, 제 2 교시 수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^{두 행렬} 

 

^{ } , 

 

^{ } 에 대하여 

 

^{ }  일 때, 의 값은?1)

[2점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2. lim

→^ tan의 값은?2)

[2점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

공비가 이 아닌 등비수열



_



^{에 대하여} _ , _ _ 일 때, _의 값은? 3)

[2점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

좌표공간의 점 P   을 평면에 대하여 대칭이동시킨 점 을 Q라 하자. 두 점 P와 Q 사이의 거리는? 4)

[3점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

5.

^함수  ^ ^에 대하여 ′의 값은? 5)

[3점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2015년 9월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘B’형

수 리 영 역

2 ^‘B’형

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6.

좌표평면 위의 네 점 O  , A , B  , C 에 대하여 ^OA∙ BC의 값은?6)

[3점][2015년 9월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

7.

행렬

 

^{ }  로 나타내어지는 일차변환을 , 원점을 중심으로



만큼 회전하는 회전변환을 라 하자. 합성변환  ∘ 에 의하 여 점  이 옮겨진 점을 P라 할 때, 선분 OP의 길이는?

(단, O는 원점이다.)7)

[3점][2015년 9월]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

8.

^{로그방정식} log_   log_    을 만족시키는 모든 실수

의 값의 곱은?⁸⁾

[3점][2015년 9월]

①   ②   ③   ④   ⑤  

9.

두 사건 , 가 서로 독립이고 P _{  }



, P∩^ P^∩_{ }





일 때, P 의 값은? (단, ^은 의 여사건이다.)9)

[3점][2015년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





10.

곡선   ln 위의 점



^

 



^{에서의 접선의 절편은? 10)}

[3점][2015년 9월]

① _{ }



 ②   ③ _{ }



 ④   ⑤ _{ }





11.

좌표평면에서 두 직선       ,       이 이루는 예각의 크기를 라 하자. _{tan  }^일 때, 상수 의 값은?

(단,   )11)

[3점][2015년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

‘B’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12.

그림과 같이 초점이 F인 포물선 ^ 위의 한 점 P에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표가  이다. cos∠PFO의 값 은? (단, O는 원점이다.)¹²⁾

[3점][2015년 9월]

① _{ }



 ② _{ }



 ③ _{ }



 ④ _{ }



 ⑤ _{ }





13.

어느 회사 직원들의 하루 여가 활동 시간은 모평균이 , 모 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 중  명을 임의추출하여 신뢰도 로 추정한 모평균 에 대한 신 뢰구간이   일 때, 의 값은?

(단, 시간의 단위는 분이고, 가 표준정규분포를 따르는 확률변 수일 때 P ≤≤  로 계산한다.)^{1 3)}

[3점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

14.

곡선   ^



과 축 및 직선   로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?14)

[3점][2015년 9월]

① _



^ 

 ② _



  

 ③ ^

④ ^  ⑤   

15.

주머니에     의 숫자가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내 어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀있는 수 를    라 할 때,  ≤  ≤  ≤ 일 확률은? 1 5)

[4점][2015년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

4 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

16.

모든 항이 양수인 수열



_



^은 _ 이고



^  



^{  }_{ }^{ } _

 _^⋯ _^

 ≥ 

을 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정의 일부이다.

_ _^ 이라 하면 _  이고 주어진 식으로부터 _{  } 

_ _⋯ _

 ≥ 

이다. __{  }



^{  라 하면}

_{  } ㈎ ×_ 이다.

_ 

__{× }

_

_

× _

_

×⋯× _{  }

_

 ≥ 

를 이용하여 _을 구하면 _ ㈏  ≥ 

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때,

 ×의 값은? ¹⁶⁾

[4점][2015년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

17.

두 이차정사각행렬  가

^ ^

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은? (단, 는 단위행렬이다.) ¹⁷⁾

[4점][2015년 9월]

ㄱ. 

ㄴ.   ㄷ. ^^  

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18.

확률변수는 정규분포 N ^, 확률변수 는 정규분포 N ^을 따르고, 확률변수 와 의 확률밀도 함수는 각각  이다.

   P≥  ≥ 일 때, P≤ 의 값을 오른쪽 표준정규분 포표를 이용하여 구한 것은? ¹⁸⁾

[4점][2015년 9월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

 P  ≦ Z ≦ 

 

 

 

 

수 리 영 역

‘B’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

19.

두 초점이 F F′인 쌍곡선 ^ 

^

  위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 P는 제 사분면에 있다.

(나) 삼각형 PF′F가 이등변삼각형이다.

삼각형 PF′F의 넓이를 라 할 때, 모든 의 값의 곱은? 1 9)

[4점][2015년 9월]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

20.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있다. 정 삼각형 ABC의 외심을 O라 할 때, 중심이 A 이고 반지름의 길 이가 ^AO인 원을 _, 중심이 B이고 반지름의 길이가 ^BO인 원을 _, 중심이 C이고 반지름의 길이가 ^CO인 원을 _라 하 자.

원 _와 원 _의 내부의 공통부분, 원 _와 원 _의 내부의 공통부분, 원 _와 원 _의 내부의 공통부분 중 삼각형 ABC 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 _이라 하자.

그림 _에 원 _가 두 선분 AB AC와 만나는 점을 각각 D E 원 _가 두 선분 AB BC와 만나는 점을 각각 F G

_가 두 선분 BC AC와 만나는 점을 각각 H I라 하고, 세 정삼각형 AFI BHD CEG에서 _을 얻는 과정과 같은 방법으 로 각각 만들어지는 모양의 도형 개에 색칠하여 얻은 그림 을 _라 하자.

그림 _에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 _에서 _ 를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형 개 에 색칠하여 얻은 그림을 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 _에 색칠되어 있 는 부분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

→∞

_의 값은? ²⁰⁾

[4점][2015년 9월]

①   ^ ^   ②  ^ ^  

③   ^ ^   ④  ^ ^  

⑤   ^ ^  

수 리 영 역

6 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

21.

함수 를

 







 

 sin   sin



^{ }

 ≤  ≤ 



sin   sin 



^{ ≤  ≤ }





라 하자. 닫힌 구간 ^

_{ }



 



에 속하는 모든 실수 에 대 하여







  ≥ 이 되도록 하는 실수 의 최솟값을  최 댓값을 라 할 때,   의 값은? (단, _{ }



 ≤  ≤ 

) 21)

[4점][2015년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





단답형 22. 

_^^

 의 값을 구하시오. 22)

[3점][2015년 9월]

23.

무리방정식



^ ^   ^   의 모든 실근의 곱을 구하시오. 23 )

[3점][2015년 9월]

24.

자연수 에 대하여 에 대한 이차방정식

^      의 양의 실근을 _이라 하자.

lim

→∞

_의 값을 구하시오. 24)

[3점][2015년 9월]

수 리 영 역

‘B’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

25.

고속철도의 최고소음도 dB 을 예측하는 모형에 따르면 한 지점에서 가까운 선로 중앙 지점까지의 거리를 m 열차가 가까운 선로 중앙 지점을 통과할 때의 속력을 kmh라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

   log

   log



가까운 선로 중앙 지점 P까지의 거리가 인 한 지점에서 속 력이 서로 다른 두 열차  의 최고소음도를 예측하고자 한 다. 열차 가 지점 P를 통과할 때의 속력이 열차 가 지점 P 를 통과할 때의 속력의 배일 때, 두 열차  의 예측 최고 소음도를 각각 _ _라 하자. __의 값을    log이라 할 때,   의 값을 구하시오. (단, 와 는 정수이다.) 25)

[3점][2015년 9월]

26.

그림과 같이 ^AB  BC  cos∠ABC   

^ 인 사면 체 ABCD에 대하여 점 A의 평면 BCD 위로의 정사영을 P라 하고 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 Q라 하자.

cos∠AQP   

^

일 때, 삼각형 BCP의 넓이는 이다. ^의 값을 구하시오. 26 )

[4점][2015년 9월]

27.

다음 조건을 만족시키는 이상의 자연수      의 모든 순서쌍       의 개수를 구하시오. 27)

[4점][2015년 9월]

(가)         

(나)    는 모두 의 배수이다.

28.

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 ^인 정삼각 형 ABC가 있다. 점 B를 포함하지 않는 호 AC위의 점 P에 대하여 ∠ PBC  라 하고, 선분 PC를 한 변으로 하는 정삼 각형에 내접하는 원의 넓이를 라 하자.

lim

 →  ^



 일 때, 의 값을 구하시오. 28)

[4점][2015년 9월]

수 리 영 역

8 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

29.

좌표공간에 두개의 구

_ ^ ^   ^ , _ ^ ^   ^  가 있다. 점 P



^

 

^

 



^{을 포함하고 과 에 동시에 접하}

는 평면을 라 하자. 점 Q ^  가 평면  위의 점일 때, 의 값을 구하시오. 29 )

[4점][2015년 9월]

30.

양수 와 두 실수 , 에 대하여 함수

 ^   ^ 은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 는  ^과  ^에서 극값을 갖는다.

(나)  ≤ _ _인 임의의 두 실수 _, _에 대하여

_  _  _ _≥ 이다.

세 수 , , 의 곱 의 최댓값을 _

^

라 할 때, 의 값을 구 하시오. ³⁰⁾

[4점][2015년 9월]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수 리 영 역

‘B’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9 8

2015년 9월 수리 B형 고3 모의고사 해설

1 ⑤ 2 ① 3 ③ 4 ④ 5 ③

6 ⑤ 7 ⑤ 8 ② 9 ② 10 ④

11 ④ 12 ② 13 ① 14 ④ 15 ①

16 ① 17 ③ 18 ② 19 ⑤ 20 ③

21 ① 22 6 23 4 24 2 25 84 26 162 27 32 28 80 29 40 30 15 1) ⑤

 

 

^{ } 

 

^{ } 



^   ^





 

^{ } ^이므로

∴    2) ①

lim

→ tan⋅^

 ⋅  

3) ③

_ , _ _이고 _은 등비수열이므로

_ _^

_ _^ 따라서 ^ 

∴ _ _⋅^ ⋅  

4) ④

P   를 평면에 대하여 대칭이동시킨 점은 Q    이다. 따라서

PQ



^   ^      5) ③

′  ^ ^×^이므로

′  ^ ^× ^ ⋅^×  

6) ⑤

OA  

BC  OC OB          

따라서

OA⋅BC  ⋅         7) ⑤

의 변환행렬은 

만큼 회전변환이므로







^{   }



^{ }

^

^{   }

^

 ∘ 

 

^ 

 

^{ }  

^



^{  } 

  

^

 

^

 

^{ } 



^{  } 

  

^

 

^

 

^{ } 

 

^

 

^

 

^ 

 

^

따라서 P ^이고

∴OP  ^ 8) ②

주어진 식의 진수 조건에 의해

     이다.

log_   log_   

⇔ log_  ^ log_ 따라서 ^ 

 ± ^이고

두 근 모두 진수조건의 범위 안에 들어가므로 따라서, 두 근의 곱은  

9) ②

, 가 서로 독립이므로

, ^가 서로 독립이고, ^, 가 서로 독립이다.

따라서 주어진 식에 P _{  }



와 P     P ^를 대입하면 P∩^ P^∩ P ⋅P ^  P ^⋅P 

 P ⋅  P  P ^⋅P

 

⋅  P _{ }



⋅P

 

 

⋅P_{ }





⇒   ⋅P 

∴P_{ }





10) ④

곡선   ln 위의 점



^

 



에서의 접선을 구해보면

′ 

이므로 기울기는 이고, 따라서 접선은

  



^{  }





^{   }

따라서 절편은   11) ④

      의 기울기를 _,

      의 기울기를 _라 하면

_ , _ 이고 tan 



^  

  



   

  

 

 (∵  ) 따라서

      

  

∴    12) ②

점 P _ _라 하면

주어진 접선의 방정식은 _  



  _



^이고

절편이  이므로

수 리 영 역

10 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

_  또한 _ ^

직선 PF의 기울기를 tan라 하면 tan    

^  

 ^ 따라서 cos  



∴ cos∠PFO cos   cos  



13) ①

주어진 조건에 의해 신뢰구간의 길이를 구해 보면

   × × ^

    

    ×

∴^  

∴   

14) ④

구하는 회전체의 부피는 그림과 같이 색칠된 부분을 축으로 회전시키는 것과 같다.

따라서 원기둥에서 곡선   ^



의   에서   까지의 회전체를 뺀 값이므로

V ⋅^ 



_^{}

 ^  



_^{    }

 ^   ^  15) ①

1) 1을 두 개 포함한 경우



  



1의 공 두 개를 다른 것으로 취급해 계산한다.

_

_×__× 

2) 1을 한 개 포함한 경우(1,2,3,4)

_

_×__ 1), 2)에 의하여

∴

  

 



16) ①

가) _{  }_ _{  }_{ }



_

 

 _

나)__{× }

_

_

× _

_

×⋯× _{  }

_

  × 

× 

×⋯   

  

∴  

  

   

∴  

×  

17) ③

^ ⋯ ① ^ ⋯② ㄱ. ① 에서 이고

와 는 서로 역행렬 관계이므로  

∴ (참) ㄴ. ②에서  

∴^{ } ㄱ에서 ^{ } 이므로

 ∴  (참) ㄷ. ㄴ에서 _{ }



 이고 ①에서  를 소거하면 ^ 

^^        (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

18) ②

표준정규분포곡선을 라고 하자.

  , ≥26)≥

의 정규분포에서 변수를 로 표준화하면

  



^

  



마찬가지로 의 정규분포에서 변수를 로 표준화하면

  

  



≥26)≥이므로 

   < 0

∴

  

 

  

∴  

≤ 





^{≤ }

  



≤ 

   ≤≤ 

 

19) ⑤

삼각형 ′ 에서 ′  이므로

′ ′인 경우와 ′ 인 두 개의 이등변삼각형이 생긴다.

수 리 영 역

‘B’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

i) ′ ′인 경우

′ ^′  ′   이므로  

′에서 에 내린 수선의 발을 이라 하면

′



^^ ^^

삼각형 ^′의 넓이 

× × ′_{ }



×  ×^ ^

ii) ′ 인 경우

′   , ′  이므로

′  에서 ′에 내린 수선의 발을 ′이라 하면

′



^^ ^^ 삼각형 ′의 넓이 

× ×^  ^

∴넓이 의 곱은 ^ × ^  ^

20) ③

가 정삼각형의 외심이므로 무게중심과 일치한다.

의 중점을 이라 하자.

_  ×부채꼴삼각형 부채꼴삼각형  라 하면

 ^   

  

^ ^× 

 

× ×^

   

^

∴_{   }



^ 

      ^이므로 한 변의 길이가 6인 정삼각형가 삼각형  로 축소되므로 길이의 비는 

  ^ ,

넓이의 비는 

  ^

^ , 개수는 3배로 증가하므로,

lim

→∞

_{ }

  

  ^

^

  

^ 

   ^ ^  

21) ①

를 범위에 따라 정리해보면

 







 

  

≤  ≤    ≤  ≤   ≤  ≤   ≤  ≤ 

 sin  ≤  ≤    ≤  ≤  

sin  ≤  ≤   ≤  ≤ 

 그래프는 다음과 같다.





^{ ≥ }

수 리 영 역

12 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

∴       



^{ }





^{ }



22) ６







^

  ^_^     

23) 4



^ ^  단, ≥  로 치환하여 정리하면

^   이다.

방정식을 풀면  ∵≥  이다.





^ ^   를 양변 제곱하여 정리하면

^     이고

근과 계수와의 관계에 의하여 모든 실근의 곱은 이다.

24) 2

주어진 이차방정식의 양의 실근 _을 구하면

_   



^^ 이다.

∴

lim

→∞

_

lim

→∞

   



^^   

lim

→∞





^^ 

  

25) 84

두 열차  가 지점 P 를 통과할 때의 속력을 각각 _ _라 하면

_  _이다.

가까운 선로 중앙 지점 P까지의 거리가  인 한 지점에서

_ _를 구하면

_    log 

_

  log 

 ⋯① 이고,

_    log 

_

  log 

 ⋯② 이다.

②①을 하면

__{  log }

_



  log  _



    log     log

이다.

따라서        이고     이다.

26) 162

삼수선의 정리에 의하여 선분 PQ와 선분 BC는 수직이고, 주어진 조건에 의하여

BQ  ^  AQ  ^  PQ  

^이다.

삼각형 BCP의 넓이( )는

  

 × BC × PQ  

× × 

^  ^ 이고 ^ 이다.

27) 32

①    일 때,

          단,    은 자연수)로 놓으면       

⇒        단,    은 자연수)를 만족시키는 순서쌍

     의 개수가 순서쌍       의 개수와 같으므로

_{  }____ 가지이다.

②   일 때,

          단,    은 자연수)로 놓으면

      을 만족시키는 자연수     은 존재하지 않는다.

③    일 때,

          단,    은 자연수)로 놓으면       

⇒        단,    은 자연수)를 만족시키는 순서쌍

     의 개수가 순서쌍       의 개수와 같으므로

_{  }__ 가지이다.

④    일 때,

          단,    은 자연수)로 놓으면       

⇒        단,    은 자연수)를 만족시키는 순서쌍

     은     밖에 없으므로 순서쌍        의 개수는 1가지이다.

⑤  ≥ 이면 만족시키는 순서쌍       은 존재하지 않는다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍       의 개수는

      가지이다.

28) 80

삼각형 ABC의 외접원의 중심을 O, 선분 PC을 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 중심을 O′, O′에서 선분 PC에 내린 수선의 발을 H이라 하자.

사인법칙에 의하여

 sin(단, 은 삼각형 의 외접원의 반지름길이)   sin

선분 PC를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 반지름 길이는

O′H  PC× ^

  

^ sin이므로

_{  }



 sin^이다.

∴

lim

→  ^





lim

→  

 × 

^ sin^

 



따라서   

이고,   이다.

29) 40

수 리 영 역

‘B’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

두 구 _과 _의 중심을 각각 _ _라 하자.

두 구의 중심 _ _와 점 P를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면

평면 는 반드시 점     을 지남을 알 수 있다.

원점 O에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 점      와 점 P를   로 내분하는 점이므로

_{ }







^

 

^

 



^{ }

  ^     ^  이다.

따라서 평면 의 법선벡터 ()를

    ^  로 잡을 수있고

평면 의 방정식을  ^       로 설정할 수 있다.

여기에 평면 위의 점      을 대입하면

   임을 알 수 있다.

평면 의 방정식은  ^       이다.

한편 Q   ^  가 평면 위의 점이므로 대입하면

  

이고   이다.

30) 15

  ^   ^을 에 대하여 미분하면

′  ^      ^

가  ^ ,  ^ 에서 극값을 가지므로

^        의 근이  ^  ^ 근과 계수와의 관계에서  

  

 , 

  

 이므로

  ,   

∴ ′  ^ ^,   ^   ^

 ≤ _ _인 임의의 두 실수 _ _에 대하여

_  _  _ _≥ 이므로 양변을 _ _  로

가  ≥ 에서 연속이고 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여

_ _

_  _

 ′ ( ≤ _   _)이다.

∴′ ≥  

즉,  ≥ 에서 ′의 최솟값이  이고 의 변곡점에서

′의 최솟값을 가지므로

″  ^   ^ 에서     

 ≥ 을 만족하는   에서 ′의 최솟값을 갖는다.

′   ≥  에서 ∴ ≤ 



따라서,       ^≤ 



^





^{ }_^



이므로   



∴  