≥ (참) ㄷ. ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ 따라서 의 값은 가 클수록 그 값이 커진다.
가 정해져 있을 때, 의 최댓값은
와 의 대소관계와 와 의 대소관계에 따라
수 리 영 역
12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━12
≤ , ≤
,
≤ , ≤ ≤ 인 경우로 나누어 생각해야한다.
그런데 문제에서 구하는 것은 의 최댓값이므로 ≤ ≤ 인 경우에서 인 경우가 있을 때, 이때가 가 최대가 되는 때이다.
ㄴ에서 ≤ ≤ 인 범위에서 의 최댓값이 임을 알 수 있다.
그런데 ㄱ에서 는 일 때, 최댓값 를 갖는다.
따라서 는 , 일 때, 최댓값 를 갖는다.
따라서 구하는 의 최댓값은
⋅ 이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
